En matemáticas, específicamente en la teoría de grupos , el isoclinismo es una relación de equivalencia de grupos que generaliza el isomorfismo . Hall (1940) introdujo el isoclinismo para ayudar a clasificar y comprender los grupos p , aunque es aplicable a todos los grupos. El isoclinismo también tiene consecuencias para el multiplicador de Schur y los aspectos asociados de la teoría del carácter , como se describe en Suzuki (1982 , p. 256) y Conway et al. (1985 , pág. Xxiii, capítulo 6.7). La palabra "isoclinismo" proviene del griego ισοκλινης que significa pendiente igual.
Algunos libros de texto que discuten el isoclinismo incluyen Berkovich (2008 , §29) y Blackburn, Neumann & Venkataraman (2007 , §21.2) y Suzuki (1986 , pp. 92-95).
Definición
La clase de isoclinismo de un grupo G está determinada por los grupos G / Z ( G ) (el grupo de automorfismo interno ) y G ′ (el subgrupo del conmutador ) y el mapa del conmutador de G / Z ( G ) × G / Z ( G ) a G ′ (tomando a , b a aba −1 b −1 ).
En otras palabras, dos grupos G 1 y G 2 son isoclínicos si hay isomorfismos de G 1 / Z ( G 1 ) a G 2 / Z ( G 2 ) y de G 1 ′ a G 2 ′ conmutando con el mapa del conmutador.
Ejemplos de
Todos los grupos abelianos son isoclínicos ya que son iguales a sus centros y sus subgrupos de conmutadores son siempre el subgrupo de identidad. De hecho, un grupo es isoclínico para un grupo abeliano si y solo si él mismo es abeliano, y G es isoclínico con G × A si y solo si A es abeliano. Los grupos diedro , cuasidiédrico y cuaternión de orden 2 n son isoclínicos para n ≥3, Berkovich (2008 , p. 285) con más detalle.
El isoclinismo divide a los p -grupos en familias, y los miembros más pequeños de cada familia se denominan grupos troncales . Un grupo es un grupo raíz si y solo si Z ( G ) ≤ [ G , G ], es decir, si y solo si cada elemento del centro del grupo está contenido en el subgrupo derivado (también llamado subgrupo de conmutador), Berkovich (2008 , pág.287). En Blackburn, Neumann y Venkataraman (2007 , p. 226) se dan algunos resultados de enumeración de familias de isoclinismo .
El isoclinismo se utiliza en la teoría de las representaciones proyectivas de grupos finitos , ya que todos los grupos de cobertura de Schur de un grupo son isoclínicos, un hecho ya insinuado por Hall según Suzuki (1982 , p. 256). Esto se utiliza para describir las tablas de caracteres de los grupos simples finitos ( Conway et al. 1985 , p. Xxiii, cap. 6.7).
Referencias
- Berkovich, Yakov (2008), Grupos de orden de primer poder. Vol. 1 , de Gruyter Expositions in Mathematics, 46 , Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlín, doi : 10.1515 / 9783110208221.285 , ISBN 978-3-11-020418-6, MR 2464640
- Blackburn, Simon R .; Neumann, Peter M .; Venkataraman, Geetha (2007), Enumeración de grupos finitos , Cambridge Tracts in Mathematics no 173 (1a ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88217-0, OCLC 154682311
- Conway, John Horton ; Curtis, RT; Norton, SP; Parker, RA; Wilson, RA (1985), Atlas de grupos finitos , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9, MR 0827219
- Hall, Philip (1940), "La clasificación de los grupos de potencias primarias" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 182 : 130-141, doi : 10.1515 / crll.1940.182.130 , ISSN 0075-4102 , MR 0003389
- Struik, Ruth Rebekka (1960), "A note on prime-power groups" , Canadian Mathematical Bulletin , 3 : 27–30, doi : 10.4153 / cmb-1960-006-5 , ISSN 0008-4395 , MR 0148744
- Suzuki, Michio (1982), teoría de grupos. I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], 247 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-10915-0, MR 0648772
- Suzuki, Michio (1986), Teoría de grupos. II , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], 248 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-642-86885-6 , ISBN 978-0-387-10916-9, MR 0815926