En la teoría K algebraica , la teoría K de una categoría C (generalmente equipada con algún tipo de datos adicionales) es una secuencia de grupos abelianos K i ( C ) asociados a ella. Si C es una categoría abeliana , no hay necesidad de datos adicionales, pero en general sólo tiene sentido hablar de teoría K después de especificar en C una estructura de una categoría exacta , o de una categoría de Waldhausen , o de una dg-. categoría, o posiblemente algunas otras variantes. Por lo tanto, hay varias construcciones de estos grupos, que corresponden a varios tipos de estructuras puestas en C . Tradicionalmente, la teoría K de C se define como el resultado de una construcción adecuada, pero en algunos contextos existen definiciones más conceptuales. Por ejemplo, la teoría K es un 'invariante aditivo universal' de categorías dg [1] y categorías ∞ estables pequeñas . [2]
La motivación de esta noción proviene de la teoría K algebraica de los anillos . Para un anillo, R Daniel Quillen en Quillen (1973) introdujo dos formas equivalentes de encontrar la teoría K superior. La construcción más expresa K i ( R ) en términos de R directamente, pero es difícil probar las propiedades del resultado, incluidas las básicas como la funcionalidad. La otra manera es tener en cuenta la categoría exacta de proyectivas módulos más de R y para establecer K i ( R ) para ser el K-teoría de esa categoría, que se define mediante el Q-construcción . Este enfoque demostró ser más útil y podría aplicarse también a otras categorías exactas. Posteriormente, Friedhelm Waldhausen en Waldhausen (1985) extendió aún más la noción de teoría K, a muy diferentes tipos de categorías, incluida la categoría de espacios topológicos .
Teoría K de las categorías de Waldhausen
En álgebra, la construcción S es una construcción en la teoría K algebraica que produce un modelo que puede usarse para definir grupos K superiores. Se debe a Friedhelm Waldhausen y se refiere a una categoría con cofibraciones y equivalencias débiles; tal categoría se llama categoría de Waldhausen y generaliza la categoría exacta de Quillen . Se puede pensar que una cofibración es análoga a un monomorfismo , y una categoría con cofibraciones es aquella en la que, en términos generales, los monomorfismos son estables bajo empujones . [3] Según Waldhausen, la "S" fue elegida para representar a Graeme B. Segal . [4]
A diferencia de la construcción Q , que produce un espacio topológico, la construcción S produce un conjunto simple .
Detalles
La categoría de flecha de una categoría C es una categoría cuyos objetos son morfismos en C y cuya morfismos son cuadrados en C . Sea un conjunto ordenado finito ser visto como una categoría de la forma habitual.
Sea C una categoría con cofibraciones y sea ser una categoría cuyos objetos son functores tal que, por , , es una cofibración, y es el empuje de y . La categoríadefinida de esta manera es en sí misma una categoría con cofibraciones. Por lo tanto, se puede iterar la construcción, formando la secuencia. Esta secuencia es un espectro llamado el espectro K-teoría de C .
El teorema de la aditividad
La mayoría de las propiedades básicas de la teoría K algebraica de categorías son consecuencias del siguiente teorema importante. [5] Hay versiones del mismo en todas las configuraciones disponibles. Aquí hay una declaración para las categorías de Waldhausen. En particular, se usa para mostrar que la secuencia de espacios obtenida por la construcción S iterada es un espectro Ω .
Sea C una categoría de Waldhausen . La categoría de extensiones tiene como objetos las secuencias en C , donde el primer mapa es una cofibración, yes un mapa de cociente, es decir, un empuje del primero a lo largo del mapa de cero A → 0 . Esta categoría tiene una estructura Waldhausen natural, y el functor olvidadizo de a C × C lo respeta. El teorema de la aditividad dice que el mapa inducido en los espacios de la teoría Kes una equivalencia de homotopía. [6]
Para las categorías dg, la declaración es similar. Sea C una pequeña categoría dg pretriangulada con una descomposición semiortogonal . Entonces, el mapa de espectros de la teoría K K ( C ) → K ( C 1 ) ⊕ K ( C 2 ) es una equivalencia de homotopía. [7] De hecho, la teoría K es un funtor universal que satisface esta propiedad de aditividad y la invariancia de Morita . [1]
Categoría de conjuntos finitos
Considere la categoría de conjuntos finitos puntiagudos . Esta categoría tiene un objetopara cada número natural k , y los morfismos en esta categoría son las funcionesque conservan el elemento cero. Un teorema de Barratt, Priddy y Quillen dice que la teoría K algebraica de esta categoría es un espectro de esferas . [4]
Diverso
De manera más general, en la teoría de categorías abstractas, la teoría K de una categoría es un tipo de decategorificación en la que un conjunto se crea a partir de una clase de equivalencia de objetos en una categoría estable (∞, 1), donde los elementos del conjunto heredan una categoría. Estructura del grupo abeliano a partir de las secuencias exactas de la categoría. [8]
Método de finalización grupal
La construcción del grupo Grothendieck es un functor de la categoría de anillos a la categoría de grupos abelianos. La teoría K superior debería ser entonces un funtor de la categoría de anillos pero a la categoría de objetos superiores, como los grupos abelianos simpliciales .
