En matemáticas , particularmente en análisis funcional y topología , el gráfico cerrado es una propiedad de las funciones . [1] [2] Una función f : X → Y entre espacios topológicos tiene un grafo cerrado si su gráfica es un subconjunto cerrado del espacio de producto X × Y . Una propiedad relacionada es el gráfico abierto . [3]
Esta propiedad se estudia porque hay muchos teoremas, conocidos como teoremas de grafos cerrados , que dan condiciones bajo las cuales una función con grafos cerrados es necesariamente continua . Una clase particularmente conocida de teoremas de grafos cerrados son los teoremas de grafos cerrados en el análisis funcional .
Definiciones
Gráficos y multifunciones
- Definición y notación : La gráfica de una función f : X → Y es el conjunto
- Gr f : = {( x , f ( x )): x ∈ X } = {( x , y ) ∈ X × Y : y = f ( x )} .
- Notación : si Y es un conjunto, entonces el conjunto de potencias de Y , que es el conjunto de todos los subconjuntos de Y , se indica con 2 Y o 𝒫 ( Y ) .
- Definición : Si X y Y son conjuntos luego una Y -valued multifunción en X , también llamado un conjunto de funciones de valor en Y en X , es una función F : X → 2 Y con dominio X que se valora en 2 Y . Es decir, F es una función en X tal que para cada x ∈ X , F ( x ) es un subconjunto de Y .
- Algunos autores llaman multifunción a una función F : X → 2 Y solo si satisface el requisito adicional de que F ( x ) no está vacío para todo x ∈ X ; este artículo no requiere esto.
- Definición y notación : Si F : X → 2 Y es una multifunción en un conjunto Y, entonces la gráfica de F es el conjunto
- Gr F : = {( x , y ) ∈ X × Y : y ∈ F ( x )} .
- Definición : Una función f : X → Y puede identificarse canónicamente con la multifunción F : X → 2 Y definida por F ( x ): = { f ( x )} para cada x ∈ X , donde F se denomina multifunción canónica inducida por (o asociado con) f .
- Tenga en cuenta que en este caso, Gr f = Gr F .
Gráfico abierto y cerrado
Damos la definición más general de cuando un Y función o multifunción -valued definida en un subconjunto S de X tiene una gráfica cerrada ya que se necesita esta generalidad en el estudio de los operadores lineales cerrados que están definidos en un subespacio denso S de un vector topológico espacio X (y no necesariamente definido en todo X ). Este caso particular es una de las principales razones por las que las funciones con gráficos cerrados se estudian en el análisis funcional .
- Supuestos : A lo largo de, X y Y son espacios topológicos , S ⊆ X , y f es un Y función o -valued multifunción en S (es decir, f : S → Y o f : S → 2 Y ). X × Y siempre estará dotado de la topología del producto .
- Definición : [4] Decimos que f tiene una gráfica cerrada (resp. Gráfica abierta , gráfica secuencialmente cerrada , gráfica secuencialmente abierta ) en X × Y si la gráfica de f , Gr f , es una gráfica cerrada (resp. Abierta , secuencialmente cerrada , secuencialmente abierto ) subconjunto de X × Y cuando X × Y está dotado de la topología del producto . Si S = X o si X está claro por el contexto, entonces podemos omitir escribir "en X × Y "
- Observación : Si g : S → Y es una función y G es la multifunción canónica inducida por g (es decir, G : S → 2 Y está definido por G ( s ): = { g ( s )} para cada s ∈ S ) entonces desde Gr g = Gr g , g tiene un cerrado (resp. secuencialmente cerradas, abiertas, de forma secuencial abierto) gráfico en X × y si y sólo si el mismo es cierto de g .
Mapas y cierres que se pueden cerrar
- Definición : Decimos que la función (resp. Multifunción) f se puede cerrar en X × Y si existe un subconjunto D ⊆ X que contenga S y una función (resp. Multifunción) F : D → Y cuya gráfica sea igual al cierre de el conjunto Gr f en X × Y . Tal F se llama cierre de f en X × Y , se denota por f , y necesariamente se extiende f .
- Supuestos adicionales para mapas lineales : Si además, S , X , y Y son espacios vectoriales topológicos y f : S → Y es un mapa lineal entonces para llamar a f que se puede cerrar también requerimos que el conjunto D un subespacio vectorial de X y la cierre de f ser un mapa lineal.
- Definición : Si f se puede cerrar en S, entonces un núcleo o dominio esencial de f es un subconjunto D ⊆ S tal que el cierre en X × Y de la gráfica de la restricción f | D : D → Y de f a D es igual al cierre de la gráfica de f en X × Y (es decir, el cierre de Gr f en X × Y es igual al cierre de Gr f | D en X × Y ).
Mapas cerrados y operadores lineales cerrados
- Definición y notación : Cuando escribimos f : D ( f ) ⊆ X → Y entonces significa que f es un Y función -valued con dominio D ( f ) donde D ( f ) ⊆ X . Si decimos que f : D ( f ) ⊆ X → Y es cerrado (resp. Secuencialmente cerrado ) o tiene una gráfica cerrada (resp. Tiene una gráfica secuencialmente cerrada ) entonces queremos decir que la gráfica de f es cerrada (resp. Secuencialmente cerrado) en X × Y (en lugar de en D ( f ) × Y ).
