Producto Kronecker

En matemáticas , el producto de Kronecker , a veces denotado por ⊗, ^[1] es una operación en dos matrices de tamaño arbitrario que da como resultado una matriz de bloques . Es una generalización del producto externo (que se denota con el mismo símbolo) de vectores a matrices, y da la matriz del mapa lineal del producto tensorial con respecto a una elección estándar de base . El producto Kronecker debe distinguirse de la multiplicación de matrices habitual , que es una operación completamente diferente. El producto Kronecker también se denomina a veces producto directo de matriz . ^[2]

El producto de Kronecker lleva el nombre del matemático alemán Leopold Kronecker (1823–1891), aunque hay poca evidencia de que fue el primero en definirlo y usarlo. El producto de Kronecker también se ha denominado matriz de Zehfuss , y el producto de Zehfuss , en honor a Johann Georg Zehfuss  [ de ] , quien en 1858 describió esta operación de matriz, pero el producto de Kronecker es actualmente el más utilizado. ^{[3] [4]}

Definición

Si A es una matriz m × n y B es una matriz p × q , entonces el producto de Kronecker A ⊗ B es la matriz de bloques pm × qn :

${\displaystyle \mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}\mathbf {B} &\cdots &a_{1n}\mathbf {B} \\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}\mathbf {B} &\cdots &a_{mn}\mathbf {B} \end{bmatrix}},}$

más explícitamente:

${\displaystyle {\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} }={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}.}$

Utilizando ${\displaystyle /\!/}$ y ${\displaystyle \%}$para denotar truncar la división entera y el resto , respectivamente, y numerar los elementos de la matriz a partir de 0, se obtiene${\displaystyle (A\otimes B)_{pr+v,qs+w}=a_{rs}b_{vw}}$ y ${\displaystyle (A\otimes B)_{i,j}=a_{i/\!/p,j/\!/q}b_{i\%p,j\%q}.}$ Para la numeración habitual a partir de 1, se obtiene${\displaystyle (A\otimes B)_{p(r-1)+v,q(s-1)+w}=a_{rs}b_{vw}}$y${\displaystyle (A\otimes B)_{i,j}=a_{\lceil i/p\rceil ,\lceil j/q\rceil }b_{(i-1)\%p+1,(j-1)\%q+1}.}$

Si A y B representan transformaciones lineales V ₁ → W ₁ y V ₂ → W ₂ , respectivamente, entonces A ⊗ B representa el producto tensorial de los dos mapas, V ₁ ⊗ V ₂ → W ₁ ⊗ W ₂ .

Ejemplos

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}&2{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}\\3{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}&4{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\times 0&1\times 5&2\times 0&2\times 5\\1\times 6&1\times 7&2\times 6&2\times 7\\3\times 0&3\times 5&4\times 0&4\times 5\\3\times 6&3\times 7&4\times 6&4\times 7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&5&0&10\\6&7&12&14\\0&15&0&20\\18&21&24&28\end{bmatrix}}.}$

Similar:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-4&7\\-2&3&3\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}8&-9&-6&5\\1&-3&-4&7\\2&8&-8&-3\\1&2&-5&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8&-9&-6&5&-32&36&24&-20&56&-63&-42&35\\1&-3&-4&7&-4&12&16&-28&7&-21&-28&49\\2&8&-8&-3&-8&-32&32&12&14&56&-56&-21\\1&2&-5&-1&-4&-8&20&4&7&14&-35&-7\\-16&18&12&-10&24&-27&-18&15&24&-27&-18&15\\-2&6&8&-14&3&-9&-12&21&3&-9&-12&21\\-4&-16&16&6&6&24&-24&-9&6&24&-24&-9\\-2&-4&10&2&3&6&-15&-3&3&6&-15&-3\end{bmatrix}}}$

Propiedades

Relaciones con otras operaciones matriciales

1. Bilinealidad y asociatividad :

   El producto Kronecker es un caso especial del producto tensorial , por lo que es bilineal y asociativo :

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} +\mathbf {C} )&=\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} +\mathbf {A} \otimes \mathbf {C} ,\\(\mathbf {B} +\mathbf {C} )\otimes \mathbf {A} &=\mathbf {B} \otimes \mathbf {A} +\mathbf {C} \otimes \mathbf {A} ,\\(k\mathbf {A} )\otimes \mathbf {B} &=\mathbf {A} \otimes (k\mathbf {B} )=k(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ),\\(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\otimes \mathbf {C} &=\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} \otimes \mathbf {C} ),\\\mathbf {A} \otimes \mathbf {0} &=\mathbf {0} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {0} ,\end{aligned}}}$

   donde A , B y C son matrices, 0 es una matriz cero y k es un escalar.
2. No conmutativo :

