En matemáticas , específicamente en la teoría de la representación de grupos y álgebras , una representación irreductible o irrep de una estructura algebraica es una representación distinta de cero que no tiene una subrepresentación no trivial adecuada , con cerrado bajo la acción de .
Cada representación unitaria de dimensión finita en un espacio de Hilbert es la suma directa de representaciones irreductibles. Como las representaciones irreductibles son siempre indecomponibles (es decir, no se pueden descomponer más en una suma directa de representaciones), lo contrario puede no ser válido, como la representación bidimensional de los números reales que actúan mediante matrices unipotentes triangulares superiores , que es indecomponible pero reducible.
Historia
La teoría de la representación de grupo fue generalizada por Richard Brauer a partir de la década de 1940 para dar una teoría de representación modular , en la que los operadores matriciales actúan sobre un espacio vectorial sobre un campo. de característica arbitraria , en lugar de un espacio vectorial sobre el campo de los números reales o sobre el campo de los números complejos . La estructura análoga a una representación irreductible en la teoría resultante es un módulo simple . [ cita requerida ]
Descripción general
Dejar ser una representación, es decir, un homomorfismo de un grupo dónde es un espacio vectorial sobre un campo . Si elegimos una base por , se puede pensar como una función (un homomorfismo) de un grupo en un conjunto de matrices invertibles y en este contexto se llama representación matricial . Sin embargo, simplifica mucho las cosas si pensamos en el espacio sin una base.
Un subespacio lineal se llama -invariante si para todos y todo . La co-restricción de al grupo lineal general de un -subespacio invariante se conoce como subrepresentación . Una representaciónSe dice que es irreductible si solo tiene subrepresentaciones triviales (todas las representaciones pueden formar una subrepresentación con la trivial-subespacios invariantes, por ejemplo, todo el espacio vectorial y {0} ). Si hay un subespacio invariante no trivial adecuado,se dice que es reducible .
Notación y terminología de representaciones grupales
Los elementos del grupo se pueden representar mediante matrices , aunque el término "representado" tiene un significado específico y preciso en este contexto. Una representación de un grupo es un mapeo de los elementos del grupo al grupo lineal general de matrices. Como notación, dejar que un , b , c ... elementos denotan de un grupo G con producto grupo significadas sin ningún símbolo, así que ab es el producto grupo de un y b y es también un elemento de G , y dejar representaciones ser indicado por D . La representación de a está escrita
Por definición de representaciones de grupo, la representación de un producto de grupo se traduce en una multiplicación matricial de las representaciones:
Si e es el elemento de identidad del grupo (de modo que ae = ea = a , etc.), entonces D ( e ) es una matriz de identidad , o idénticamente una matriz de bloques de matrices de identidad, ya que debemos tener
y de manera similar para todos los demás elementos del grupo. Las dos últimas afirmaciones corresponden al requisito de que D es un homomorfismo de grupo .
Representaciones reducibles e irreductibles
Una representación es reducible si contiene un subespacio invariante G no trivial, es decir, todas las matrices se puede poner en forma de bloque triangular superior mediante la misma matriz invertible . En otras palabras, si hay una transformación de similitud:
que mapea cada matriz en la representación en el mismo patrón de bloques triangulares superiores. Cada bloque menor de secuencia ordenada es una subrepresentación de grupo. Es decir, si la representación es de dimensión k, entonces tenemos:
dónde es una subrepresentación nada trivial. Si podemos encontrar una matriz lo que hace también, entonces no solo es reducible sino también descomponible.
Aviso: Incluso si una representación es reducible, su representación matricial puede no ser la forma de bloque triangular superior. Solo tendrá esta forma si elegimos una base adecuada, que se puede obtener aplicando la matriz arriba a la base estándar.
