En análisis matemático , el teorema de punto fijo de Kakutani es un teorema de punto fijo para funciones con valores establecidos . Proporciona condiciones suficientes para que una función de conjunto de valores definida en un subconjunto convexo y compacto de un espacio euclidiano tenga un punto fijo , es decir, un punto que se asigna a un conjunto que lo contiene. El teorema del punto fijo de Kakutani es una generalización del teorema del punto fijo de Brouwer . El teorema del punto fijo de Brouwer es un resultado fundamental en topología que demuestra la existencia de puntos fijos parafunciones continuas definidas en subconjuntos convexos y compactos de espacios euclidianos. El teorema de Kakutani extiende esto a funciones con valores establecidos.
El teorema fue desarrollado por Shizuo Kakutani en 1941, [1] y fue utilizado por John Nash en su descripción de los equilibrios de Nash . [2] Posteriormente, ha encontrado una aplicación generalizada en la teoría de juegos y la economía . [3]
Declaración
El teorema de Kakutani establece: [4]
- Sea S un subconjunto no vacío , compacto y convexo de algún espacio euclidiano R n .
- Sea φ : S → 2 S una función de valor establecido en S con las siguientes propiedades:
- φ tiene un gráfico cerrado ;
- φ ( x ) es no vacío y convexa para todos x ∈ S .
- Entonces φ tiene un punto fijo .
Definiciones
- Función de valor establecido
- Una función de conjunto con valores de φ a partir del conjunto X al conjunto Y es una regla que asocia uno o más puntos en Y con cada punto en X . Formalmente, puede verse como una función ordinaria de X al conjunto de potencias de Y , escrito como φ : X → 2 Y , tal que φ ( x ) no está vacío para cada . Algunos prefieren el término correspondencia , que se usa para referirse a una función que para cada entrada puede devolver muchas salidas. Por tanto, cada elemento del dominio corresponde a un subconjunto de uno o más elementos del rango.
- Gráfico cerrado
- Una función establecida con valores: X → 2 Y se dice que tiene un gráfico cerrado si el conjunto {( x , y ) | y ∈ φ ( x )} es un subconjunto cerrado de X × Y en la topología del producto, es decir, para todas las secuencias y tal que , y para todos , tenemos .
- Punto fijo
- Sea φ: X → 2 X una función de valor establecido. Entonces a ∈ X es un punto fijo de φ si a ∈ φ ( a ).
Ejemplos de
Una función con infinitos puntos fijos
La función: , que se muestra en la figura de la derecha, satisface todas las condiciones de Kakutani y, de hecho, tiene muchos puntos fijos: cualquier punto en la línea de 45 ° (línea de puntos en rojo) que interseca la gráfica de la función (sombreada en gris) es un punto fijo punto, por lo que de hecho hay una infinidad de puntos fijos en este caso particular. Por ejemplo, x = 0,72 (línea punteada en azul) es un punto fijo desde 0,72 ∈ [1 - 0,72 / 2, 1 - 0,72 / 4].
Una función con un punto fijo único
La función:
satisface todas las condiciones de Kakutani, y de hecho tiene un punto fijo: x = 0.5 es un punto fijo, ya que x está contenido en el intervalo [0,1].
Una función que no satisface la convexidad.
El requisito de que φ ( x ) sea convexo para todo x es esencial para que se cumpla el teorema.
Considere la siguiente función definida en [0,1]:
La función no tiene un punto fijo. Aunque satisface todos los demás requisitos del teorema de Kakutani, su valor no es convexo en x = 0,5.
Una función que no satisface el gráfico cerrado
Considere la siguiente función definida en [0,1]:
La función no tiene un punto fijo. Aunque satisface todos los demás requisitos del teorema de Kakutani, su gráfico no es cerrado; por ejemplo, considere las secuencias x n = 0.5 - 1 / n , y n = 3/4.