   En general, A ⊗ B y B ⊗ A son matrices diferentes. Sin embargo, A ⊗ B y B ⊗ A son equivalentes de permutación, lo que significa que existen matrices de permutación P y Q tales que ^[5]

   ${\displaystyle \mathbf {B} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {P} \,(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\,\mathbf {Q} .}$

   Si A y B son matrices cuadradas, entonces A ⊗ B y B ⊗ A son aún permutación similares , lo que significa que podemos tomar P = Q ^T .

   Las matrices P y Q son matrices de barajado perfectas. ^[6] La matriz aleatoria perfecta S _{p , q} se puede construir tomando partes de la matriz identidad I _r , donde${\displaystyle r=pq}$.

   ${\displaystyle \mathbf {S} _{p,q}={\begin{bmatrix}\mathbf {I} _{r}(1:q:r,:)\\\mathbf {I} _{r}(2:q:r,:)\\\vdots \\\mathbf {I} _{r}(q:q:r,:)\end{bmatrix}}}$

   La notación de dos puntos de MATLAB se usa aquí para indicar submatrices, e I _r es la matriz de identidad r × r . Si${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{m_{1}\times n_{1}}}$ y ${\displaystyle \mathbf {B} \in \mathbb {R} ^{m_{2}\times n_{2}}}$, luego

   ${\displaystyle \mathbf {B} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {S} _{m_{1},m_{2}}(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\mathbf {S} _{n_{1},n_{2}}^{\textsf {T}}}$

3. La propiedad de producto mixto:

   Si A , B , C y D son matrices de tal tamaño que se pueden formar los productos matriciales AC y BD , entonces

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {AC} )\otimes (\mathbf {BD} ).}$

   Esto se denomina propiedad de producto mixto , porque mezcla el producto de matriz ordinario y el producto de Kronecker.

   Como consecuencia inmediata,

   ${\displaystyle \mathbf {A} \otimes \mathbf {B} =(\mathbf {I_{2}} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {A} \otimes \mathbf {I_{1}} )=(\mathbf {A} \otimes \mathbf {I_{1}} )(\mathbf {I_{2}} \otimes \mathbf {B} ).}$

   En particular, usando la propiedad de transposición desde abajo, esto significa que si

   ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \otimes \mathbf {U} }$

   y Q y U son ortogonales (o unitarios ), entonces A también es ortogonal (resp., unitario).
4. Producto de Hadamard (multiplicación por elementos):

   La propiedad de producto mixto también funciona para el producto de elementos. Si A y C son matrices del mismo tamaño, B y D son matrices del mismo tamaño, entonces

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\circ (\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \circ \mathbf {C} )\otimes (\mathbf {B} \circ \mathbf {D} ).}$

5. Lo inverso de un producto Kronecker:

   De ello se deduce que A ⊗ B es invertible si y solo si tanto A como B son invertibles, en cuyo caso la inversa viene dada por

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}\otimes \mathbf {B} ^{-1}.}$

   La propiedad del producto invertible también es válida para el pseudoinverso de Moore-Penrose , ^[7] es decir

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{+}=\mathbf {A} ^{+}\otimes \mathbf {B} ^{+}.}$

   En el lenguaje de la teoría de categorías , la propiedad de producto mixto del producto de Kronecker (y el producto tensorial más general) muestra que la categoría Mat _F de matrices sobre un campo F , es de hecho una categoría monoidal , con objetos números naturales n , morfismos n → m son n × m matrices con entradas en F , la composición viene dada por la multiplicación de matrices, las flechas de identidad son simplemente n × n matrices de identidad I _n, y el producto tensorial viene dado por el producto Kronecker. ^[8]

   Mat _F es una categoría de esqueleto concreto para la categoría equivalente FinVect _F de espacios vectoriales de dimensión finita sobre F , cuyos objetos son espacios vectoriales de dimensión finita V , las flechas son F -mapas lineales L  : V → W , y las flechas de identidad son los mapas de identidad de los espacios. La equivalencia de categorías equivale a elegir simultáneamente una base en cada espacio vectorial de dimensión finita V sobre F; los elementos de las matrices representan estos mapeos con respecto a las bases elegidas; e igualmente el producto Kronecker es la representación del producto tensorial en las bases elegidas.
6. Transponer :

