El lema de Kalman-Yakubovich-Popov es un resultado del análisis de sistemas y la teoría de control que establece: Dado un número, dos n-vectores B, C y una matriz A de Hurwitz nxn , si el pares completamente controlable , entonces una matriz simétrica P y un vector Q satisfacen
existir si y solo si
Además, el conjunto es el subespacio no observable para el par .
El lema puede verse como una generalización de la ecuación de Lyapunov en la teoría de la estabilidad. Establece una relación entre una desigualdad de matriz lineal que involucra las construcciones del espacio de estados A, B, C y una condición en el dominio de la frecuencia .
El lema de Kalman-Popov-Yakubovich que fue formulado y probado por primera vez en 1962 por Vladimir Andreevich Yakubovich [1], donde se afirmó que para la estricta desigualdad de frecuencias. El caso de la desigualdad de frecuencias no estricta fue publicado en 1963 por Rudolf E. Kalman . [2] En ese artículo también se estableció la relación con la resolubilidad de las ecuaciones de Lur'e. Ambos artículos consideraron sistemas de entrada escalar. La restricción sobre la dimensionalidad del control fue eliminada en 1964 por Gantmakher y Yakubovich [3] e independientemente por Vasile Mihai Popov . [4] Se puede encontrar una revisión extensa del tema en. [5]
Lema multivariable de Kalman-Yakubovich-Popov
Dado con para todos y controlable, los siguientes son equivalentes:
- para todos
- existe una matriz tal que y
La equivalencia correspondiente para desigualdades estrictas se mantiene incluso si no es controlable. [6]
Referencias
- ^ Yakubovich, Vladimir Andreevich (1962). "La solución de ciertas desigualdades matriciales en la teoría del control automático". Dokl. Akad. Nauk SSSR . 143 (6): 1304-1307.
- ^ Kalman, Rudolf E. (1963). "Funciones de Lyapunov para el problema de Lur'e en control automático" (PDF) . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 49 (2): 201–205. Código bibliográfico : 1963PNAS ... 49..201K . doi : 10.1073 / pnas.49.2.201 . PMC 299777 . PMID 16591048 .
- ^ Gantmakher, FR y Yakubovich, VA (1964). Estabilidad absoluta de los sistemas controlables no lineales, Proc. II Conf. De toda la Unión Mecánica Teórica Aplicada . Moscú: Nauka.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Popov, Vasile M. (1964). "Hiperestabilidad y Optimidad de Sistemas Automáticos con Varias Funciones de Control". Rev. Roumaine Sci. Tech . 9 (4): 629–890.
- ^ Gusev SV y Likhtarnikov AL (2006). "Lema de Kalman-Popov-Yakubovich y el procedimiento S: un ensayo histórico". Automatización y Telemando . 67 (11): 1768–1810. doi : 10.1134 / s000511790611004x .
- ^ Anders Rantzer (1996). "Sobre el lema de Kalman-Yakubovich-Popov". Sistemas y cartas de control . 28 (1): 7–10. doi : 10.1016 / 0167-6911 (95) 00063-1 .
B. Brogliato, R. Lozano, M. Maschke, O. Egeland , Análisis y control de sistemas disipativos , Springer Nature Switzerland AG, 3a edición, 2020 (capítulo 3, páginas 81-262), ISBN 978-3--030- 19419-2