Escuela de astronomía y matemáticas de Kerala

Escuela hindú, astronomía, matemáticas y ciencias en la India

Escuela de astronomía y matemáticas de Kerala
Cadena de profesores de la escuela de Kerala
Localización
Tirur , Kerala India
Información
Tipo	Hindú , astronomía , matemáticas , ciencia
Fundador	Madhava de Sangamagrama

La escuela de astronomía y matemáticas de Kerala o la escuela de Kerala fue una escuela de matemáticas y astronomía fundada por Madhava de Sangamagrama en Kerala , India, que incluía entre sus miembros a: Parameshvara , Neelakanta Somayaji , Jyeshtadeva , Achyuta Pisharati , Melpathur Narayana Bhattathiri y Achyuta Panikkar . La escuela floreció entre los siglos XIV y XVI y los descubrimientos originales de la escuela parecen haber terminado con Narayana Bhattathiri.(1559-1632). Al intentar resolver problemas astronómicos, la escuela de Kerala descubrió de forma independiente una serie de conceptos matemáticos importantes. Sus resultados más importantes, expansión de series para funciones trigonométricas, fueron descritos en verso sánscrito en un libro de Neelakanta llamado Tantrasangraha , y nuevamente en un comentario sobre este trabajo, llamado Tantrasangraha-vakhya , de autoría desconocida. Los teoremas se establecieron sin prueba, pero las pruebas de la serie de seno, coseno y tangente inversa se proporcionaron un siglo más tarde en la obra Yuktibhasa ( c.  1500  - c.  1610 ), escrita en malayalam , por Jyesthadeva, y también en un comentario sobreTantrasangraha . ^[1]

Su trabajo, completado dos siglos antes de la invención del cálculo en Europa, proporcionó lo que ahora se considera el primer ejemplo de una serie de potencias (aparte de las series geométricas). ^[2] Sin embargo, no formularon una teoría sistemática de diferenciación e integración , ni hay evidencia directa de que sus resultados se transmitan fuera de Kerala . ^{[3] [4] [5] [6]}

Contribuciones

Series infinitas y cálculo

La escuela de Kerala ha realizado una serie de contribuciones a los campos de las series infinitas y el cálculo . Estos incluyen las siguientes series geométricas (infinitas):

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots {\text{ for }}|x|<1}$^[7]

La escuela de Kerala hizo un uso intuitivo de la inducción matemática , aunque la hipótesis inductiva aún no se formuló ni se empleó en las demostraciones. ^[1] Usaron esto para descubrir una prueba semi-rigurosa del resultado:

${\displaystyle 1^{p}+2^{p}+\cdots +n^{p}\approx {\frac {n^{p+1}}{p+1}}}$

para grandes n .

Se aplicaron las ideas de (lo que se convertiría) del diferencial y el integrante de cálculo para obtener ( Taylor-Maclaurin ) serie infinita de , y . ^[8] El Tantrasangraha-vakhya da la serie en verso, que cuando se traduce a notación matemática, se puede escribir como: ^[1]${\displaystyle \sin x}$${\displaystyle \cos x}$${\displaystyle \arctan x}$

${\displaystyle r\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {ry}{x}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {ry^{5}}{x^{5}}}-\cdots ,{\text{ where }}{\frac {y}{x}}\leq 1.}$

${\displaystyle r\sin {\frac {x}{r}}=x-x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\cdot }$

${\displaystyle r\left(1-\cos {\frac {x}{r}}\right)=r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+\cdots }$

donde, para la serie, reduzca a la serie de potencia estándar para estas funciones trigonométricas, por ejemplo:${\displaystyle r=1,}$

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$ y

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$

(La escuela de Kerala no utilizó el simbolismo "factorial").