   La transposición y la transposición conjugada son distributivas sobre el producto Kronecker:

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{\textsf {T}}=\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {B} ^{\textsf {T}}}$ y ${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{*}=\mathbf {A} ^{*}\otimes \mathbf {B} ^{*}.}$

7. Determinante :

   Sea A una matriz de n × n y sea B una matriz de m × m . Luego

   ${\displaystyle \left|\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} \right|=\left|\mathbf {A} \right|^{m}\left|\mathbf {B} \right|^{n}.}$

   El exponente en | A | es el orden de B y el exponente en | B | es del orden de A .
8. Suma y exponenciación de Kronecker :

   Si A es n × n , B es m × m y I _k denota el k × k matriz identidad entonces podemos definir lo que se denomina a veces la suma Kronecker , ⊕, por

   ${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} =\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m}+\mathbf {I} _{n}\otimes \mathbf {B} .}$

   Esto es diferente de la suma directa de dos matrices. Esta operación está relacionada con el producto tensorial de las álgebras de Lie .

   Tenemos la siguiente fórmula para la matriz exponencial , que es útil en algunas evaluaciones numéricas. ^[9]

   ${\displaystyle \exp({\mathbf {N} \oplus \mathbf {M} })=\exp(\mathbf {N} )\otimes \exp(\mathbf {M} )}$

   Las sumas de Kronecker aparecen naturalmente en la física cuando se consideran conjuntos de sistemas que no interactúan . ^{[ cita requerida ]} Sea H ⁱ el hamiltoniano del i ésimo sistema. Entonces el hamiltoniano total del conjunto es

   ${\displaystyle H_{\mathrm {Tot} }=\bigoplus _{i}H^{i}.}$

Propiedades abstractas

1. Espectro :

   Supongamos que A y B son matrices cuadradas de tamaño n y m respectivamente. Sean λ ₁ , ..., λ _n los valores propios de A y μ ₁ , ..., μ _m los de B (enumerados según la multiplicidad ). Entonces los autovalores de A ⊗ B son

   ${\displaystyle \lambda _{i}\mu _{j},\qquad i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,m.}$

   De ello se deduce que la traza y el determinante de un producto de Kronecker están dados por

   ${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} \mathbf {A} \,\operatorname {tr} \mathbf {B} \quad {\text{and}}\quad \det(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=(\det \mathbf {A} )^{m}(\det \mathbf {B} )^{n}.}$

2. Valores singulares :

   Si A y B son matrices rectangulares, entonces se pueden considerar sus valores singulares . Suponga que A tiene r _A valores singulares distintos de cero, a saber

   ${\displaystyle \sigma _{\mathbf {A} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} }.}$

   De manera similar, denote los valores singulares distintos de cero de B por

   ${\displaystyle \sigma _{\mathbf {B} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.}$

   Entonces el producto de Kronecker A ⊗ B tiene r _A r _B valores singulares distintos de cero, a saber

   ${\displaystyle \sigma _{\mathbf {A} ,i}\sigma _{\mathbf {B} ,j},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} },\,j=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.}$

   Dado que el rango de una matriz es igual al número de valores singulares distintos de cero, encontramos que

   ${\displaystyle \operatorname {rank} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {rank} \mathbf {A} \,\operatorname {rank} \mathbf {B} .}$

3. Relación con el producto tensorial abstracto :

   El producto de Kronecker de matrices corresponde al producto tensorial abstracto de mapas lineales. Específicamente, si los espacios vectoriales V , W , X e Y tienen bases { v ₁ , ..., v _m }, { w ₁ , ..., w _n }, { x ₁ , ..., x _d }, y { y ₁ , ..., y _e }, respectivamente, y si las matrices A y B representan las transformaciones linealesS  : V → X y T  : W → Y , respectivamente en las bases apropiadas, entonces la matriz A ⊗ B representa el producto tensorial de los dos mapas, S ⊗ T  : V ⊗ W → X ⊗ Y con respecto a la base { v ₁ ⊗ w ₁ , v ₁ ⊗ w ₂ , ..., v ₂ ⊗ w ₁ , ..., v _m⊗ w _n } de V ⊗ W y la base definida de manera similar de X ⊗ Y con la propiedad de que A ⊗ B ( v _i ⊗ w _j ) = ( Av _i ) ⊗ ( Bw _j ) , donde i y j son números enteros en el rango adecuado. ^[10]

