En teoría de probabilidad y estadística , una distribución inversa es la distribución del recíproco de una variable aleatoria. Las distribuciones inversas surgen en particular en el contexto bayesiano de distribuciones previas y distribuciones posteriores para parámetros de escala . En el álgebra de variables aleatorias , las distribuciones inversas son casos especiales de la clase de distribuciones de razón , en las que la variable aleatoria del numerador tiene una distribución degenerada .
Relación con la distribución original
En general, dada la distribución de probabilidad de una variable aleatoria X con el apoyo estrictamente positivo, es posible encontrar la distribución de la recíproca, Y = 1 / X . Si la distribución de X es continua con la función de densidad f ( x ) y la función de distribución acumulada F ( x ), entonces la función de distribución acumulada, G ( y ), del recíproco se encuentra observando que
Entonces, la función de densidad de Y se encuentra como la derivada de la función de distribución acumulativa:
Ejemplos de
Distribución recíproca
La distribución recíproca tiene una función de densidad de la forma. [1]
dónde significa "es proporcional a" . De ello se deduce que la distribución inversa en este caso es de la forma
que es nuevamente una distribución recíproca.
Distribución uniforme inversa
Parámetros | |||
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Diferencia |
Si la variable aleatoria original X se distribuye uniformemente en el intervalo ( a , b ), donde a > 0, entonces la variable recíproca Y = 1 / X tiene la distribución recíproca que toma valores en el rango ( b −1 , a −1 ), y la función de densidad de probabilidad en este rango es
y es cero en otros lugares.
La función de distribución acumulativa del recíproco, dentro del mismo rango, es
Por ejemplo, si X se distribuye uniformemente en el intervalo (0,1), entonces Y = 1 / X tiene densidad y función de distribución acumulativa Cuándo
Distribución t inversa
Sea X una t variable aleatoria distribuida con k grados de libertad . Entonces su función de densidad es
La densidad de Y = 1 / X es
Con k = 1, las distribuciones de X y 1 / X son idénticas ( X es entonces distribuida por Cauchy (0,1)). Si k > 1 entonces la distribución de 1 / X es bimodal . [ cita requerida ]
Distribución normal recíproca
Si X es una variable estándar distribuida normalmente , entonces la distribución de la inversa o recíproca 1 / X ( distribución normal estándar recíproca ) es bimodal , [2] y los momentos de primer orden y de orden superior no existen. [2] Para tales distribuciones inversas y para distribuciones de razón , todavía se pueden definir probabilidades para intervalos, que se pueden calcular mediante simulación de Monte Carlo o, en algunos casos, utilizando la transformación de Geary-Hinkley. [3]
Sin embargo, en el caso más general de una función recíproca desplazada , por siguiendo una distribución normal general, entonces las estadísticas de media y varianza existen en un sentido de valor principal , si la diferencia entre el polo y la media es de valor real. La media de esta variable aleatoria transformada ( distribución normal desplazada recíproca ) es entonces de hecho la función de Dawson escalada : [4]
- .
Por el contrario, si el turno es puramente compleja, la media existe y es una función de Faddeeva escalada , cuya expresión exacta depende del signo de la parte imaginaria,. En ambos casos, la varianza es una función simple de la media. [5] Por lo tanto, la varianza debe considerarse en un sentido de valor principal si es real, mientras que existe si la parte imaginaria de no es cero. Tenga en cuenta que estas medias y variaciones son exactas, ya que no recurren a la linealización de la relación. La covarianza exacta de dos proporciones con un par de polos diferentes y está igualmente disponible. [6] El caso de la inversa de una variable normal compleja , desplazado o no, presenta características diferentes. [4]
Distribución exponencial inversa
Si es una variable aleatoria distribuida exponencialmente con parámetro de tasa , luego tiene la siguiente función de distribución acumulativa: por . Tenga en cuenta que el valor esperado de esta variable aleatoria no existe. La distribución exponencial recíproca se utiliza en el análisis de sistemas de comunicación inalámbrica que se desvanecen.
Distribución de Cauchy inversa
Si X es una variable aleatoria distribuida de Cauchy ( μ , σ ), entonces 1 / X es una variable aleatoria de Cauchy ( μ / C , σ / C ) donde C = μ 2 + σ 2 .
Distribución F inversa
Si X es una variable aleatoria distribuida F ( ν 1 , ν 2 ) , entonces 1 / X es una variable aleatoria F ( ν 2 , ν 1 ).
Recíproco de distribución binomial
No se conoce una forma cerrada para esta distribución. Se conoce una aproximación asintótica de la media. [7]
donde E [] es el operador de expectativa, X es una variable aleatoria, O () y o () son las funciones grandes y pequeñas de orden , n es el tamaño de la muestra, p es la probabilidad de éxito y a es una variable que puede ser positivo o negativo, entero o fraccionario.
Recíproco de distribución triangular
Para una distribución triangular con límite inferior a , límite superior by modo c , donde a < b y a ≤ c ≤ b , la media del recíproco está dada por
y la varianza por
.
Ambos momentos de la recíproca sólo se definen cuando el triángulo no se cruce por cero, es decir, cuando una , b , y c son o bien todos positivos o todos negativos.
Otras distribuciones inversas
Otras distribuciones inversas incluyen
- distribución inversa de chi-cuadrado
- distribución gamma inversa
- distribución inversa de Wishart
- distribución gamma de matriz inversa
Aplicaciones
Las distribuciones inversas se utilizan ampliamente como distribuciones previas en la inferencia bayesiana para parámetros de escala.
Ver también
- Significado armonico
- Distribución de razón
- Distribuciones auto-recíprocas
Referencias
- ^ Hamming RW (1970) "Sobre la distribución de números" , The Bell System Technical Journal 49 (8) 1609-1625
- ^ a b Johnson, Norman L .; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy (1994). Distribuciones univariadas continuas, volumen 1 . Wiley. pag. 171. ISBN 0-471-58495-9.
- ^ Hayya, Jack ; Armstrong, Donald; Gressis, Nicolas (julio de 1975). "Una nota sobre la relación de dos variables normalmente distribuidas" . Ciencias de la gestión . 21 (11): 1338-1341. doi : 10.1287 / mnsc.21.11.1338 . JSTOR 2629897 .
- ^ a b Lecomte, Christophe (mayo de 2013). "Estadísticas exactas de sistemas con incertidumbres: una teoría analítica de sistemas dinámicos estocásticos de rango uno". Revista de Sonidos y Vibraciones . 332 (11): 2750–2776. doi : 10.1016 / j.jsv.2012.12.009 .
- ^ Lecomte, Christophe (mayo de 2013). "Estadísticas exactas de sistemas con incertidumbres: una teoría analítica de sistemas dinámicos estocásticos de rango uno". Revista de Sonidos y Vibraciones . 332 (11). Sección (4.1.1). doi : 10.1016 / j.jsv.2012.12.009 .
- ^ Lecomte, Christophe (mayo de 2013). "Estadísticas exactas de sistemas con incertidumbres: una teoría analítica de sistemas dinámicos estocásticos de rango uno". Revista de Sonidos y Vibraciones . 332 (11). Ecuación (39) - (40). doi : 10.1016 / j.jsv.2012.12.009 .
- ^ Cribari-Neto F, Lopes García N, Vasconcellos KLP (2000) Una nota sobre momentos inversos de variables binomiales. Revista Brasileña de Econometría 20 (2)