Homología topológica de Hochschild
Waldhausen introdujo la idea de un mapa de trazas de la teoría K algebraica de un anillo a su homología Hochschild ; por medio de este mapa, se puede obtener información sobre la teoría K a partir de la homología de Hochschild. Bökstedt factorizó este mapa de trazas, lo que llevó a la idea de un funtor conocido como homología topológica de Hochschild del espectro de Eilenberg-MacLane del anillo . [9]
Teoría K de un anillo simplicial
Si R es un anillo simplicial constante, entonces esto es lo mismo que la teoría K de un anillo.
Ver también
- Espacio Volodin
- Homología cotriple
Notas
- ↑ a b Tabuada, Goncalo (2008). " Teoría de K superior a través de invariantes universales". Diario de matemáticas de Duke . 145 (1): 121–206. arXiv : 0706.2420 . doi : 10.1215 / 00127094-2008-049 .
- ^ * Blumberg, Andrew J; Gepner, David; Tabuada, Gonçalo (18 de abril de 2013). "Una caracterización universal de la teoría K algebraica superior". Geometría y topología . 17 (2): 733–838. arXiv : 1001.2282 . doi : 10.2140 / gt.2013.17.733 . ISSN 1364-0380 .
- ^ Boyarchenko, Mitya (4 de noviembre de 2007). " Teoría K de una categoría de Waldhausen como espectro simétrico" (PDF) .
- ^ a b Dundas, Bjørn Ian; Goodwillie, Thomas G .; McCarthy, Randy (6 de septiembre de 2012). La estructura local de la teoría K algebraica . Springer Science & Business Media. ISBN 9781447143932.
- ^ Staffeldt, Ross (1989). "Sobre teoremas fundamentales de la teoría K algebraica". K-teoría . 2 (4): 511–532. doi : 10.1007 / bf00533280 .
- ^ Weibel, Charles (2013). "Capítulo V: Los teoremas fundamentales de la teoría K superior". El libro K: una introducción a la teoría K algebraica . Estudios de Posgrado en Matemáticas. 145 . AMS.
- ^ Tabuada, Gonçalo (2005). "Invariantes additifs de dg-catégories". Avisos internacionales de investigación en matemáticas . 2005 (53): 3309–3339. arXiv : matemáticas / 0507227 . Bibcode : 2005math ...... 7227T . doi : 10.1155 / IMRN.2005.3309 .
- ^ "Teoría K en nLab" . ncatlab.org . Consultado el 22 de agosto de 2017 .
- ^ Schwänzl, R .; Vogt, RM; Waldhausen, F. (octubre de 2000). "Homología topológica de Hochschild" . Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 62 (2): 345–356. CiteSeerX 10.1.1.1020.4419 . doi : 10.1112 / s0024610700008929 . ISSN 1469-7750 .
Referencias
- J. Lurie , Álgebra superior , última actualización en agosto de 2017
- Toën, B .; Vezzosi, G. (2004). "Un comentario sobre la teoría K y las categorías S ". Topología . 43 (4): 765–791. arXiv : matemáticas / 0210125 . doi : 10.1016 / j.top.2003.10.008 .
- Carlsson, Gunnar (2005). "Desviaciones en la teoría K algebraica" (PDF) . En Friedlander, Eric M .; Grayson, Daniel R. (eds.). Manual de K-Theory . Springer Berlín Heidelberg. págs. 3-37. doi : 10.1007 / 978-3-540-27855-9_1 . ISBN 9783540230199.
- Quillen, Daniel (1973), "Teoría K algebraica superior. I", Teoría K algebraica, I: Teorías K superiores (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Washington, 1972) , Lecture Notes en Math, 341 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 85–147, doi : 10.1007 / BFb0067053 , ISBN 978-3-540-06434-3, MR 0338129
- Waldhausen, Friedhelm (1985). "Teoría K algebraica de espacios" . Topología algebraica y geométrica . Apuntes de clase en matemáticas. 1126 : 318–419. doi : 10.1007 / BFb0074449 . ISBN 978-3-540-15235-4.
- Thomason, Robert W. (1979). "Secuencias espectrales del primer cuadrante en la teoría K algebraica" (PDF) . Topología algebraica Aarhus 1978 . Saltador. págs. 332–355.
- Blumberg, Andrew J; Gepner, David; Tabuada, Gonçalo (18 de abril de 2013). "Una caracterización universal de la teoría K algebraica superior". Geometría y topología . 17 (2): 733–838. arXiv : 1001.2282 . doi : 10.2140 / gt.2013.17.733 . ISSN 1364-0380 .
Otras lecturas
- Geisser, Thomas (2005). "El mapa de trazas ciclotómicas y valores de funciones zeta". Álgebra y teoría de números . Agencia de libros Hindustan, Gurgaon. págs. 211-225. arXiv : matemáticas / 0406547 . doi : 10.1007 / 978-93-86279-23-1_14 . ISBN 978-81-85931-57-9.
Para conocer el enfoque reciente de la categoría,, consulte
- Dyckerhoff, Tobias; Kapranov, Mikhail (14 de diciembre de 2012). "Espacios Segal superiores I". arXiv : 1212.3563 [ math.AT ].