   Cuando V y W son álgebras de Lie , y S  : V → V y T  : W → W son Lie homomorfismos álgebra , la suma Kronecker de A y B representa los homomorfismos álgebra de Lie inducidos V ⊗ W → V ⊗ W .
4. Relación con los productos de los gráficos :
   El producto de Kronecker de las matrices de adyacencia de dos gráficos es la matriz de adyacencia del gráfico del producto tensorial . La suma de Kronecker de las matrices de adyacencia de dos gráficos es la matriz de adyacencia del gráfico de producto cartesiano . ^[11]

Ecuaciones matriciales

El producto Kronecker se puede utilizar para obtener una representación conveniente de algunas ecuaciones matriciales. Considere, por ejemplo, la ecuación AXB = C , donde A , B y C reciben matrices y la matriz X es la desconocida. Podemos usar el "truco vec" para reescribir esta ecuación como

${\displaystyle \left(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {A} \right)\,\operatorname {vec} (\mathbf {X} )=\operatorname {vec} (\mathbf {AXB} )=\operatorname {vec} (\mathbf {C} ).}$

Aquí, vec ( X ) denota la vectorización de la matriz X, formada apilando las columnas de X en un solo vector de columna .

De las propiedades del producto de Kronecker se deduce ahora que la ecuación AXB = C tiene una solución única, si y sólo si A y B son invertibles ( Horn & Johnson 1991 , Lema 4.3.1).

Si X y C se-clasificadas fila en los vectores columna u y v , respectivamente, entonces ( Jain 1989 , 2,8 Bloquear Matrices y Productos de Kronecker)

${\displaystyle \mathbf {v} =\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {u} .}$

La razon es que

${\displaystyle \mathbf {v} =\operatorname {vec} \left((\mathbf {AXB} )^{\textsf {T}}\right)=\operatorname {vec} \left(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {X} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)=\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\operatorname {vec} \left(\mathbf {X^{\textsf {T}}} \right)=\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {u} .}$

Aplicaciones

Para ver un ejemplo de la aplicación de esta fórmula, consulte el artículo sobre la ecuación de Lyapunov . Esta fórmula también es útil para mostrar que la distribución normal de la matriz es un caso especial de la distribución normal multivariante . Esta fórmula también es útil para representar operaciones de procesamiento de imágenes 2D en forma de matriz-vector.

Otro ejemplo es cuando una matriz se puede factorizar como un producto de Hadamard , entonces la multiplicación de matrices se puede realizar más rápidamente usando la fórmula anterior. Esto se puede aplicar de forma recursiva, como se hace en radix-2 FFT y la transformada Fast Walsh-Hadamard . Dividir una matriz conocida en el producto de Hadamard de dos matrices más pequeñas se conoce como el problema del "producto de Kronecker más cercano", y puede resolverse exactamente ^[12] utilizando el SVD . Dividir una matriz en el producto de Hadamard de más de dos matrices, de una manera óptima, es un problema difícil y objeto de investigación en curso; algunos autores lo plantean como un problema de descomposición tensorial. ^{[13] [14]}

Junto con el método de mínimos cuadrados , el producto Kronecker se puede utilizar como una solución precisa al problema de la calibración del ojo de la mano . ^[15]

Operaciones matriciales relacionadas

Dos operaciones matriciales relacionadas son los productos Tracy – Singh y Khatri – Rao , que operan en matrices particionadas . Deje que el m × n matriz A puede dividir en el m _i × n _j bloques A _ij y p × q matriz B en el p _k × q _l bloques B _kl , con por supuesto Σ _i m _i = m , Σ _jn _j = n , Σ _k p _k = p y Σ _ℓ q _ℓ = q .

Producto de Tracy – Singh

El producto de Tracy – Singh se define como ^{[16] [17]}

${\displaystyle \mathbf {A} \circ \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} _{ij}\circ \mathbf {B} \right)_{ij}=\left(\left(\mathbf {A} _{ij}\otimes \mathbf {B} _{kl}\right)_{kl}\right)_{ij}}$

lo que significa que el subbloque ( ij ) -ésimo del producto mp × nq A ${\displaystyle \circ }$ B es lamatriz m _i p × n _j q A _ij ${\displaystyle \circ }$ B , de los cuales el ( kℓ ) subbloque-ésimo es igual a la m _i p _k × n _j q _ℓ matriz A _ij ⊗ B _kℓ . Básicamente, el producto de Tracy – Singh es el producto de Kronecker por pares para cada par de particiones en las dos matrices.

