En matemáticas, y en particular en la teoría de la singularidad , el número de Milnor , llamado así por John Milnor , es un invariante de un germen de función.
Si f es un germen de función holomórfica de valor complejo, entonces el número de Milnor de f , denotado μ ( f ), es un número entero no negativo o es infinito . Puede ser considerado tanto un geométrica invariante y un algebraica invariante. Por eso juega un papel importante en la geometría algebraica y la teoría de la singularidad .
Definición algebraica
Considere un germen de función compleja holomórfica
y denotar por el anillo de todos los gérmenes funcionales. Cada nivel de una función es una hipersuperficie compleja en, por lo tanto llamaremos una singularidad de hipersuperficie .
Supongamos que es una singularidad aislada : en el caso de mapeos holomórficos, decimos que una singularidad de hipersuperficie es singular en si es gradiente es cero en , un punto singular está aislado si es el único punto singular en una vecindad suficientemente pequeña . En particular, la multiplicidad del gradiente
es finito. Este número es el número de singularidad de Milnor a .
Tenga en cuenta que la multiplicidad del gradiente es finita si y solo si el origen es un punto crítico aislado de f .
Interpretación geométrica
Milnor introdujo originalmente [1]en términos geométricos de la siguiente manera. Todas las fibras por valores cerca de son variedades no singulares de dimensión real . Su intersección con un pequeño disco abierto. centrado en es un colector suave llamada fibra de Milnor. Hasta difeomorfismo no depende de o si son lo suficientemente pequeños. También es difeomórfico a la fibra del mapa de fibración de Milnor .
La fibra de Milnor es una variedad suave de dimensión y tiene el mismo tipo de homotopía que un ramo de esferas . Esto quiere decir que su número Betti medio es igual al número de Milnor y tiene homología de un punto en dimensión menor que. Por ejemplo, una curva plana compleja cerca de cada punto singulartiene su fibra Milnor homotópica a una cuña decírculos (el número de Milnor es una propiedad local, por lo que puede tener diferentes valores en diferentes puntos singulares).
Así tenemos igualdades
- Número de Milnor = número de esferas en la cuña = número Betti medio de = grado del mapa en = multiplicidad del gradiente
Otra forma de ver el número de Milnor es por perturbación . Decimos que un punto es un punto singular degenerado, o que f tiene una singularidad degenerada, en Si es un punto singular y la matriz de Hesse de todas las derivadas parciales de segundo orden tiene un determinante cero en:
Suponemos que f tiene una singularidad degenerada en 0. Podemos hablar de la multiplicidad de esta singularidad degenerada pensando en cuántos puntos están pegados infinitesimalmente . Si ahora perturbamos la imagen de f de cierta manera estable, la singularidad degenerada aislada en 0 se dividirá en otras singularidades aisladas que no son degeneradas. El número de tales singularidades aisladas no degeneradas será el número de puntos que se han pegado infinitesimalmente.
Precisamente, tomamos otra función germen g que no es singular en el origen y consideramos la nueva función germen h: = f + εg donde ε es muy pequeña. Cuando ε = 0 entonces h = f . La función h se llama morsificación de f . Es muy difícil calcular las singularidades de h y, de hecho, puede ser computacionalmente imposible. Este número de puntos que se han pegado infinitesimalmente , esta multiplicidad local de f , es exactamente el número de Milnor de f .
Otras contribuciones [2] dan significado al número de Milnor en términos de dimensión del espacio de deformaciones versales , es decir, el número de Milnor es la dimensión mínima del espacio de parámetros de deformaciones que lleva toda la información sobre la singularidad inicial.
Ejemplos de
Aquí damos algunos ejemplos trabajados en dos variables. Trabajar con una sola es demasiado simple y no da una idea de las técnicas, mientras que trabajar con tres variables puede ser bastante complicado. Dos es un buen número. También nos ceñimos a los polinomios. Si f es solo holomórfico y no un polinomio, entonces podríamos haber trabajado con la expansión de la serie de potencias de f .
1
Considere un germen de función con una singularidad no degenerada en 0, digamos . El ideal jacobiano es simplemente. A continuación, calculamos el álgebra local:
Para ver por qué esto es cierto, podemos usar el lema de Hadamard que dice que podemos escribir cualquier función como
para algunas funciones ky constantes y en (donde ya sea o o ambos pueden ser exactamente cero). Así, módulo múltiplos funcionales de X e Y , podemos escribir h como una constante. El espacio de funciones constantes se amplía por 1, por lo tanto
De ello se deduce que μ ( f ) = 1. Es fácil comprobar que para cualquier función germen g con una singularidad no degenerada en 0 obtenemos μ ( g ) = 1.
Tenga en cuenta que aplicando este método a una función no singular germen g obtenemos μ ( g ) = 0.
2
Dejar , luego
Entonces en este caso .
3
Uno puede demostrar que si luego
Esto puede explicarse por el hecho de que f es singular en cada punto del eje x .
Deformaciones Versales
Sea f un número finito de Milnor μ , y seaser una base para el álgebra local, considerada como un espacio vectorial. Entonces una deformación miniversal de f viene dada por
dónde . Estas deformaciones (o despliegues ) son de gran interés en gran parte de la ciencia. [ cita requerida ]
Invariancia
Podemos recopilar gérmenes de funciones para construir clases de equivalencia . Una equivalencia estándar es A -equivalencia . Decimos que dos gérmenes de funciónson A -equivalentes si existen gérmenes de difeomorfismo y tal que : existe un cambio difeomórfico de variable tanto en el dominio como en el rango que lleva de f a g .
Si f y g son A -equivalente entonces μ ( f ) = μ ( g ).
Sin embargo, el número Milnor no ofrece una invariante completa para los gérmenes de función, es decir, lo contrario es falso: existen gérmenes de función f y g con μ ( f ) = μ ( g ) que no son A -equivalente. Para ver esto, considere y . Tenemospero f y g no son claramente A -equivalente desde la matriz de Hesse de f es igual a cero mientras que la de g no es (y el rango de la Hessian es un A -invariant, como es fácil de ver).
Referencias
- ^ Milnor, John (1969). Puntos singulares de Hipersuperficies complejas . Anales de estudios matemáticos. Prensa de la Universidad de Princeton .
- ^ Arnold, VI ; Gusein-Zade, SM; Varchenko, AN (1988). Singularidades de mapas diferenciables . Volumen 2. Birkhäuser .
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tiene texto extra ( ayuda )
- Arnold, VI ; Gusein-Zade, SM; Varchenko, AN (1985). Singularidades de mapas diferenciables . Volumen 1. Birkhäuser .
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tiene texto extra ( ayuda ) - Gibson, Christopher G. (1979). Puntos singulares de asignaciones suaves . Notas de investigación en matemáticas. Minero.
- Milnor, John (1963). Teoría Morse . Anales de estudios matemáticos. Prensa de la Universidad de Princeton .
- Milnor, John (1969). Puntos singulares de Hipersuperficies complejas . Anales de estudios matemáticos. Prensa de la Universidad de Princeton .