La escuela de Kerala hizo uso de la rectificación (cálculo de la longitud) del arco de un círculo para dar una prueba de estos resultados. (El último método de Leibniz, que usa la cuadratura ( es decir, el cálculo del área bajo el arco del círculo), aún no se desarrolló.) ^[1] También hicieron uso de la expansión en serie de para obtener una expresión en serie infinita (más tarde conocida como Gregory series) para : ^[1]${\displaystyle \arctan x}$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }$

Su aproximación racional del error para la suma finita de sus series es de particular interés. Por ejemplo, el error,, (para n impar e i = 1, 2, 3 ) para la serie:${\displaystyle f_{i}(n+1)}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots (-1)^{(n-1)/2}{\frac {1}{n}}+(-1)^{(n+1)/2}f_{i}(n+1)}$

dónde ${\displaystyle f_{1}(n)={\frac {1}{2n}},\ f_{2}(n)={\frac {n/2}{n^{2}+1}},\ f_{3}(n)={\frac {(n/2)^{2}+1}{(n^{2}+5)n/2}}.}$

Manipularon los términos, usando la expansión de fracción parcial de: para obtener una serie de convergencia más rápida para : ^[1]${\displaystyle {\frac {1}{n^{3}-n}}}$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3^{3}-3}}-{\frac {1}{5^{3}-5}}+{\frac {1}{7^{3}-7}}-\cdots }$

Utilizaron la serie mejorada para derivar una expresión racional, ^[1] para corregir hasta nueve lugares decimales, es decir . Hicieron uso de una noción intuitiva de límite para calcular estos resultados. ^[1] Los matemáticos de la escuela de Kerala también dieron un método semi-riguroso de diferenciación de algunas funciones trigonométricas, ^[9] aunque la noción de una función, o de funciones exponenciales o logarítmicas, aún no estaba formulada.${\displaystyle 104348/33215}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle 3.141592653}$

Reconocimiento

En 1825, John Warren publicó una memoria sobre la división del tiempo en el sur de la India, ^[10] llamada Kala Sankalita , que menciona brevemente el descubrimiento de series infinitas por astrónomos de Kerala.

Las obras de la escuela de Kerala fueron escritas por primera vez para el mundo occidental por el inglés CM Whish en 1835. Según Whish, los matemáticos de Kerala habían "sentado las bases para un sistema completo de fluxiones" y estas obras abundaban "con formas fluxionales y series que no se encuentra en ninguna obra de países extranjeros ". ^[11] Sin embargo, los resultados de Whish fueron ignorados casi por completo, hasta más de un siglo después, cuando CT Rajagopal y sus colaboradores volvieron a investigar los descubrimientos de la escuela de Kerala . Su trabajo incluye comentarios sobre las pruebas de la serie arctan en Yuktibhasa dadas en dos artículos, ^{[12] [13]} un comentario sobre el Yuktibhasa 's prueba de la serie de seno y coseno ^[14] y dos artículos que proporcionan los versos en sánscrito del Tantrasangrahavakhya para la serie de arctan, pecado y coseno (con traducción al inglés y comentarios). ^{[15] [16]}

En 1952, Otto Neugebauer escribió sobre la astronomía tamil. ^[17]

En 1972, KV Sarma publicó su A History of the Kerala School of Hindu Astronomy que describía características de la escuela como la continuidad de la transmisión del conocimiento desde el siglo XIII al XVII: Govinda Bhattathiri a Parameshvara a Damodara a Nilakantha Somayaji a Jyesthadeva a Acyuta Pisarati . La transmisión de maestro a alumno conservó el conocimiento en "una disciplina práctica y demostrativa como la astronomía en una época en la que no había una proliferación de libros impresos y escuelas públicas".

