multiplicador de Schur

En la teoría matemática de grupos , el multiplicador de Schur o multiplicador de Schur es el segundo grupo de homología de un grupo G. Fue introducido por Issai Schur  ( 1904 ) en su trabajo sobre representaciones proyectivas .${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )}$

El multiplicador de Schur de un grupo finito G es un grupo abeliano finito cuyo exponente divide el orden de G. Si un p -subgrupo de Sylow de G es cíclico para algún p , entonces el orden de no es divisible por p . En particular, si todos los p -subgrupos de Sylow de G son cíclicos, entonces es trivial.${\ estilo de visualización \ nombre del operador {M} (G)}$${\ estilo de visualización \ nombre del operador {M} (G)}$${\ estilo de visualización \ nombre del operador {M} (G)}$

Por ejemplo, el multiplicador de Schur del grupo no abeliano de orden 6 es el grupo trivial ya que todo subgrupo de Sylow es cíclico. El multiplicador de Schur del grupo abeliano elemental de orden 16 es un grupo abeliano elemental de orden 64, lo que demuestra que el multiplicador puede ser estrictamente mayor que el propio grupo. El multiplicador de Schur del grupo de cuaterniones es trivial, pero el multiplicador de Schur de los 2 grupos diédricos tiene orden 2.

Los multiplicadores de Schur de los grupos finitos simples se dan en la lista de grupos finitos simples . Los grupos de cobertura de los grupos alternantes y simétricos son de considerable interés reciente.

La motivación original de Schur para estudiar el multiplicador fue clasificar las representaciones proyectivas de un grupo, y la formulación moderna de su definición es el segundo grupo de cohomología . Una representación proyectiva es muy parecida a una representación de grupo excepto que en lugar de un homomorfismo en el grupo lineal general , uno toma un homomorfismo en el grupo lineal general proyectivo . En otras palabras, una representación proyectiva es una representación módulo el centro .${\displaystyle H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times})}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {GL} (n, \ mathbb {C})}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {PGL} (n, \ mathbb {C})}$

Schur  ( 1904 , 1907 ) demostró que todo grupo finito G tiene asociado al menos un grupo finito C , llamado cubierta de Schur , con la propiedad de que toda representación proyectiva de G puede elevarse a una representación ordinaria de C. La cobertura de Schur también se conoce como grupo de cobertura o Darstellungsgruppe . Se conocen las cubiertas de Schur de los grupos simples finitos , y cada uno es un ejemplo de un grupo cuasi simple . La portada de Schur de un grupo perfectoestá únicamente determinada hasta el isomorfismo, pero la cobertura de Schur de un grupo finito general solo está determinada hasta el isoclinismo .

Una representación proyectiva de G puede retrotraerse a una representación lineal de una extensión central C de G.