Categoría triangulada
En matemáticas , una categoría triangulada es una categoría con la estructura adicional de un "functor de traducción" y una clase de "triángulos exactos". Ejemplos destacados son la categoría derivada de una categoría abeliana , así como la categoría de homotopía estable . Los triángulos exactos generalizan las secuencias exactas cortas en una categoría abeliana, así como las secuencias de fibras y las secuencias de cofibras en topología.
Gran parte del álgebra homológica se aclara y amplía mediante el lenguaje de categorías trianguladas, siendo un ejemplo importante la teoría de la cohomología de gavillas . En la década de 1960, un uso típico de categorías trianguladas era ampliar propiedades de poleas en un espacio X para complejos de poleas, vistos como objetos de la categoría derivado de poleas en X . Más recientemente, las categorías trianguladas se han convertido en objetos de interés por derecho propio. Se han probado o conjeturado muchas equivalencias entre categorías trianguladas de diferentes orígenes. Por ejemplo, la conjetura de simetría especular homológica predice que la categoría derivada de una variedad Calabi-Yau es equivalente a laCategoría Fukaya de su variedad simpléctica "espejo" .
Las categorías trianguladas fueron introducidas de forma independiente por Dieter Puppe (1962) y Jean-Louis Verdier (1963), aunque los axiomas de Puppe eran menos completos (carecían del axioma octaédrico (TR 4)). [1] Puppe estaba motivado por la categoría de homotopía estable. El ejemplo clave de Verdier fue la categoría derivada de una categoría abeliana, que también definió, desarrollando ideas de Alexander Grothendieck . Las primeras aplicaciones de las categorías derivadas incluyeron la dualidad coherente y la dualidad Verdier , que extiende la dualidad de Poincaré a espacios singulares.
Un cambio o funtor traducción en una categoría D es un automorfismo aditivo (o para algunos autores, un auto de equivalencia ) de D a D . Es común escribir para números enteros n .
![{\ Displaystyle X [n] = \ Sigma ^ {n} X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08610d4aeee037672d8990b22933f4f76275179e)
Un triángulo ( X , Y , Z , U , V , W ) se compone de tres objetos X , Y , y Z , junto con morfismos , y . Los triángulos generalmente se escriben en forma desenredada:
![{\ Displaystyle w \ dos puntos Z \ a X [1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd0e1f46d0d9e4dda8d4d848dd1fa2cfab99a99e)
Una categoría triangulada es una categoría aditiva D con un functor de traducción y una clase de triángulos, llamados triángulos exactos [2] (o triángulos distinguidos ), que satisfacen las siguientes propiedades (TR 1), (TR 2), (TR 3) y ( TR 4). (Estos axiomas no son completamente independientes, ya que (TR 3) se puede derivar de los demás. [3] )