En 1994 se argumentó que el modelo heliocéntrico se había adoptado alrededor del año 1500 d.C. en Kerala. ^[18]

Transmisión de los resultados de la escuela de Kerala a Europa

AK Bag sugirió en 1979 que el conocimiento de estos resultados podría haber sido transmitido a Europa a través de la ruta comercial desde Kerala por comerciantes y misioneros jesuitas . ^[19] Kerala estaba en contacto continuo con China , Arabia y Europa . La sugerencia de algunas rutas de comunicación y una cronología por parte de algunos estudiosos ^{[20] [21]} podría hacer que tal transmisión sea una posibilidad; sin embargo, no existe evidencia directa a través de manuscritos relevantes de que tal transmisión haya tenido lugar. ^[21] Según David Bressoud, "no hay evidencia de que la obra india en serie fuera conocida más allá de la India, o incluso fuera de Kerala, hasta el siglo XIX". ^{[8] [22]} VJ Katz señala que algunas de las ideas de la escuela de Kerala tienen similitudes con el trabajo del erudito iraquí del siglo XI Ibn al-Haytham , ^[9] sugiriendo una posible transmisión de ideas de las matemáticas islámicas a Kerala. ^[23]

Tanto los eruditos árabes como los indios hicieron descubrimientos antes del siglo XVII que ahora se consideran parte del cálculo. ^[9] Según VJ Katz, todavía tenían que "combinar muchas ideas diferentes bajo los dos temas unificadores de la derivada y la integral , mostrar la conexión entre los dos y convertir el cálculo en la gran herramienta de resolución de problemas que tenemos hoy". , como Newton y Leibniz . ^[9] Las carreras intelectuales de Newton y Leibniz están bien documentadas y no hay indicios de que su trabajo no sea el suyo; ^[9] sin embargo, no se sabe con certeza si los predecesores inmediatosde Newton y Leibniz, "incluidos, en particular, Fermat y Roberval, aprendieron algunas de las ideas de los matemáticos islámicos e indios a través de fuentes que ahora no conocemos". ^[9] Se trata de un área activa de investigación actual, especialmente en las colecciones de manuscritos de España y Magreb , investigación que ahora se desarrolla, entre otros lugares, en el Centre national de la recherche scientifique de París . ^[9]

Ver también

• Astronomía india
• Matemáticas indias
• Matemáticos indios
• Historia de las matematicas

