En matemáticas , la descomposición de un asa de una variedad m - M es una unión
donde cada se obtiene de por la unión de - asas . Una descomposición de asa es para una variedad lo que una descomposición de CW es para un espacio topológico; en muchos aspectos, el propósito de una descomposición de asa es tener un lenguaje análogo a los complejos de CW, pero adaptado al mundo de las variedades suaves . Por lo tanto, una manija i es el análogo suave de una celda i . Manejar descomposiciones de variedades surgen naturalmente a través de la teoría de Morse . La modificación de las estructuras de los mangos está íntimamente ligada a la teoría de Cerf .
Motivación
Considere la descomposición CW estándar de la n- esfera, con una celda cero y una sola n- celda . Desde el punto de vista de las variedades suaves, esta es una descomposición degenerada de la esfera, ya que no hay una forma natural de ver la estructura suave dea los ojos de esta descomposición, en particular, la estructura suave cerca de la celda 0 depende del comportamiento del mapa característico en un barrio de .
El problema con las descomposiciones CW es que los mapas adjuntos para las celdas no viven en el mundo de los mapas suaves entre variedades. El conocimiento germinal para corregir este defecto es el teorema de la vecindad tubular . Dado un punto p en un colector M , su vecindad tubular cerrada es difeomorfo a , así hemos descompuesto M en la unión disjunta de y pegados a lo largo de su límite común. El problema vital aquí es que el mapa de encolado es un difeomorfismo. Del mismo modo, tome un arco incrustado suave en, su vecindad tubular es difeomorfa a . Esto nos permite escribir como la unión de tres variedades, pegadas a lo largo de partes de sus límites: 1) 2) y 3) el complemento de la vecindad tubular abierta del arco en . Observe que todos los mapas de pegado son mapas suaves, en particular cuando pegamos a la relación de equivalencia se genera mediante la incorporación de en , que es uniforme según el teorema de la vecindad tubular .
Las descomposiciones de las manijas son una invención de Stephen Smale . [1] En su formulación original, el proceso de unir un mango en j a un colector m M supone que uno tiene una incrustación suave de. Dejar. El colector(en palabras, M unión a j- mango a lo largo de f ) se refiere a la unión disjunta de y con la identificación de con su imagen en , es decir:
donde la relación de equivalencia es generado por para todos .
Se dice un colector de N se obtiene a partir M uniendo j -handles si la unión de M con un número finito j -handles es difeomorfa a N . La definición de descomposición del mango es entonces como en la introducción. Por lo tanto, un colector tiene una descomposición de mangos con solo 0 manijas si es difeomórfico a una unión disjunta de bolas. Un colector conectado que contiene manijas de solo dos tipos (es decir, manijas 0 y manijas en j para algunas j fijas ) se llama cuerpo de manija .
Terminología
Al formar una unión M, un mango en J
se conoce como la esfera adjunta .
a veces se denomina encuadre de la esfera adjunta, ya que trivializa su conjunto normal .
es la esfera del cinturón del mango en .
Un colector obtenido uniendo manijas g k al discoes un mango (m, k) del género g .
Presentaciones de Cobordismo
Una presentación de asa de un cobordismo consiste en un cobordismo W donde y una unión ascendente
donde M es m -dimensional, W es m + 1 -dimensional, es difeomorfo a y se obtiene de mediante la fijación de manijas en i . Mientras que las descomposiciones de manejo son análogas a las variedades de lo que las descomposiciones de células son a los espacios topológicos, las presentaciones de los cobordismos a las variedades con límite son las descomposiciones de células relativas para los pares de espacios.
Punto de vista teórico Morse
Dada una función Morse en un colector compacto sin límites M , de modo que los puntos críticos de f satisfacery siempre
- ,
entonces para todo j , es difeomorfo a donde I (j) es el índice del punto crítico. El índice I (j) se refiere a la dimensión del subespacio máximo del espacio tangentedonde el hessiano es definido negativo.
Siempre que los índices satisfagan esta es una descomposición de asa de M , además, cada variedad tiene tales funciones Morse, por lo que tienen descomposiciones de asa. Del mismo modo, dado un cobordismo con y una función que es Morse en el interior y constante en el límite y que satisface la propiedad de índice creciente, hay una presentación mango inducida de la cobordism W .
Cuando f es una función Morse en M , -f también es una función Morse. La descomposición / presentación del asa correspondiente se denomina descomposición dual .
Algunos teoremas y observaciones importantes
- Una división de Heegaard de un colector en 3 cerrado y orientable es una descomposición de un colector de 3 en la unión de dos (3,1) mangos a lo largo de su límite común, llamado superficie de división de Heegaard. Surgen splittings Heegaard para 3 -manifolds de varias maneras naturales: dada una descomposición mango de un 3-colector, la unión de los 0 y 1 -handles es un (3,1) -handlebody, y la unión de la 3 y 2 - handle es también un (3,1) -handlebody (desde el punto de vista de la descomposición dual), por lo tanto, una división de Heegaard. Si el colector de 3 tiene una triangulación T , hay una división de Heegaard inducida donde el primer mango (3,1) es una vecindad regular del esqueleto de 1, y el otro (3,1) -handlebody es una vecindad regular del esqueleto dual 1 .
- Al colocar dos asas seguidas , es posible cambiar el orden de conexión, siempre que , es decir: esta variedad es difeomórfica a una variedad de la forma para adjuntar mapas adecuados.
- El límite de es difeomorfo a surgió a lo largo de la esfera enmarcada . Este es el vínculo principal entre la cirugía , los mangos y las funciones de Morse.
- Como consecuencia, un m- múltiple M es el límite de un m + 1- múltiple W si y sólo si M puede obtenerse de mediante cirugía en una colección de enlaces enmarcados en . Por ejemplo, se sabe que cada 3 colectores limita un colector de 4 (orientado de manera similar y los colectores de espín 3 enlazados orientados y los colectores de giro 4 respectivamente) debido al trabajo de René Thom sobre cobordismo . Por lo tanto, cada 3-múltiple se puede obtener mediante cirugía en enlaces enmarcados en la 3 -esfera. En el caso orientado, es convencional reducir este enlace enmarcado a una incrustación enmarcada de una unión disjunta de círculos.
- El teorema de H-cobordismo se demuestra simplificando las descomposiciones del mango de variedades suaves.
Ver también
Referencias
Notas
- ^ S. Smale, "Sobre la estructura de las variedades" Amer. J. Math. , 84 (1962) págs. 387–399
Referencias generales
- A. Kosinski, Differential Manifolds Vol 138 Matemáticas puras y aplicadas, Academic Press (1992).
- Robert Gompf y Andras Stipsicz, 4-Manifolds and Kirby Calculus , (1999) (Volumen 20 en Estudios de posgrado en matemáticas ), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-0994-6