En matemáticas , específicamente en geometría algebraica y topología algebraica , el teorema del hiperplano de Lefschetz es una declaración precisa de ciertas relaciones entre la forma de una variedad algebraica y la forma de sus subvariedades. Más precisamente, el teorema dice que para una variedad X incrustado en espacio proyectivo y una sección hiperplano Y , la homología , cohomology , y grupos de homotopía de X determinar los de Y . Un resultado de este tipo fue declarado por primera vez por Solomon Lefschetzpara grupos de homología de variedades algebraicas complejas. Desde entonces se han encontrado resultados similares para grupos de homotopía, en característica positiva y en otras teorías de homología y cohomología.
El teorema de descomposición proporciona una generalización de gran alcance del teorema de Lefschetz .
El teorema del hiperplano de Lefschetz para variedades proyectivas complejas
Sea X una variedad algebraica proyectiva compleja n- dimensional en CP N , y sea Y una sección de hiperplano de X tal que U = X ∖ Y es suave. El teorema de Lefschetz se refiere a cualquiera de los siguientes enunciados: [1] [2]
- El mapa natural H k ( Y , Z ) → H k ( X , Z ) en homología singular es un isomorfismo para k < n - 1 y es sobreyectivo para k = n - 1 .
- El mapa natural H k ( X , Z ) → H k ( Y , Z ) en cohomología singular es un isomorfismo para k < n - 1 y es inyectivo para k = n - 1 .
- El mapa natural π k ( Y , Z ) → π k ( X , Z ) es un isomorfismo para k < n - 1 y es sobreyectivo para k = n - 1 .
Usando una larga secuencia exacta , se puede demostrar que cada una de estas afirmaciones es equivalente a un teorema de desaparición para ciertos invariantes topológicos relativos. En orden, estos son:
- Los grupos de homología singular relativa H k ( X , Y , Z ) son cero para.
- Los grupos de cohomología singular relativa H k ( X , Y , Z ) son cero para.
- Los grupos de homotopía relativa π k ( X , Y ) son cero para.
La prueba de Lefschetz
Solomon Lefschetz [3] usó su idea de un lápiz Lefschetz para demostrar el teorema. En lugar de considerar solo la sección Y del hiperplano , la puso en una familia de secciones del hiperplano Y t , donde Y = Y 0 . Debido a que una sección de hiperplano genérico es suave, todos menos un número finito de Y t son variedades suaves. Después de eliminar estos puntos del plano t y hacer un número finito adicional de ranuras, la familia resultante de secciones de hiperplano es topológicamente trivial. Es decir, es un producto de un Y t genérico con un subconjunto abierto del plano t . X , por lo tanto, se puede entender si se comprende cómo se identifican las secciones de hiperplano a través de las rendijas y en los puntos singulares. Lejos de los puntos singulares, la identificación puede describirse inductivamente. En los puntos singulares, el lema Morse implica que hay una elección de sistema de coordenadas para X de una forma particularmente simple. Este sistema de coordenadas se puede utilizar para demostrar el teorema directamente. [4]
La prueba de Andreotti y Frankel
Aldo Andreotti y Theodore Frankel [5] reconocieron que el teorema de Lefschetz podría reformularse utilizando la teoría de Morse . [6] Aquí el parámetro t juega el papel de una función Morse. La herramienta básica en este enfoque es el teorema de Andreotti-Frankel , que establece que una variedad afín compleja de dimensión compleja n (y por lo tanto dimensión real 2 n ) tiene el tipo de homotopía de un complejo CW de dimensión (real) n . Esto implica que los grupos de homología relativa de Y en X son triviales en grado menor que n . La larga secuencia exacta de homología relativa da entonces el teorema.
Pruebas de Thom y Bott
Ni la demostración de Lefschetz ni la de Andreotti y Frankel implican directamente el teorema del hiperplano de Lefschetz para grupos de homotopía. René Thom encontró un enfoque que sí lo hizo a más tardar en 1957 y fue simplificado y publicado por Raoul Bott en 1959. [7] Thom y Bott interpretan Y como el lugar de fuga en X de una sección de un conjunto de líneas. Una aplicación de la teoría de Morse a esta sección implica que X puede ser construido a partir de Y por las células adyacentes de dimensión n o más. De esto se deduce que la homología relativa y los grupos de homotopía de Y en X se concentran en grados ny más, lo que produce el teorema.
Prueba de Kodaira y Spencer para grupos de Hodge
Kunihiko Kodaira y Donald C. Spencer encontraron que bajo ciertas restricciones, es posible probar un teorema tipo Lefschetz para los grupos de Hodge H p , q . Específicamente, suponga que Y es suave y que el paquete de líneases amplio. Entonces el mapa de restricción H p , q ( X ) → H p , q ( Y ) es un isomorfismo si p + q
La combinación de esta demostración con el teorema del coeficiente universal casi produce el teorema de Lefschetz habitual para la cohomología con coeficientes en cualquier campo de característica cero. Es, sin embargo, ligeramente más débil debido a los supuestos adicionales en Y .