Declaración alternativa
Algunas fuentes, incluido el artículo original de Kakutani, utilizan el concepto de hemicontinuidad superior al afirmar el teorema:
- Sea S un subconjunto no vacío , compacto y convexo de algún espacio euclidiano R n . Deje φ : S → 2 S sea un hemicontinua superior función de conjunto de valor en S con la propiedad de que φ ( x ) es no vacío, se cerró, y convexa para todos x ∈ S . Entonces φ tiene un punto fijo .
Esta declaración del teorema de Kakutani es completamente equivalente a la declaración dada al comienzo de este artículo.
Podemos mostrar esto usando el teorema de gráfico cerrado para funciones con valores establecidos, [5] que dice que para un espacio compacto de rango de Hausdorff Y , una función con valores establecidos φ : X → 2 Y tiene un gráfico cerrado si y solo si es hemicontinuo superior y φ ( x ) es un conjunto cerrado para todo x . Dado que todos los espacios euclidianos son de Hausdorff (siendo espacios métricos ) y se requiere que φ tenga valores cerrados en el enunciado alternativo del teorema de Kakutani, el teorema del gráfico cerrado implica que los dos enunciados son equivalentes.
Aplicaciones
Teoría de juego
El teorema del punto fijo de Kakutani se puede utilizar para demostrar el teorema minimax en la teoría de los juegos de suma cero . Esta aplicación fue discutida específicamente en el artículo original de Kakutani. [1]
El matemático John Nash utilizó el teorema del punto fijo de Kakutani para demostrar un resultado importante en la teoría de juegos . [2] Expresado informalmente, el teorema implica la existencia de un equilibrio de Nash en cada juego finito con estrategias mixtas para cualquier número de jugadores. Este trabajo le valió más tarde un Premio Nobel de Economía . En este caso:
- El conjunto base S es el conjunto de tuplas de estrategias mixtas elegidas por cada jugador en un juego. Si cada jugador tiene k acciones posibles, entonces la estrategia de cada jugador es una k -tupla de probabilidades que suman 1, por lo que el espacio de estrategia de cada jugador es el simplex estándar en R k . Entonces, S es el producto cartesiano de todos estos simples. De hecho, es un subconjunto no vacío, compacto y convexo de R kn .
- La función φ ( x ) asocia con cada tupla una nueva tupla donde la estrategia de cada jugador es su mejor respuesta a las estrategias de otros jugadores en x . Dado que puede haber una serie de respuestas que sean igualmente buenas, φ tiene un valor fijo en lugar de un valor único. Para cada x , φ ( x ) no está vacío ya que siempre hay al menos una mejor respuesta. Es convexo, ya que una combinación de dos mejores respuestas para un jugador sigue siendo una mejor respuesta para el jugador. Se puede demostrar que φ tiene un gráfico cerrado.
- Entonces, el equilibrio de Nash del juego se define como un punto fijo de φ, es decir, una tupla de estrategias donde la estrategia de cada jugador es la mejor respuesta a las estrategias de los otros jugadores. El teorema de Kakutani asegura que este punto fijo existe.
Equilibrio general
En la teoría del equilibrio general en economía, el teorema de Kakutani se ha utilizado para demostrar la existencia de un conjunto de precios que equiparan simultáneamente la oferta con la demanda en todos los mercados de una economía. [6] La existencia de tales precios había sido una cuestión abierta en economía que se remontaba al menos a Walras . La primera prueba de este resultado fue construida por Lionel McKenzie . [7]
En este caso:
- El conjunto base S es el conjunto de tuplas de precios de los productos básicos.
- La función φ ( x ) se elige de modo que su resultado difiera de sus argumentos siempre que la tupla de precios x no iguale la oferta y la demanda en todas partes. El desafío aquí es construir φ de modo que tenga esta propiedad y al mismo tiempo satisfaga las condiciones del teorema de Kakutani. Si esto se puede hacer, entonces φ tiene un punto fijo de acuerdo con el teorema. Dada la forma en que se construyó, este punto fijo debe corresponder a una tupla de precios que iguale la oferta con la demanda en todas partes.