Por ejemplo, si A y B son matrices divididas 2 × 2, por ejemplo:

${\displaystyle \mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c | c}1&2&3\\4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c c}1&4&7\\\hline 2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],}$

obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ={}&\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\circ \mathbf {B} &\mathbf {A} _{12}\circ \mathbf {B} \\\hline \mathbf {A} _{21}\circ \mathbf {B} &\mathbf {A} _{22}\circ \mathbf {B} \end{array}}\right]\\={}&\left[{\begin{array}{c | c | c | c}\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{22}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]\\={}&\left[{\begin{array}{c c | c c c c | c | c c}1&2&4&7&8&14&3&12&21\\4&5&16&28&20&35&6&24&42\\\hline 2&4&5&8&10&16&6&15&24\\3&6&6&9&12&18&9&18&27\\8&10&20&32&25&40&12&30&48\\12&15&24&36&30&45&18&36&54\\\hline 7&8&28&49&32&56&9&36&63\\\hline 14&16&35&56&40&64&18&45&72\\21&24&42&63&48&72&27&54&81\end{array}}\right].\end{aligned}}}$

Producto Khatri – Rao

• Producto Block Kronecker
• Producto Khatri-Rao por columnas

Producto desgarrador

Propiedades de productos mixtos ^[18]

${\displaystyle \mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C} ,}$

donde ${\displaystyle \bullet }$denota el producto de división de caras ^{[19] [20]}

${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {B} \mathbf {D} ),}$

Del mismo modo: ^[21]

${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} ),}$

${\displaystyle \mathbf {c} ^{\textsf {T}}\bullet \mathbf {d} ^{\textsf {T}}=\mathbf {c} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {d} ^{\textsf {T}},}$

donde ${\displaystyle \mathbf {c} }$ y ${\displaystyle \mathbf {d} }$son vectores , ^[22]

${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {c} \otimes \mathbf {d} )=(\mathbf {A} \mathbf {c} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {d} ),}$

donde ${\displaystyle \mathbf {c} }$ y ${\displaystyle \mathbf {d} }$son vectores ,${\displaystyle \circ }$denota el producto Hadamard

Similar:

${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {M} \mathbf {N} \mathbf {c} \otimes \mathbf {Q} \mathbf {P} \mathbf {d} )=(\mathbf {A} \mathbf {M} \mathbf {N} \mathbf {c} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {Q} \mathbf {P} \mathbf {d} ),}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(C^{(1)}x\star C^{(2)}y)=({\mathcal {F}}C^{(1)}\bullet {\mathcal {F}}C^{(2)})(x\otimes y)={\mathcal {F}}C^{(1)}x\circ {\mathcal {F}}C^{(2)}y}$,

donde ${\displaystyle \star }$es la convolución vectorial y${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es la matriz de transformada de Fourier (este resultado es una evolución de las propiedades del esquema de conteo ^[23] ), ^{[19] [20]}

${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {K} \ast \mathbf {T} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdot \mathbf {C} \mathbf {K} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} \mathbf {T} ),}$

donde ${\displaystyle \ast }$denota el producto Khatri-Rao de columna-sabia .

Similar:

${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(c\otimes d)=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} \mathbf {c} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} \mathbf {d} ),}$

${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {P} \mathbf {c} \otimes \mathbf {Q} \mathbf {d} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} \mathbf {P} \mathbf {c} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} \mathbf {Q} \mathbf {d} ),}$

donde ${\displaystyle \mathbf {c} }$ y ${\displaystyle \mathbf {d} }$son vectores

