En matemáticas , las integrales singulares son fundamentales para el análisis armónico y están íntimamente conectadas con el estudio de ecuaciones diferenciales parciales. En términos generales, una integral singular es un operador integral
cuya función de núcleo K : R n × R n → R es singular a lo largo de la diagonal x = y . En concreto, la singularidad es tal que | K ( x , y ) | es de tamaño | x - y | - n asintóticamente como | x - y | → 0. Dado que tales integrales pueden no ser en general absolutamente integrables, una definición rigurosa debe definirlas como el límite de la integral sobre | y - x | > ε como ε → 0, pero en la práctica esto es un tecnicismo. Por lo general, se requieren más suposiciones para obtener resultados como su acotación en L p ( R n ).
La transformada de Hilbert
El operador integral singular arquetípico es la transformada de Hilbert H . Se da por convolución contra el núcleo K ( x ) = 1 / (π x ) para x en R . Más precisamente,
Los análogos de dimensión superior más sencillos de estos son las transformadas de Riesz , que reemplazan K ( x ) = 1 / x con
donde i = 1,…, n yes el i -ésimo componente de x en R n . Todos estos operadores están limitados a L p y satisfacen estimaciones de tipo débil (1, 1). [1]
Integrales singulares de tipo convolución
Una integral singular de tipo convolución es un operador T definido por convolución con un núcleo K que es localmente integrable en R n \ {0}, en el sentido de que
( 1 )
Supongamos que el kernel satisface:
- La condición de tamaño en la transformada de Fourier de K
- La condición de suavidad : para algunos C > 0,
Entonces se puede demostrar que T está limitado a L p ( R n ) y satisface una estimación de tipo débil (1, 1).
La propiedad 1 es necesaria para asegurar que la convolución ( 1 ) con la distribución templada pv K dada por la integral del valor principal
es un multiplicador de Fourier bien definido en L 2 . Ninguna de las propiedades 1. o 2. es necesariamente fácil de verificar, y existe una variedad de condiciones suficientes. Por lo general, en las aplicaciones, también se tiene una condición de cancelación
que es bastante fácil de comprobar. Es automático, por ejemplo, si K es una función impar . Si, además, se asume 2. y la siguiente condición de tamaño
entonces se puede demostrar que sigue 1..
La condición de suavidad 2. también es a menudo difícil de verificar en principio, se puede usar la siguiente condición suficiente de un grano K :
Observe que estas condiciones se satisfacen para las transformadas de Hilbert y Riesz, por lo que este resultado es una extensión de esos resultados. [2]
Integrales singulares de tipo no convolucional
Estos son operadores aún más generales. Sin embargo, dado que nuestras suposiciones son tan débiles, no es necesariamente cierto que estos operadores estén limitados a L p .
Granos de Calderón – Zygmund
Una función K : R n × R n → R se dice que es un núcleo de Calderón - Zygmund si satisface las siguientes condiciones para algunas constantes C > 0 y δ > 0. [2]
Integrales singulares de tipo no convolucional
Se dice que T es un operador integral singular de tipo no convolucional asociado al kernel K de Calderón-Zygmund si
siempre que f y g son lisas y tienen apoyo disjuntos. [2] Dichos operadores no necesitan limitarse a L p
Operadores Calderón – Zygmund
Una integral singular de tipo no convolucional T asociada a un kernel K de Calderón-Zygmund se llama operador de Calderón-Zygmund cuando está acotada en L 2 , es decir, hay un C > 0 tal que
para todo suave y compacto ƒ.
Se puede demostrar que estos operadores, de hecho, también están limitados en todo L p con 1 < p <∞.
El teorema de T ( b )
El teorema T ( b ) proporciona condiciones suficientes para que un operador integral singular sea un operador de Calderón-Zygmund, es decir, para que un operador integral singular asociado a un núcleo de Calderón-Zygmund esté acotado en L 2 . Para establecer el resultado, primero debemos definir algunos términos.
Una protuberancia normalizada es una función suave φ en R n apoyada en una bola de radio 10 y centrada en el origen tal que | ∂ α φ ( x ) | ≤ 1, para todos los índices múltiples | α | ≤ n + 2. Denote por τ x ( φ ) ( y ) = φ ( y - x ) y φ r ( x ) = r - n φ ( x / r ) para todo x en R n y r > 0. An Se dice que el operador está débilmente acotado si hay una constante C tal que
para todas las protuberancias normalizadas φ y ψ . Una función se dice que es acumulativa si hay una constante c > 0 tal que Re ( b ) ( x ) ≥ c para todo x en R . Denote por M b el operador dado por la multiplicación por una función b .
El teorema de T ( b ) establece que un operador integral singular T asociado a un núcleo de Calderón-Zygmund está acotado en L 2 si satisface las tres condiciones siguientes para algunas funciones acretivas acrecentadas b 1 y b 2 : [3]
Ver también
Notas
- ^ Stein, Elias (1993). "Análisis armónico". Prensa de la Universidad de Princeton.
- ^ a b c Grafakos, Loukas (2004), "7", Análisis de Fourier clásico y moderno , Nueva Jersey: Pearson Education, Inc.
- ^ David; Semmes; Journé (1985). "Opérateurs de Calderón – Zygmund, fonctions para-accrétives et interpolation" (en francés). 1 . Revista Matemática Iberoamericana. págs. 1-56.
Referencias
- Calderón, AP ; Zygmund, A. (1952), "Sobre la existencia de ciertas integrales singulares", Acta Mathematica , 88 (1): 85-139, doi : 10.1007 / BF02392130 , ISSN 0001-5962 , MR 0052553 , Zbl 0047.10201.
- Calderón, AP ; Zygmund, A. (1956), "Sobre integrales singulares", American Journal of Mathematics , The Johns Hopkins University Press, 78 (2): 289-309, doi : 10.2307 / 2372517 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372517 , MR 0084633 , Zbl 0072.11501.
- Coifman, Ronald ; Meyer, Yves (1997), Wavelets: Calderón-Zygmund y operadores multilineales , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 48 , Cambridge University Press, pp. Xx + 315, ISBN 0-521-42001-6, MR 1456993 , Zbl 0.916,42023.
- Mikhlin, Solomon G. (1948), "Ecuaciones integrales singulares" , UMN , 3 (25): 29-112, MR 0027429(en ruso ).
- Mikhlin, Solomon G. (1965), Integrales singulares multidimensionales y ecuaciones integrales , Serie internacional de monografías en matemáticas puras y aplicadas, 83 , Oxford - Londres - Edimburgo - Nueva York - París - Frankfurt : Pergamon Press , págs. XII + 255 , MR 0185399 , Zbl 0.129,07701.
- Mikhlin, Solomon G .; Prössdorf, Siegfried (1986), Singular Integral Operators , Berlín - Heidelberg - Nueva York : Springer Verlag , p. 528, ISBN 0-387-15967-3, MR 0867687 , Zbl 0.612,47024, (Edición europea: ISBN 3-540-15967-3 ).
- Stein, Elias (1970), Integrales singulares y propiedades de diferenciación de funciones , Princeton Mathematical Series, 30 , Princeton, NJ : Princeton University Press , págs. XIV + 287, ISBN 0-691-08079-8, MR 0290095 , Zbl 0.207,13501
enlaces externos
- Stein, Elias M. (octubre de 1998). "Integrales singulares: los roles de Calderón y Zygmund" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 45 (9): 1130-1140.