Representaciones descomponibles e indecomponibles
Una representación es descomponible si todas las matrices se puede poner en forma de bloque diagonal por la misma matriz invertible . En otras palabras, si hay una transformación de similitud : [1]
que diagonaliza cada matriz en la representación en el mismo patrón de bloques diagonales . Cada uno de estos bloques es entonces una subrepresentación de grupo independiente de los demás. Se dice que las representaciones D ( a ) y D ′ ( a ) son representaciones equivalentes . [2] La representación se puede descomponer en una suma directa de k > 1 matrices :
por lo que D ( a ) es descomponible , y se acostumbra etiquetar las matrices descompuestas con un superíndice entre paréntesis, como en D ( n ) ( a ) para n = 1, 2, ..., k , aunque algunos autores simplemente escriben la etiqueta numérica sin paréntesis.
La dimensión de D ( a ) es la suma de las dimensiones de los bloques:
Si esto no es posible, es decir, k = 1 , entonces la representación es indecomponible. [1] [3]
Aviso : incluso si una representación es descomponible, su representación matricial puede no ser la forma de bloque diagonal. Solo tendrá esta forma si elegimos una base adecuada, que se puede obtener aplicando la matriz arriba a la base estándar.
Conexión entre representación irreductible y representación descomponible
Una representación irreductible es por naturaleza indescomponible. Sin embargo, lo contrario puede fallar.
Pero bajo algunas condiciones, tenemos una representación indecomponible que es una representación irreductible.
- Cuando grupo es finito y tiene una representación sobre el campo , entonces una representación indecomponible es una representación irreductible. [4]
- Cuando grupo es finito y tiene una representación sobre el campo , si tenemos , entonces una representación indecomponible es una representación irreductible.
Ejemplos de representaciones irreductibles
Representación trivial
Todos los grupos tienen una representación trivial unidimensional e irreducible.
Representación unidimensional
Cualquier representación unidimensional es irreductible en virtud ya que no tiene subespacios no triviales propios.
Representaciones complejas irreducibles
Las representaciones complejas irreductibles de un grupo finito G se pueden caracterizar utilizando los resultados de la teoría del carácter . En particular, todas estas representaciones se descomponen como una suma directa de irreps, y el número de irreps de es igual al número de clases de conjugación de . [5]
- Las complejas representaciones irreductibles de son dados exactamente por los mapas , dónde es un la raíz de la unidad .
- Dejar frijol -representación compleja dimensional de con base . Luego se descompone como una suma directa de los irreps y el subespacio ortogonal dado porLa primera irrep es unidimensional e isomórfica a la representación trivial de . Este último es dimensional y se conoce como la representación estándar de . [5]
- Dejar ser un grupo. La representación regular de es el espacio vectorial complejo libre sobre la base con la acción grupal , denotado Todas las representaciones irreductibles de aparecen en la descomposición de como suma directa de irreps.
Ejemplo de representación irreductible sobre
- Dejar ser un grupo y ser una representación irreducible de dimensión finita de G sobre . Según el teorema del estabilizador de órbita, la órbita de cada elemento actuado por el grupo tiene el tamaño siendo el poder de . Dado que los tamaños de todas estas órbitas suman el tamaño de, y está en una órbita de tamaño 1 que solo se contiene a sí misma, debe haber otras órbitas de tamaño 1 para que la suma coincida. Es decir, existe alguna tal que para todos . Esto obliga a toda representación irreductible de un grupo sobre ser unidimensional.
