En los campos matemáticos de la topología y la teoría K , el teorema de Serre-Swan , también llamado teorema de Swan , relaciona la noción geométrica de paquetes vectoriales con el concepto algebraico de módulos proyectivos y da lugar a una intuición común en todas las matemáticas : "módulos proyectivos sobre los anillos conmutativos son como paquetes de vectores en espacios compactos ".
Las dos formulaciones precisas de los teoremas difieren algo. El teorema original, como lo declaró Jean-Pierre Serre en 1955, es de naturaleza más algebraica y se refiere a conjuntos de vectores en una variedad algebraica sobre un campo algebraicamente cerrado (de cualquier característica ). La variante complementaria declarada por Richard Swan en 1962 es más analítica y se refiere a los paquetes de vectores (reales, complejos o cuaterniónicos) en una variedad suave o espacio de Hausdorff .
Geometría diferencial
Supongamos que M es un múltiple liso (no necesariamente compacto), y E es un paquete del vector lisa sobre M . Entonces Γ (E) , el espacio de las secciones suaves de E , es un módulo sobre C ∞ ( M ) (el álgebra conmutativa de funciones suaves con valores reales en M ). El teorema de Swan establece que este módulo se genera finitamente y es proyectivo sobre C ∞ ( M ). En otras palabras, cada paquete de vectores es una suma directa de algún paquete trivial:para algunos k . El teorema se puede demostrar construyendo un epimorfismo de paquete a partir de un paquete trivialEsto se puede hacer, por ejemplo, exhibiendo secciones s 1 ... s k con la propiedad de que para cada punto p , { s i ( p )} extienden la fibra sobre p .
Cuando M está conectado , lo contrario también es cierto: cada finitamente generado proyectiva módulo sobre C ∞ ( M ) se presenta en esta forma de algún paquete del vector lisa en M . Tal módulo puede verse como una función suave f en M con valores en las n × n matrices idempotentes para algunos n . La fibra del paquete de vectores correspondiente sobre x es entonces el rango de f ( x ). Si M no está conectado, lo contrario no se cumple a menos que se permitan paquetes de vectores de rango no constante (lo que significa admitir variedades de dimensión no constante). Por ejemplo, si M es un colector de 2 puntos de dimensión cero, el módulo es finitamente generado y proyectivo sobre pero no es libre , por lo que no puede corresponder a las secciones de ningún paquete de vectores (de rango constante) sobre M (todos los cuales son triviales).
Otra forma de decir lo anterior es que para cualquier variedad suave conectada M , el functor de sección Γ de la categoría de paquetes de vectores suaves sobre M a la categoría de módulos C ∞ ( M ) proyectivos generados finitamente es completo , fiel y esencialmente sobreyectiva . Por lo tanto, la categoría de paquetes de vectores suaves en M es equivalente a la categoría de módulos C ∞ ( M ) proyectivos, generados finitamente . Los detalles se pueden encontrar en ( Nestruev 2003 ).
Topología
Supongamos que X es un compacto espacio de Hausdorff , y C ( X ) es el anillo de continuas funciones valores reales-en X . De manera análoga al resultado anterior, la categoría de paquetes de vectores reales en X es equivalente a la categoría de módulos proyectivos generados finitamente en C ( X ). El mismo resultado se cumple si se reemplaza "valor real" por "valor complejo" y "paquete de vector real" por "paquete de vector complejo", pero no se cumple si se reemplaza el campo por un campo totalmente desconectado como los números racionales. .
En detalle, deje que Vec ( X ) sea la categoría de paquetes de vectores complejos sobre X , y deje que ProjMod (C ( X )) sea la categoría de módulos proyectivos generados finitamente sobre el C * -álgebra C ( X ). Hay un functor Γ: Vec ( X ) → ProjMod (C ( X )) que envía cada paquete de vector complejo E sobre X al módulo C ( X ) Γ ( X , E ) de las secciones . Sies un morfismo de paquetes de vectores sobre X entonces y se sigue que
dando el mapa
que respeta la estructura del módulo (Várilly, 97) . El teorema de Swan afirma que el functor Γ es una equivalencia de categorías .
Geometría algebraica
El resultado análogo en geometría algebraica , debido a Serre (1955 , §50) se aplica a los paquetes de vectores en la categoría de variedades afines . Sea X una variedad afín con estructura de gavilla y un haz coherente de-modules en X . Luego es el haz de gérmenes de un paquete de vectores de dimensión finita si y solo si el espacio de las secciones de es un módulo proyectivo sobre el anillo conmutativo
Referencias
- Karoubi, Max (1978), teoría K: una introducción , Grundlehren der mathischen Wissenschaften, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-08090-1
- Manoharan, Palanivel (1995), "Generalized Swan's Theorem and its Application", Proceedings of the American Mathematical Society , 123 (10): 3219–3223, doi : 10.2307 / 2160685 , JSTOR 2160685 , MR 1264823.
- Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi : 10.2307 / 1969915 , JSTOR 1969915 , MR 0068874.
- Swan, Richard G. (1962), "Paquetes de vectores y módulos proyectivos", Transactions of the American Mathematical Society , 105 (2): 264-277, doi : 10.2307 / 1993627 , JSTOR 1993627.
- Nestruev, Jet (2003), Variedades suaves y observables , Textos de posgrado en matemáticas, 220 , Springer-Verlag, ISBN 0-387-95543-7
- Giachetta, G .; Mangiarotti, L .; Sardanashntly, Gennadi (2005), Métodos topológicos geométricos y algebraicos en mecánica cuántica , World Scientific, ISBN 981-256-129-3.
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