División justa
El teorema del punto fijo de Kakutani se usa para probar la existencia de asignaciones de pastel que son libres de envidia y eficientes en el sentido de Pareto . Este resultado se conoce como teorema de Weller .
Esquema de prueba
S = [0,1]
La demostración del teorema de Kakutani es más simple para funciones de valores establecidos definidas sobre intervalos cerrados de la línea real. Sin embargo, la prueba de este caso es instructiva, ya que su estrategia general también puede trasladarse al caso de dimensiones superiores.
Sea φ: [0,1] → 2 [0,1] una función con valores establecidos en el intervalo cerrado [0,1] que satisface las condiciones del teorema del punto fijo de Kakutani.
- Cree una secuencia de subdivisiones de [0,1] con puntos adyacentes que se muevan en direcciones opuestas.
Sea ( a i , b i , p i , q i ) para i = 0, 1, ... ser una secuencia con las siguientes propiedades:
1. 1 ≥ segundo yo > una yo ≥ 0 2. ( B i - un i ) ≤ 2 - i 3. p yo ∈ φ ( una yo ) 4. q yo ∈ φ ( segundo yo ) 5. p yo ≥ a yo 6. q yo ≤ b yo
Así, los intervalos cerrados [ a i , b i ] forman una secuencia de subintervalos de [0,1]. La condición (2) nos dice que estos subintervalos continúan haciéndose más pequeños, mientras que la condición (3) - (6) nos dice que la función φ desplaza el extremo izquierdo de cada subintervalo a su derecha y desplaza el extremo derecho de cada subintervalo a su izquierda.
Tal secuencia se puede construir como sigue. Sea a 0 = 0 y b 0 = 1. Sea p 0 cualquier punto en φ (0) y q 0 sea cualquier punto en φ (1). Entonces, las condiciones (1) - (4) se cumplen inmediatamente. Además, dado que p 0 ∈ φ (0) ⊂ [0,1], debe darse el caso de que p 0 ≥ 0 y, por tanto, se cumpla la condición (5). De manera similar, q 0 cumple la condición (6) .
Ahora suponga que hemos elegido a k , b k , p k y q k satisfaciendo (1) - (6). Dejar,
- m = ( un k + b k ) / 2.
Entonces m ∈ [0,1] porque [0,1] es convexo .
Si hay un r ∈ φ ( m ) tal que r ≥ m , entonces tomamos,
- a k +1 = m
- segundo k +1 = segundo k
- p k +1 = r
- q k +1 = q k
De lo contrario, dado que φ ( m ) no está vacío, debe haber un s ∈ φ ( m ) tal que s ≤ m . En este caso,
- a k +1 = a k
- b k +1 = m
- p k +1 = p k
- q k +1 = s .
Se puede verificar que a k +1 , b k +1 , p k +1 y q k +1 satisfacen las condiciones (1) - (6).
- Encuentre un punto límite de las subdivisiones.
El producto cartesiano [0,1] × [0,1] × [0,1] × [0,1] es un conjunto compacto por el teorema de Tychonoff . Dado que la secuencia ( a n , p n , b n , q n ) se encuentra en este conjunto compacto, debe tener una subsecuencia convergente según el teorema de Bolzano-Weierstrass . Fijemos la atención en dicha subsecuencia y dejemos que su límite sea ( a *, p *, b *, q *). Dado que la gráfica de φ es cerrada, debe darse el caso de que p * ∈ φ ( a *) y q * ∈ φ ( b *). Además, por condición (5), p * ≥ a * y por condición (6), q * ≤ b *.
Pero como ( b i - a i ) ≤ 2 - i por la condición (2),
- b * - un * = (lim b n ) - (LIM un n ) = lim ( b n - un n ) = 0.
