En la mecánica clásica , el problema de Kepler es un caso especial del problema de dos cuerpos, en el que los dos cuerpos interactúan mediante una fuerza central F cuya fuerza varía como el inverso del cuadrado de la distancia r entre ellos. La fuerza puede ser atractiva o repulsiva. El problema es encontrar la posición o velocidad de los dos cuerpos a lo largo del tiempo dadas sus masas , posiciones y velocidades . Usando la mecánica clásica, la solución se puede expresar como una órbita de Kepler usando seis elementos orbitales .
El problema de Kepler lleva el nombre de Johannes Kepler , quien propuso las leyes del movimiento planetario de Kepler (que son parte de la mecánica clásica y resolvió el problema de las órbitas de los planetas) e investigó los tipos de fuerzas que darían como resultado órbitas que obedecen esas leyes (llamadas Problema inverso de Kepler ). [1]
Para una discusión sobre el problema de Kepler específico de las órbitas radiales, consulte Trayectoria radial . La relatividad general proporciona soluciones más precisas al problema de los dos cuerpos, especialmente en campos gravitacionales fuertes .
Aplicaciones
El problema de Kepler surge en muchos contextos, algunos más allá de la física estudiada por el propio Kepler. El problema de Kepler es importante en la mecánica celeste , ya que la gravedad newtoniana obedece a una ley del cuadrado inverso . Los ejemplos incluyen un satélite que se mueve alrededor de un planeta, un planeta alrededor de su sol o dos estrellas binarias entre sí. El problema de Kepler también es importante en el movimiento de dos partículas cargadas, ya que la ley de la electrostática de Coulomb también obedece a una ley del cuadrado inverso . Los ejemplos incluyen el átomo de hidrógeno , el positronio y el muonio , que han desempeñado papeles importantes como sistemas modelo para probar teorías físicas y medir las constantes de la naturaleza. [ cita requerida ]
El problema de Kepler y el problema del oscilador armónico simple son los dos problemas más fundamentales de la mecánica clásica . Son los únicos dos problemas que tienen órbitas cerradas para cada posible conjunto de condiciones iniciales, es decir, vuelven a su punto de partida con la misma velocidad ( teorema de Bertrand ). El problema de Kepler se ha utilizado a menudo para desarrollar nuevos métodos en mecánica clásica, como la mecánica lagrangiana , la mecánica hamiltoniana , la ecuación de Hamilton-Jacobi y las coordenadas del ángulo de acción . [ cita requerida ] El problema de Kepler también conserva el vector de Laplace-Runge-Lenz , que desde entonces se ha generalizado para incluir otras interacciones. La solución del problema de Kepler permitió a los científicos demostrar que el movimiento planetario podía explicarse por completo mediante la mecánica clásica y la ley de la gravedad de Newton ; la explicación científica del movimiento planetario jugó un papel importante en el inicio de la Ilustración .
Definición matemática
La fuerza central F que varía en fuerza como el cuadrado inverso de la distancia r entre ellos:
donde k es una constante yrepresenta el vector unitario a lo largo de la línea entre ellos. [2] La fuerza puede ser atractiva ( k <0) o repulsiva ( k > 0). El potencial escalar correspondiente (la energía potencial del cuerpo no central) es:
Solución del problema de Kepler
La ecuación de movimiento para el radio de una partícula de masa moviéndose en un potencial central viene dado por las ecuaciones de Lagrange
- y el momento angularse conserva. Por ejemplo, el primer término en el lado izquierdo es cero para órbitas circulares, y la fuerza aplicada hacia adentro es igual al requisito de fuerza centrípeta, como se esperaba.
Si L no es cero, la definición de momento angular permite un cambio de variable independiente de a
dando la nueva ecuación de movimiento que es independiente del tiempo
La expansión del primer término es
Esta ecuación se vuelve cuasilineal al realizar el cambio de variables y multiplicar ambos lados por
Después de sustitución y reordenamiento:
Para una ley de fuerza del inverso del cuadrado, como el potencial gravitacional o electrostático , el potencial se puede escribir
La órbita se puede derivar de la ecuación general
cuya solución es la constante más una sinusoide simple
dónde (la excentricidad ) y(el desfase ) son constantes de integración.
Ésta es la fórmula general para una sección cónica que tiene un foco en el origen;corresponde a un círculo , corresponde a una elipse, corresponde a una parábola , ycorresponde a una hipérbola . La excentricidadestá relacionado con la energía total (cf. el vector de Laplace-Runge-Lenz )
La comparación de estas fórmulas muestra que corresponde a una elipse (todas las soluciones que son órbitas cerradas son elipses),corresponde a una parábola , ycorresponde a una hipérbola . En particular,para órbitas perfectamente circulares (la fuerza central es exactamente igual al requisito de fuerza centrípeta , que determina la velocidad angular requerida para un radio circular dado).
Para una fuerza repulsiva ( k > 0) solo se aplica e > 1.
Solución en coordenadas de pedal
Si nos limitamos al plano orbital, existe una manera fácil de obtener una forma aproximada de la órbita (sin la información sobre la parametrización) en las coordenadas del pedal . Recuerda que un punto dado en una curva en las coordenadas del pedal viene dado por dos números , dónde es la distancia desde el origen y es la distancia del origen a la recta tangente en (el símbolo representa un vector perpendicular a —La orientación exacta no es importante aquí).
El problema de Kepler en un plano pide una solución del sistema de ecuaciones diferenciales:
dónde es el producto de la masa del cuerpo gravitacional y la constante gravitacional. Haciendo el producto escalar de la ecuación con obtenemos
Integrando obtenemos la primera cantidad conservada :
que corresponde a la energía del objeto en órbita. Del mismo modo, hacer el producto escalar con obtenemos
con la integral
correspondiente al momento angular del objeto. Desde
sustituyendo las cantidades conservadas anteriores obtenemos inmediatamente:
que es la ecuación de la sección cónica (con el origen en el foco) en las coordenadas del pedal (ver ecuación del pedal ). Observe que solo se necesitan 2 (de 4 posibles) cantidades conservadas para obtener la forma de la órbita. Esto es posible ya que las coordenadas del pedal no describen una curva con todo detalle. Por lo general, son indiferentes a la parametrización y también a la rotación de la curva sobre el origen, lo cual es una ventaja si solo le importa la forma general de la curva y no quiere distraerse con los detalles.
Este enfoque se puede aplicar a una amplia gama de problemas de fuerzas centrales y similares a Lorentz, como descubrió P. Blaschke en 2017. [3]
Ver también
- Coordenadas del ángulo de acción
- Teorema de bertrand
- Ecuación de Binet
- Ecuación de Hamilton-Jacobi
- Vector de Laplace-Runge-Lenz
- Órbita de Kepler
- Problema de Kepler en la relatividad general
- Ecuación de Kepler
- Leyes de Kepler del movimiento planetario
- Ecuación del pedal
Referencias
- ^ Goldstein, H. (1980). Mecánica clásica (2ª ed.). Addison Wesley .
- ^ Arnold, VI (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica, 2ª ed . Nueva York: Springer-Verlag . pag. 38 . ISBN 978-0-387-96890-2.
- ^ Teorema 2 de Blaschke
- P. Blaschke (2017). "Coordenadas del pedal, Kepler oscuro y otros problemas de fuerza" (PDF) . Revista de Física Matemática . 58 (6): 063505. arXiv : 1704.00897 . Código bibliográfico : 2017JMP .... 58f3505B . doi : 10.1063 / 1.4984905 .