Aplicaciones en física y química teóricas
En física cuántica y química cuántica , cada conjunto de estados propios degenerados del operador hamiltoniano comprende un espacio vectorial V para una representación del grupo de simetría del hamiltoniano, un "multiplete", mejor estudiado mediante la reducción a sus partes irreducibles. Identificar las representaciones irreductibles permite, por tanto, etiquetar los estados, predecir cómo se dividirán bajo perturbaciones; o la transición a otros estados en V . Así, en la mecánica cuántica, las representaciones irreductibles del grupo de simetría del sistema etiquetan parcial o completamente los niveles de energía del sistema, lo que permite determinar las reglas de selección . [6]
Grupos de mentiras
Grupo Lorentz
Las irreps de D ( K ) y D ( J ) , donde J es el generador de rotaciones y K el generador de refuerzos, se pueden utilizar para construir representaciones de espín del grupo de Lorentz, porque están relacionadas con las matrices de espín del cuántico. mecánica. Esto les permite derivar ecuaciones de onda relativistas . [7]
Ver también
Álgebras asociativas
- Módulo simple
- Módulo indecomponible
- Representación de un álgebra asociativa
Grupos de mentiras
- Teoría de la representación de las álgebras de Lie
- Teoría de representación de SU (2)
- Teoría de representación de SL2 (R)
- Teoría de la representación del grupo galileo
- Teoría de la representación de grupos de difeomorfismo
- Teoría de la representación del grupo de Poincaré
- Teorema del mayor peso
Referencias
- ↑ a b E. P. Wigner (1959). La teoría de grupos y su aplicación a la mecánica cuántica de los espectros atómicos . Física pura y aplicada. Prensa académica. pag. 73.
- ^ WK Tung (1985). Teoría de grupos en física . World Scientific. pag. 32. ISBN 978-997-1966-560.
- ^ WK Tung (1985). Teoría de grupos en física . World Scientific. pag. 33. ISBN 978-997-1966-560.
- ^ Artin, Michael. Álgebra (2ª ed.). Pearson. pag. 295. ISBN 978-0132413770.
- ^ a b Serre, Jean-Pierre (1977). Representaciones lineales de grupos finitos . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90190-9.
- ^ "Un diccionario de química, Answers.com" (6ª ed.). Diccionario Oxford de Química.
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Libros
- H. Weyl (1950). La teoría de grupos y la mecánica cuántica . Publicaciones de Courier Dover. pag. 203 . ISBN 978-0-486-60269-1.
momentos magnéticos en la mecánica cuántica relativista.
- PR Bunker; Per Jensen (2004). Fundamentos de la simetría molecular . Prensa CRC. ISBN 0-7503-0941-5.[1]
- AD Boardman; DE O'Conner; PA Young (1973). Simetría y sus aplicaciones en ciencia . McGraw Hill. ISBN 978-0-07-084011-9.
- V. Heine (2007). Teoría de grupos en mecánica cuántica: una introducción a su uso actual . Dover. ISBN 978-0-07-084011-9.
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Artículos
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Otras lecturas
- Artin, Michael (1999). "Anillos no conmutativos" (PDF) . Capítulo V.
enlaces externos
- "Comisión de Cristalografía Matemática y Teórica, Escuelas de Verano en Cristalografía Matemática" (PDF) . 2010.
- van Beveren, Eef (2012). "Algunas notas sobre teoría de grupos" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 20 de mayo de 2011 . Consultado el 7 de julio de 2013 .
- Teleman, Constantin (2005). "Teoría de la representación" (PDF) .
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- Caza (2008). "Etiquetas de simetría de representación irreductible (IR)" (PDF) .
- Dermisek, Radovan (2008). "Representaciones del Grupo Lorentz" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 23 de noviembre de 2018 . Consultado el 7 de julio de 2013 .
- Maciejko, Joseph (2007). "Representaciones de los grupos de Lorentz y Poincaré" (PDF) .
- Woit, Peter (2015). "Mecánica cuántica para matemáticos: representaciones del grupo de Lorentz" (PDF) ., consulte el capítulo 40
- Drake, Kyle; Feinberg, Michael; Gremio, David; Turetsky, Emma (2009). "Representaciones del grupo de simetría del espacio-tiempo" (PDF) .
- Finley. "Álgebra de mentiras para los grupos de Poincaré y Lorentz" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 17 de junio de 2012.
- Bekaert, Xavier; Boulanger, Niclas (2006). "Las representaciones unitarias del grupo de Poincaré en cualquier dimensión espaciotemporal". arXiv : hep-th / 0611263 .
- "Diccionario McGraw-Hill de términos científicos y técnicos" .