Notas

1. Roy, Ranjan. 1990. "Descubrimiento de la fórmula de la serie por Leibniz, Gregory y Nilakantha". Revista de Matemáticas (Asociación de Matemáticas de América) 63 (5): 291–306.${\displaystyle \pi }$
2. ( Stillwell , 2004 , p. 173)
3. ( Bressoud 2002 , p. 12) Cita: "No hay evidencia de que el trabajo indio en series fuera conocido más allá de la India, o incluso fuera de Kerala, hasta el siglo XIX. Gold y Pingree afirman [4] que para cuando estas series fueron redescubiertos en Europa, se habían perdido, a todos los efectos prácticos, en la India. Las expansiones del seno, el coseno y el arco tangente se habían transmitido a través de varias generaciones de discípulos, pero seguían siendo observaciones estériles para las que nadie podía encontrar mucho uso ".
4. Plofker 2001, pag. 293 Cita: "No es inusual encontrar en las discusiones sobre las matemáticas indias afirmaciones como que" el concepto de diferenciación se entendió [en la India] desde la época de Manjula (... en el siglo X) "[Joseph 1991, 300 ], o que "podemos considerar que Madhava fue el fundador del análisis matemático" (Joseph 1991, 293), o que Bhaskara II puede afirmar ser "el precursor de Newton y Leibniz en el descubrimiento del principio del cálculo diferencial "(Bag 1979, 294). ... Los puntos de semejanza, particularmente entre el cálculo europeo temprano y el trabajo de Keralese sobre series de potencia, incluso han inspirado sugerencias de una posible transmisión de ideas matemáticas desde la costa de Malabar en o después del siglo XV. al mundo académico latino (por ejemplo, en (Bag 1979, 285)). ...Debe tenerse en cuenta, sin embargo, que tal énfasis en la similitud del sánscrito (o malayalam) y las matemáticas latinas corre el riesgo de disminuir nuestra capacidad para ver y comprender plenamente las primeras. Hablar del "descubrimiento indio del principio del cálculo diferencial" oscurece un poco el hecho de que las técnicas indias para expresar cambios en el seno por medio del coseno o viceversa, como en los ejemplos que hemos visto, permanecieron dentro de esa trigonométrica específica. contexto. El "principio" diferencial no se generalizó a funciones arbitrarias; de hecho, la noción explícita de una función arbitraria, sin mencionar la de su derivada o un algoritmo para tomar la derivada, es irrelevante aquí "que tal énfasis en la similitud del sánscrito (o malayalam) y las matemáticas latinas corre el riesgo de disminuir nuestra capacidad para ver y comprender plenamente las primeras. Hablar del "descubrimiento indio del principio del cálculo diferencial" oscurece un poco el hecho de que las técnicas indias para expresar cambios en el seno por medio del coseno o viceversa, como en los ejemplos que hemos visto, permanecieron dentro de esa trigonométrica específica. contexto. El "principio" diferencial no se generalizó a funciones arbitrarias; de hecho, la noción explícita de una función arbitraria, sin mencionar la de su derivada o un algoritmo para tomar la derivada, es irrelevante aquí "que tal énfasis en la similitud del sánscrito (o malayalam) y las matemáticas latinas corre el riesgo de disminuir nuestra capacidad para ver y comprender plenamente las primeras. Hablar del "descubrimiento indio del principio del cálculo diferencial" oscurece un poco el hecho de que las técnicas indias para expresar cambios en el seno por medio del coseno o viceversa, como en los ejemplos que hemos visto, permanecieron dentro de esa trigonométrica específica. contexto. El "principio" diferencial no se generalizó a funciones arbitrarias; de hecho, la noción explícita de una función arbitraria, sin mencionar la de su derivada o un algoritmo para tomar la derivada, es irrelevante aquí "oscurece un poco el hecho de que las técnicas indias para expresar cambios en el seno por medio del coseno o viceversa, como en los ejemplos que hemos visto, permanecieron dentro de ese contexto trigonométrico específico. El "principio" diferencial no se generalizó a funciones arbitrarias; de hecho, la noción explícita de una función arbitraria, sin mencionar la de su derivada o un algoritmo para tomar la derivada, es irrelevante aquí "oscurece un poco el hecho de que las técnicas indias para expresar cambios en el seno por medio del coseno o viceversa, como en los ejemplos que hemos visto, permanecieron dentro de ese contexto trigonométrico específico. El "principio" diferencial no se generalizó a funciones arbitrarias; de hecho, la noción explícita de una función arbitraria, sin mencionar la de su derivada o un algoritmo para tomar la derivada, es irrelevante aquí "sin mencionar que de su derivada o un algoritmo para tomar la derivada, es irrelevante aquí "sin mencionar que de su derivada o un algoritmo para tomar la derivada, es irrelevante aquí "