Entonces, b * es igual a a *. Sea x = b * = a *.
Entonces tenemos la situación de que
- φ ( x ) ∋ q * ≤ x ≤ p * ∈ φ ( x ).
- Muestre que el punto límite es un punto fijo.
Si p * = q * entonces p * = x = q *. Dado que p * ∈ φ ( x ), x es un punto fijo de φ.
De lo contrario, podemos escribir lo siguiente. Recuerde que podemos parametrizar una línea entre dos puntos ayb mediante (1-t) a + tb. Usando nuestro hallazgo anterior de que q
una vez más se sigue que x debe pertenecer a φ ( x ) ya que p * yq * lo hacen y, por tanto, x es un punto fijo de φ.
S es un n- simple
En dimensiones mayores a uno, n -simplices son los objetos más simples en los que se puede demostrar el teorema de Kakutani. De manera informal, un n- simple es la versión de dimensiones superiores de un triángulo. Demostrar el teorema de Kakutani para la función de conjunto de valores definida en un simplex no es esencialmente diferente de probarlo para intervalos. La complejidad adicional en el caso de dimensiones superiores existe en el primer paso de dividir el dominio en subpiezas más finas:
- Donde dividimos los intervalos en dos en el medio en el caso unidimensional, la subdivisión baricéntrica se usa para dividir un simplex en sub-simplices más pequeños.
- Mientras que en el caso unidimensional podríamos usar argumentos elementales para elegir uno de los medios intervalos de manera que sus puntos finales se movieran en direcciones opuestas, en el caso de los simples, el resultado combinatorio conocido como lema de Sperner se usa para garantizar la existencia de un subsimplejo apropiado.
Una vez que se han realizado estos cambios en el primer paso, los pasos segundo y tercero para encontrar un punto límite y demostrar que es un punto fijo prácticamente no cambian con respecto al caso unidimensional.
Arbitrario S
El teorema de Kakutani para n-simples se puede utilizar para demostrar el teorema de un S convexo compacto arbitrario . Una vez más, empleamos la misma técnica de crear subdivisiones cada vez más finas. Pero en lugar de triángulos con bordes rectos como en el caso de n-simplices, ahora usamos triángulos con bordes curvos. En términos formales, encontramos un simplex que cubre S y luego movemos el problema de S al simplex usando una deformación retractada . Entonces podemos aplicar el resultado ya establecido para n-simples.
Generalizaciones de dimensión infinita
El teorema del punto fijo de Kakutani fue extendido a espacios vectoriales topológicos localmente convexos de dimensión infinita por Irving Glicksberg [8] y Ky Fan . [9] Para enunciar el teorema en este caso, necesitamos algunas definiciones más:
- Hemicontinuidad superior
- Una función establecida con valores φ: X → 2 Y es hemicontinua superior si para cada conjunto abierto W ⊂ Y , el conjunto { x | φ ( x ) ⊂ W } es abierto en X . [10]
- Mapa de Kakutani
- Deje que X y Y sean espacios vectoriales topológicos y φ: X → 2 Y sea una función set-valorado. Si Y es convexa, entonces φ se denomina un mapa Kakutani si es hemicontinua superior y φ ( x ) es no vacío, compacto y convexo para todo x ∈ X . [10]
Entonces, el teorema de Kakutani-Glicksberg-Fan se puede establecer como: [10]
- Sea S un subconjunto no vacío , compacto y convexo de un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff . Sea φ: S → 2 S un mapa de Kakutani. Entonces φ tiene un punto fijo.
El resultado correspondiente para funciones de un solo valor es el teorema de punto fijo de Tychonoff .
Hay otra versión de que el enunciado del teorema se vuelve el mismo que en el caso euclidiano : [5]
- Sea S un subconjunto no vacío , compacto y convexo de un espacio de Hausdorff localmente convexo . Sea φ: S → 2 S una función con valores establecidos en S que tiene un gráfico cerrado y la propiedad de que φ (x) no es vacío y es convexo para todo x ∈ S. Entonces, el conjunto de puntos fijos de φ no es -vacío y compacto.