Al leer literatura sobre análisis funcional , si f : X → Y es un mapa lineal entre espacios vectoriales topológicos (TVS) (por ejemplo, espacios de Banach ), entonces " f está cerrado" casi siempre significa lo siguiente:
- Definición : Un mapa f : X → Y se llama cerrada si su gráfica está cerrado en X × Y . En particular, el término " operador lineal cerrado " se referirá casi con certeza a un mapa lineal cuyo gráfico es cerrado.
De lo contrario, especialmente en la literatura sobre topología de conjuntos de puntos , " f está cerrado" puede significar lo siguiente:
- Definición : Un mapa f : X → Y entre espacios topológicos se llama un mapa cerrado si la imagen de un subconjunto cerrado de X es un subconjunto cerrado de Y .
Estas dos definiciones de "mapa cerrado" no son equivalentes. Si no está claro, se recomienda que un lector compruebe cómo la literatura que está leyendo define "mapa cerrado".
Caracterizaciones
Deje que X e Y sean espacios topológicos.
- Función con un gráfico cerrado
Si f : X → Y es una función, las siguientes son equivalentes:
- f tiene un gráfico cerrado (en X × Y );
- (definición) la gráfica de f , Gr f , es un subconjunto cerrado de X × Y ;
- para cada x ∈ X y neto x • = ( x i ) i ∈ I en X tal que x • → x en X , si y ∈ Y es tal que el neto f ( x • ): = ( f ( x i ) ) i ∈ I → y en Y entonces y = f ( x ) ; [4]
- Compare esto con la definición de continuidad en términos de redes, cuya memoria es la siguiente: para cada x ∈ X y neto x • = ( x i ) i ∈ I en X tal que x • → x en X , f ( x • ) → f ( x ) en Y .
- Así, para demostrar que la función f tiene un gráfico cerrado que podemos suponer que f ( x • ) converge en Y para algunos y ∈ Y (y luego muestran que y = f ( x ) ), mientras que para mostrar que f es continua que puede no suponga que f ( x • ) converge en Y a algún y ∈ Y y, en cambio, debemos demostrar que esto es cierto (y además, debemos demostrar más específicamente que f ( x • ) converge af ( x ) en Y ).
y si Y es un espacio compacto de Hausdorff , podemos agregar a esta lista:
- f es continuo; [5]
y si tanto X como Y son los primeros espacios contables , podemos agregar a esta lista:
- f tiene un gráfico cerrado secuencialmente (en X × Y );
- Función con un gráfico cerrado secuencialmente
Si f : X → Y es una función, las siguientes son equivalentes:
- f tiene un gráfico cerrado secuencialmente (en X × Y );
- (definición) la gráfica de f es un subconjunto cerrado secuencialmente de X × Y ;
- para cada x ∈ X y secuencia x • = ( x i )∞
yo = 1en X tal que x • → x en X , si y ∈ Y es tal que la red f ( x • ): = ( f ( x i ))∞
yo = 1→ y en Y entonces y = f ( x ) ; [4]
- Multifunción con gráfico cerrado
Si F : X → 2 Y es una función con valores establecidos entre los espacios topológicos X e Y, entonces los siguientes son equivalentes:
- F tiene un gráfico cerrado (en X × Y );
- (definición) la gráfica de F es un subconjunto cerrado de X × Y ;
y si Y es compacto y Hausdorff , podemos agregar a esta lista:
- F es hemicontinuo superior y F ( x ) es un subconjunto cerrado de Y para todo x ∈ X ; [6]
y si tanto X como Y son espacios metrizables, podemos agregar a esta lista:
- para todo x ∈ X , y ∈ Y , y sucesiones x • = ( x i )∞
yo = 1en X e y • = ( y i )∞
yo = 1en Y tal que x • → x en X e y • → y en Y , y y i ∈ F ( x i ) para todo i , entonces y ∈ F ( x ) . [ cita requerida ]
Condiciones suficientes para un gráfico cerrado
- Si f : X → Y es una función continua entre espacios topológicos y si Y es Hausdorff entonces f tiene un gráfico cerrado en X × Y . [4]
- Tenga en cuenta que si f : X → Y es una función entre espacios topológicos de Hausdorff, entonces es posible que f tenga un gráfico cerrado en X × Y pero no sea continuo.
Teoremas de grafos cerrados: cuando un grafo cerrado implica continuidad
Las condiciones que garantizan que una función con un gráfico cerrado es necesariamente continua se denominan teoremas de gráfico cerrado . Los teoremas de gráficos cerrados son de particular interés en el análisis funcional, donde hay muchos teoremas que dan condiciones bajo las cuales un mapa lineal con un gráfico cerrado es necesariamente continuo.