Prueba de Artin y Grothendieck para poleas construibles
Michael Artin y Alexander Grothendieck encontraron una generalización del teorema del hiperplano de Lefschetz al caso en el que los coeficientes de la cohomología no se encuentran en un campo sino en un haz construible . Demuestran que para un haz F construible en una variedad afín U , los grupos de cohomología desaparecer cuando sea . [10]
El teorema de Lefschetz en otras teorías de cohomología
La motivación detrás de la prueba de Artin y Grothendieck para las poleas construibles fue dar una prueba que pudiera adaptarse al entorno de étale y -cohomología ádica. Hasta algunas restricciones sobre la gavilla construible, el teorema de Lefschetz sigue siendo válido para las gavillas construibles en característica positiva.
El teorema también se puede generalizar a la homología de intersección . En este contexto, el teorema es válido para espacios muy singulares.
Un teorema de tipo Lefschetz también es válido para los grupos de Picard . [11]
Teorema duro de Lefschetz
Deje que X sea un n no singular variedad proyectiva complejo -dimensional en. Luego, en el anillo de cohomología de X , el producto k- veces con la clase de cohomología de un hiperplano da un isomorfismo entre y .
Este es el duro teorema de Lefschetz , bautizado en francés por Grothendieck de manera más coloquial como Théorème de Lefschetz vache . [12] [13] Implica inmediatamente la parte de inyectividad del teorema del hiperplano de Lefschetz.
El teorema rígido de Lefschetz de hecho es válido para cualquier variedad compacta de Kähler , con el isomorfismo en la cohomología de Rham dado por la multiplicación por una potencia de la clase de la forma de Kähler. Puede fallar para variedades que no son de Kähler: por ejemplo, las superficies de Hopf tienen segundos grupos de cohomología que desaparecen, por lo que no hay un análogo de la segunda clase de cohomología de una sección de hiperplano.
El duro teorema de Lefschetz fue probado para ℓ {\ Displaystyle \ ell} -cohomología ádica de variedades proyectivas suaves sobre campos algebraicamente cerrados de característica positiva por Pierre Deligne ( 1980 ).
Referencias
- ^ Milnor 1969 , Teorema 7.3 y Corolario 7.4
- ^ Voisin 2003 , Teorema 1.23
- ↑ Lefschetz, 1924
- ^ Griffiths, Spencer y Whitehead 1992
- ^ Andreotti y Frankel 1959
- ^ Milnor , 1969 , p. 39
- ^ Bott 1959
- ^ Lazarsfeld 2004 , ejemplo 3.1.24
- ^ Voisin 2003 , Teorema 1.29
- ^ Lazarsfeld 2004 , Teorema 3.1.13
- ^ Lazarsfeld 2004 , ejemplo 3.1.25
- ^ Beauville
- ^ Sabbah 2001
Bibliografía
- Andreotti, Aldo ; Frankel, Theodore (1959), "El teorema de Lefschetz sobre secciones de hiperplano", Annals of Mathematics , Segunda serie, 69 : 713–717, doi : 10.2307 / 1970034 , ISSN 0003-486X , MR 0177422
- Beauville, Arnaud , La conjetura de Hodge , CiteSeerX 10.1.1.74.2423
- Bott, Raoul (1959), "On un teorema de Lefschetz" , Michigan Mathematical Diario , 6 (3): 211-216, doi : 10.1307 / mmj / 1028998225 , MR 0.215.323 , obtenidos 2010-01-30
- Deligne, Pierre (1980), "La conjecture de Weil. II" , Publications Mathématiques de l'IHÉS (52): 137–252, ISSN 1618-1913 , MR 0601520
- Griffiths, Phillip ; Spencer, Donald C .; Whitehead, George W. (1992), "Solomon Lefschetz", en la Academia Nacional de Ciencias, Oficina del Secretario del Interior (ed.), Memorias biográficas , 61 , The National Academies Press, ISBN 978-0-309-04746-3
- Lazarsfeld, Robert (2004), Positividad en geometría algebraica. Yo , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Una serie de encuestas modernas en matemáticas [Resultados en matemáticas y áreas relacionadas. 3ra Serie. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 48 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-642-18808-4 , ISBN 978-3-540-22533-1, MR 2095471
- Lefschetz, Solomon (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique , Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel (en francés), París: Gauthier-Villars Reimpreso en Lefschetz, Solomon (1971), artículos seleccionados , Nueva York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0234-7, MR 0299447
- Milnor, John Willard (1963), teoría Morse , Annals of Mathematics Studies, No. 51, Princeton University Press , MR 0163331
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- Voisin, Claire (2003), teoría de Hodge y geometría algebraica compleja. II , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 77 , Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9780511615177 , ISBN 978-0-521-80283-3, MR 1997577