Anécdota
En su libro de texto de teoría de juegos, [11] Ken Binmore recuerda que Kakutani una vez le preguntó en una conferencia por qué tantos economistas habían asistido a su charla. Cuando Binmore le dijo que probablemente se debía al teorema del punto fijo de Kakutani, Kakutani estaba desconcertado y respondió: "¿Qué es el teorema del punto fijo de Kakutani?"
Referencias
- ↑ a b Kakutani, Shizuo (1941). "Una generalización del teorema del punto fijo de Brouwer". Diario de matemáticas de Duke . 8 (3): 457–459. doi : 10.1215 / S0012-7094-41-00838-4 .
- ^ a b Nash, JF, Jr. (1950). "Puntos de equilibrio en juegos de N-Person" . Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 36 (1): 48–49. doi : 10.1073 / pnas.36.1.48 . PMC 1063129 . PMID 16588946 .
- ^ Frontera, Kim C. (1989). Teoremas de punto fijo con aplicaciones a la economía y la teoría de juegos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-38808-2.
- ^ Osborne, Martin J .; Rubinstein, Ariel (1994). Un curso de teoría de juegos . Cambridge, MA: MIT.
- ^ a b Aliprantis, Charlambos; Kim C. Border (1999). "Capítulo 17". Análisis dimensional infinito: Guía del autoestopista (3ª ed.). Saltador.
- ^ Starr, Ross M. (1997). Teoría del equilibrio general . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-56473-1.
- ^ McKenzie, Lionel (1954). "Sobre el equilibrio en el modelo de comercio mundial y otros sistemas competitivos de Graham". Econometrica . 22 (2): 147-161. doi : 10.2307 / 1907539 .
- ^ Glicksberg, IL (1952). "Una mayor generalización del teorema del punto fijo de Kakutani, con aplicación al equilibrio de Nash" . Actas de la American Mathematical Society . 3 (1): 170-174. doi : 10.2307 / 2032478 . JSTOR 2032478 .
- ^ Fan, Ky (1952). "Teoremas de punto fijo y Minimax en espacios lineales topológicos localmente convexos" . Proc Natl Acad Sci USA . 38 (2): 121-126. doi : 10.1073 / pnas.38.2.121 . PMC 1063516 . PMID 16589065 .
- ^ a b c Dugundji, James ; Andrzej Granas (2003). "Capítulo II, Sección 5.8". Teoría del punto fijo (vista previa limitada) . Saltador. ISBN 978-0-387-00173-9.
- ^ Binmore, Ken (2007). "¿Cuándo existen los equilibrios de Nash?" . Jugando de verdad: un texto sobre teoría de juegos (1ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 256.
Otras lecturas
- Frontera, Kim C. (1989). Teoremas de punto fijo con aplicaciones a la economía y la teoría de juegos . Prensa de la Universidad de Cambridge. (Referencia estándar sobre la teoría del punto fijo para economistas. Incluye una demostración del teorema de Kakutani).
- Dugundji, James ; Andrzej Granas (2003). Teoría del punto fijo . Saltador. (Tratamiento matemático completo de alto nivel de la teoría del punto fijo, incluidos los análogos de dimensión infinita del teorema de Kakutani).
- Arrow, Kenneth J .; FH Hahn (1971). Análisis competitivo general . Holden-Day. (Referencia estándar sobre la teoría del equilibrio general . El capítulo 5 utiliza el teorema de Kakutani para demostrar la existencia de precios de equilibrio. El apéndice C incluye una demostración del teorema de Kakutani y analiza su relación con otros resultados matemáticos utilizados en economía).
enlaces externos
- "Teorema de Kakutani" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- El teorema de Kakutani no se puede reducir al teorema de Brouwer usando una función de selección continua