- Si f : X → Y es una función entre espacios topológicos cuyo gráfico está cerrado en X × Y y si Y es un espacio compacto, entonces f : X → Y es continuo. [4]
Ejemplos de
Mapas continuos pero no cerrados
- Sea X los números reales ℝ con la topología euclidiana habitual y Y denote ℝ con la topología indiscreta (donde tenga en cuenta que Y no es Hausdorff y que todas las funciones valoradas en Y son continuas). Sea f : X → Y definida por f (0) = 1 y f ( x ) = 0 para todo x ≠ 0 . Entonces f : X → Y es continua pero su gráfica es no cerrado en X × Y . [4]
- Si X es cualquier espacio, entonces el mapa de identidad Id: X → X es continuo pero su gráfico, que es la diagonal Gr Id: = {( x , x ): x ∈ X } , se cierra en X × X si y solo si X es Hausdorff. [7] En particular, si X no es Hausdorff, entonces Id: X → X es continuo pero no cerrado.
- Si f : X → Y es un mapa continuo cuya gráfica no es cerrada, entonces Y no es un espacio de Hausdorff.
Mapas cerrados pero no continuos
- Dejemos que X e Y denoten los números reales ℝ con la topología euclidiana habitual . Sea f : X → Y definido por f (0) = 0 y f ( x ) =1/Xpara todo x ≠ 0 . Entonces f : X → Y tiene un gráfico cerrado (y un gráfico secuencial cerrado) en X × Y = ℝ 2 pero es no continuo (ya que tiene una discontinuidad en x = 0 ). [4]
- Sea X los números reales ℝ con la topología euclidiana habitual , Y denote ℝ con la topología discreta , y sea Id: X → Y el mapa de identidad (es decir, Id ( x ): = x para cada x ∈ X ). Entonces Id: X → Y es un mapa lineal cuyo gráfico está cerrado en X × Y pero claramente no es continuo (ya que los conjuntos singleton están abiertos en Y pero no en X ). [4]
- Sea ( X , 𝜏) un TVS de Hausdorff y sea 𝜐 una topología vectorial en X que es estrictamente más fina que 𝜏 . Entonces el mapa de identidad Id: ( X , 𝜏) → ( X , 𝜐) un operador lineal discontinuo cerrado. [8]
Operadores lineales cerrados
Todo operador lineal continuo valorado en un espacio vectorial topológico (TVS) de Hausdorff tiene un gráfico cerrado y recuerde que un operador lineal entre dos espacios normativos es continuo si y solo si está acotado .
- Definición : Si X y Y son espacios vectoriales topológicos (TVSS) a continuación, que llamamos un mapa lineal f : D ( f ) ⊆ X → Y un operador lineal cerrado si su gráfica está cerrado en X × Y .
Teorema del gráfico cerrado
El teorema del grafo cerrado establece que cualquier operador lineal cerrado f : X → Y entre dos espacios F (como los espacios de Banach ) es continuo, donde recuerde que si X e Y son espacios de Banach, entonces f : X → Y siendo continuo es equivalente a f estar limitado.
Propiedades básicas
Las siguientes propiedades se verifican fácilmente para un operador lineal f : D ( f ) ⊆ X → Y entre espacios de Banach:
- Si A está cerrado, entonces A - λ Id D ( f ) está cerrado donde λ es un escalar e Id D ( f ) es la función de identidad ;
- Si f es cerrado, entonces su núcleo (o espacio nulo) es un subespacio vectorial cerrado de X ;
- Si f es cerrada e inyectiva, entonces su inversa f −1 también es cerrada;
- Un operador lineal f admite un cierre si y solo si para cada x ∈ X y cada par de sucesiones x • = ( x i )∞
yo = 1y y • = ( y i )∞
yo = 1en D ( f ) ambos convergen ax en X , de modo que ambos f ( x • ) = ( f ( x i ))∞
yo = 1y f ( y • ) = ( f ( y i ))∞
yo = 1convergen en Y , uno tiene lim i → ∞ fx i = lim i → ∞ fy i .
Ejemplo
Considere el operador derivado A = D/dxdonde X = Y = C ([ a , b ]) es el espacio de Banach de todas las funciones continuas en un intervalo [ a , b ] . Si se toma su dominio D ( f ) como C 1 ([ a , b ]) , entonces f es un operador cerrado, que no está acotado. [9] Por otro lado, si D ( f ) = C ∞ ([ a , b ]) , entonces f ya no se cerrará, pero se podrá cerrar, siendo el cierre su extensión definida en C 1 ([ a , b ]) .
Ver también
- Mapa lineal casi abierto
- Teorema del gráfico cerrado
- Teorema del gráfico cerrado (análisis funcional) : teoremas para deducir la continuidad del gráfico de una función
- Teorema de punto fijo de Kakutani : activado cuando una función f: S → Pow (S) en un subconjunto convexo compacto no vacío S⊂ℝⁿ tiene un punto fijo
- Teorema de mapeo abierto (análisis funcional) : teorema que da las condiciones para que un mapa lineal continuo sea un mapa abierto
- Espacio palmeado : espacios vectoriales topológicos para los que se cumplen los teoremas de mapeo abierto y gráficos cerrados.
Referencias
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