5. Pingree 1992 , p. 562 Cita: "Un ejemplo que puedo darles se relaciona con la demostración del indio Mādhava, alrededor del 1400 d. C., de la serie de potencia infinita de funciones trigonométricas usando argumentos geométricos y algebraicos. Cuando esto fue descrito por primera vez en inglés por Charles Whish, en la década de 1830 , fue anunciado como el descubrimiento de los indios del cálculo. Esta afirmación y los logros de Mādhava fueron ignorados por los historiadores occidentales, presumiblemente al principio porque no podían admitir que un indio descubrió el cálculo, pero más tarde porque ya nadie leyó las Transacciones de la Real Sociedad Asiática, en el que se publicó el artículo de Whish. El asunto resurgió en la década de 1950, y ahora tenemos los textos sánscritos correctamente editados, y entendemos la forma inteligente en que Mādhava derivó la serie sin el cálculo; pero muchos historiadores todavía encuentran imposible concebir el problema y su solución en términos de otra cosa que no sea el cálculo y proclaman que el cálculo es lo que encontró Mādhava. En este caso, la elegancia y el brillo de las matemáticas de Mādhava se distorsionan, ya que están enterradas bajo la solución matemática actual de un problema para el que descubrió una solución alternativa y poderosa ".
6. Katz 1995, págs. 173-174 Cita: "¿Qué tan cerca estuvieron los eruditos islámicos e indios de inventar el cálculo? Los eruditos islámicos casi desarrollaron una fórmula general para encontrar integrales de polinomios en el año 1000 d. C., y evidentemente pudieron encontrar tal fórmula para cualquier polinomio en el que estaban interesados. Pero, al parecer, no estaban interesados ​​en ningún polinomio de grado superior a cuatro, al menos en ninguno de los materiales que nos han llegado. Los eruditos indios, por otro lado, ya estaban en condiciones de utilizar La fórmula de la suma de ibn al-Haytham para potencias integrales arbitrarias al calcular series de potencia para las funciones en las que estaban interesados. Al mismo tiempo, también sabían cómo calcular las diferenciales de estas funciones. De modo que algunas de las ideas básicas del cálculo se conocían en Egipto y la India muchos siglos antes de Newton. Sin embargo, no pareceque los matemáticos islámicos o indios vieron la necesidad de conectar algunas de las ideas dispares que incluimos bajo el nombre de cálculo. Aparentemente, solo estaban interesados ​​en casos específicos en los que se necesitaban estas ideas.
       Por tanto, no hay peligro de que tengamos que reescribir los textos de historia para eliminar la afirmación de que Newton y Leibniz inventaron el cálculo. Ciertamente fueron ellos quienes pudieron combinar muchas ideas diferentes bajo los dos temas unificadores de la derivada y la integral, mostrar la conexión entre ellos y convertir el cálculo en la gran herramienta de resolución de problemas que tenemos hoy ".
7. Singh, AN (1936). "Sobre el uso de series en matemáticas hindúes". Osiris . 1 : 606–628. doi : 10.1086 / 368443 . S2CID  144760421 .
8. Bressoud, David. 2002. "¿Se inventó el cálculo en la India?" The College Mathematics Journal (Asociación Matemática de América). 33 (1): 2-13.
9. Katz, VJ 1995. "Ideas de cálculo en el Islam y la India". Revista de Matemáticas (Asociación Matemática de América), 68 (3): 163-174.
10. John Warren (1825) Una colección de memorias en varios modos según las cuales las naciones de la parte sur de la India dividen el tiempo de Google Books
11. Charles Whish (1835), Transacciones de la Real Sociedad Asiática de Gran Bretaña e Irlanda
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16. Rajagopal, C .; Rangachari, MS (1986). "Sobre las matemáticas medievales de Kerala". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 35 (2): 91–99. doi : 10.1007 / BF00357622 . S2CID 121678430 . 
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19. AK Bag (1979) Matemáticas en la India antigua y medieval . Varanasi / Delhi: Chaukhambha Orientalia. página 285.
20. Raju, CK (2001). "Computadoras, educación matemática y la epistemología alternativa del cálculo en el Yuktibhasa". Filosofía de Oriente y Occidente . 51 (3): 325–362. doi : 10.1353 / pew.2001.0045 . S2CID 170341845 . 
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23. Katz 1995 , p. 174.

Referencias

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• Stillwell, John (2004), Mathematics and its History (2 ed.), Berlín y Nueva York: Springer, 568 páginas, ISBN 0-387-95336-1.
• Tacchi Venturi. «Carta de Matteo Ricci a Petri Maffei el 1 de diciembre de 1581», Matteo Ricci SI, Le Lettre Dalla Cina 1580–1610 , vol. 2, Macerata, 1613.

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala .

• The Kerala School, European Mathematics and Navigation , 2001.
• Una descripción general de las matemáticas indias , archivo MacTutor History of Mathematics , 2002.
• Indian Mathematics: Redressing the balance , archivo MacTutor History of Mathematics , 2002.
• Matemáticas de Keralese , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , 2002.
• Posible transmisión de las matemáticas de Keralese a Europa , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , 2002.
• "Los indios precedieron al 'descubrimiento' de Newton en 250 años" phys.org, 2007