En matemáticas , el lema de Itô es una identidad utilizada en el cálculo de Itô para encontrar el diferencial de una función dependiente del tiempo de un proceso estocástico . Sirve como la contraparte de cálculo estocástico de la regla de la cadena . Puede derivarse heurísticamente formando la expansión en serie de Taylor de la función hasta sus segundas derivadas y reteniendo los términos hasta el primer orden en el incremento de tiempo y el segundo orden en el incremento del proceso de Wiener . El lema se emplea ampliamente en finanzas matemáticas y su aplicación más conocida es la derivación de laEcuación de Black-Scholes para valores de opción.
Derivación informal
Una prueba formal del lema se basa en tomar el límite de una secuencia de variables aleatorias. Este enfoque no se presenta aquí ya que involucra una serie de detalles técnicos. En cambio, damos un bosquejo de cómo se puede derivar el lema de Itô expandiendo una serie de Taylor y aplicando las reglas del cálculo estocástico.
donde B t es un proceso de Wiener . Si f ( t , x ) es una función escalar dos veces diferenciable, su expansión en una serie de Taylor es
Sustituyendo X t por x y por lo tanto μ t dt + σ t dB t por dx da
En el límite dt → 0 , los términos dt 2 y dt dB t tienden a cero más rápido que dB 2 , que es O ( dt ) . Estableciendo los términos dt 2 y dt dB t en cero, sustituyendo dt por dB 2 (debido a la varianza cuadrática de un proceso de Wiener ), y recolectando los términos dt y dB , obtenemos
según sea necesario.
Formulación matemática del lema de Itô
En las siguientes subsecciones discutimos versiones del lema de Itô para diferentes tipos de procesos estocásticos.
Itô procesos de deriva-difusión (debido a: Kunita – Watanabe)
También podemos definir funciones sobre procesos estocásticos discontinuos.
Sea h la intensidad del salto. El modelo del proceso de Poisson para saltos es que la probabilidad de un salto en el intervalo [ t , t + Δ t ] es h Δ t más términos de orden superior. h podría ser una constante, una función determinista del tiempo o un proceso estocástico. La probabilidad de supervivencia p s ( t ) es la probabilidad de que no se haya producido ningún salto en el intervalo [0, t ] . El cambio en la probabilidad de supervivencia es
Entonces
Sea S ( t ) un proceso estocástico discontinuo. Escribirpara el valor de S cuando nos acercamos a t por la izquierda. Escribirpara el cambio no infinitesimal en S ( t ) como resultado de un salto. Luego
Sea z la magnitud del salto y seasea la distribución de z . La magnitud esperada del salto es
Definir , un proceso compensado y martingala , como
Luego
Considere una función del proceso de salto dS ( t ) . Si S ( t ) salta en Δ s, entonces g ( t ) salta en Δ g . Δ g se extrae de la distribución que puede depender de , dg y. La parte del salto de es
Si contiene partes de deriva, difusión y salto, luego el Lema de Itô para es
El lema de Itô para un proceso que es la suma de un proceso de deriva-difusión y un proceso de salto es simplemente la suma del lema de Itô para las partes individuales.
Semimartingales discontinuos
El lema de Itô también se puede aplicar a semimartingales d -dimensionales generales , que no necesitan ser continuas. En general, una semimartingala es un proceso càdlàg , y es necesario agregar un término adicional a la fórmula para asegurar que los saltos del proceso estén dados correctamente por el lema de Itô. Para cualquier proceso de cadlag Y t , el límite izquierdo en t se denota por Y t− , que es un proceso continuo a la izquierda. Los saltos se escriben como Δ Y t = Y t - Y t− . Entonces, el lema de Itô establece que si X = ( X 1 , X 2 , ..., X d ) es una semimartingala d- dimensional yf es una función de valor real diferenciable dos veces continuamente en R d entonces f ( X ) es una semimartingala , y
Esto se diferencia de la fórmula de las semimartendolas continuas por el término adicional que suma los saltos de X , lo que asegura que el salto del lado derecho en el tiempo t sea Δ f ( X t ).
Múltiples procesos de salto no continuos
[ cita requerida ] También hay una versión de esto para una función f dos veces continuamente diferenciable en el espacio una vez en el tiempo evaluada en semi-martingalas no continuas (potencialmente diferentes) que se pueden escribir de la siguiente manera:
dónde denota la parte continua de la i- ésima semi-martingala.
El término de corrección de -σ 2/2corresponde a la diferencia entre la mediana y la media de la distribución logarítmica normal , o de manera equivalente para esta distribución, la media geométrica y la media aritmética, siendo la mediana (media geométrica) menor. Esto se debe a la desigualdad AM-GM y corresponde a que el logaritmo es cóncavo (o convexo hacia arriba), por lo que el término de corrección puede interpretarse como una corrección de convexidad . Ésta es una versión infinitesimal del hecho de que el rendimiento anualizado es menor que el rendimiento promedio, con la diferencia proporcional a la varianza. Consulte los momentos geométricos de la distribución logarítmica normal para obtener más información.
El mismo factor de σ 2/2aparece en las variables auxiliares d 1 y d 2 de la fórmula de Black-Scholes , y puede interpretarse como consecuencia del lema de Itô.
Exponencial de Doléans-Dade
La exponencial de Doléans-Dade (o exponencial estocástica) de una semimartingala continua X se puede definir como la solución de la SDE dY = Y dX con la condición inicial Y 0 = 1 . A veces se denota por Ɛ ( X ) . Aplicando el lema de Itô con f ( Y ) = log ( Y ) da
Exponenciar da la solución
Fórmula de Black – Scholes
El lema de Itô se puede utilizar para derivar la ecuación de Black-Scholes para una opción . [1] Suponga que el precio de una acción sigue un movimiento browniano geométrico dado por la ecuación diferencial estocástica dS = S ( σdB + μ dt ) . Entonces, si el valor de una opción en el tiempo t es f ( t , S t ), el lema de Itô da
El termino ∂ f/∂ SdS representa el cambio de valor en el tiempo dt de la estrategia comercial que consiste en mantener una cantidad∂ f/∂ Sde la acción. Si se sigue esta estrategia de negociación, y se supone que cualquier efectivo que se mantenga crecerá a la tasa libre de riesgo r , entonces el valor total V de esta cartera satisface la SDE.
Esta estrategia replica la opción si V = f ( t , S ). La combinación de estas ecuaciones da como resultado la célebre ecuación de Black-Scholes
Regla de producto para procesos Itô
Dejar ser un proceso Ito bidimensional con SDE:
Entonces podemos usar la forma multidimensional del lema de Ito para encontrar una expresión para .
Tenemos y .
Establecimos y observa que y
La sustitución de estos valores en la versión multidimensional del lema nos da:
Esta es una generalización de la regla de producto de Leibniz a los procesos Ito, que no son diferenciables.
Además, el uso de la segunda forma de la versión multidimensional anterior nos da
Kiyosi Itô (1944). Integral estocástica. Proc. Imperial Acad. Tokio 20 , 519-524. Este es el papel con la Fórmula Ito; En línea
Kiyosi Itô (1951). Sobre ecuaciones diferenciales estocásticas. Memorias, American Mathematical Society 4 , 1–51. En línea
Bernt Øksendal (2000). Ecuaciones diferenciales estocásticas. Una introducción con aplicaciones , 5ª edición, 2ª impresión corregida. Saltador. ISBN 3-540-63720-6 . Secciones 4.1 y 4.2.
Philip E Protter (2005). Integración estocástica y ecuaciones diferenciales , 2ª edición. Saltador. ISBN 3-662-10061-4 . Sección 2.7.