Ver también

• Modelo de matriz lineal generalizada
• Coeficiente de Kronecker

Notas

1. "Lista completa de símbolos de álgebra" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-25 . Consultado el 6 de septiembre de 2020 .
2. Weisstein, Eric W. "Producto Kronecker" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 6 de septiembre de 2020 .
3. Zehfuss, G. (1858). "Ueber eine gewisse determinante" . Zeitschrift für Mathematik und Physik . 3 : 298-301.
4. Henderson, Harold V .; Pukelsheim, Friedrich; Searle, Shayle R. (1983). "Sobre la historia del producto kronecker" . Álgebra lineal y multilineal . 14 (2): 113–120. doi : 10.1080 / 03081088308817548 . hdl : 1813/32834 . ISSN 0308-1087 . 
5. Henderson, HV; Searle, SR (1980). "La matriz de permutación vec, el operador vec y productos Kronecker: una revisión" (PDF) . Álgebra lineal y multilineal . 9 (4): 271–288. doi : 10.1080 / 03081088108817379 . hdl : 1813/32747 .
6. Van Loan, Charles F. (2000). "El producto de Kronecker omnipresente" . Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 123 (1–2): 85–100. Código Bibliográfico : 2000JCoAM.123 ... 85L . doi : 10.1016 / s0377-0427 (00) 00393-9 .
7. Langville, Amy N .; Stewart, William J. (1 de junio de 2004). "El producto Kronecker y las redes de autómatas estocásticos" . Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 167 (2): 429–447. Código bibliográfico : 2004JCoAM.167..429L . doi : 10.1016 / j.cam.2003.10.010 .
8. MacEdo, Hugo Daniel; Oliveira, José Nuno (2013). "Escribir álgebra lineal: un enfoque orientado a biproductos". Ciencia de la Programación de Computadores . 78 (11): 2160–2191. arXiv : 1312.4818 . Código bibliográfico : 2013arXiv1312.4818M . CiteSeerX 10.1.1.747.2083 . doi : 10.1016 / j.scico.2012.07.012 . S2CID 9846072 .  
9. Cervecero, JW (1969). "Una nota sobre los productos matriciales de Kronecker y los sistemas de ecuaciones matriciales". Revista SIAM de Matemática Aplicada . 17 (3): 603–606. doi : 10.1137 / 0117057 .
10. Dummit, David S .; Foote, Richard M. (1999). Álgebra abstracta (2 ed.). Nueva York: John Wiley and Sons. págs. 401–402. ISBN 978-0-471-36857-1.
11. Ver Knuth, DE "Pre-Fascículo 0a: Introducción a los algoritmos combinatorios" (impresión cero, revisión 2 ed.). respuesta al ejercicio 96,para aparecer como parte de Knuth, DE The Art of Computer Programming . 4A .
12. Van Loan, C .; Pitsianis, N. (1992). Aproximación con productos Kronecker . Ithaca, Nueva York: Cornell University Press.
13. Rey Keung Wu; Yam, Yeung; Meng, Helen; Mesbahi, Mehran (2016). "Aproximación de productos de Kronecker con matrices de factores múltiples mediante el algoritmo de producto tensorial". 2016 IEEE International Conference on Systems, Man, and Cybernetics (SMC) . págs. 004277–004282. doi : 10.1109 / SMC.2016.7844903 . ISBN 978-1-5090-1897-0. S2CID  30695585 .
14. Dantas, Cássio F .; Cohen, Jérémy E .; Gribonval, Rémi (2018). "Aprendizaje de diccionarios rápidos para representaciones dispersas utilizando descomposiciones de tensor de bajo rango" . Análisis de variables latentes y separación de señales (PDF) . Apuntes de conferencias en Ciencias de la Computación. 10891 . págs. 456–466. doi : 10.1007 / 978-3-319-93764-9_42 . ISBN  978-3-319-93763-2.
15. Li, Algo; et al. (4 de septiembre de 2010). "Calibración simultánea del mundo del robot y del ojo de la mano utilizando cuaterniones duales y el producto Kronecker" (PDF) . Revista Internacional de Ciencias Físicas . 5 (10): 1530-1536. S2CID 7446157 . Archivado desde el original (PDF) el 9 de febrero de 2020.  
16. Tracy, DS; Singh, RP (1972). "Un nuevo producto matricial y sus aplicaciones en la diferenciación matricial". Statistica Neerlandica . 26 (4): 143-157. doi : 10.1111 / j.1467-9574.1972.tb00199.x .
17. Liu, S. (1999). "Resultados de la matriz de los productos Khatri-Rao y Tracy-Singh" . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 289 (1-3): 267-277. doi : 10.1016 / S0024-3795 (98) 10209-4 .
18. Slyusar, VI (1998) [27 de diciembre de 1996]. "Productos finales en matrices en aplicaciones de radar" (PDF) . Sistemas de Radioelectrónica y Comunicaciones . 41 (3): 50–53.
19. Slyusar, Vadym (1999). "Nuevas operaciones matriciales para DSP" (conferencia autoeditada). doi : 10.13140 / RG.2.2.31620.76164 / 1 - a través de Research Gate.
20. Slyusar, VI (13 de marzo de 1998). "Una familia de productos faciales de matrices y sus propiedades" (PDF) . Cibernética y Análisis de Sistemas C / C de Kibernetika I Sistemnyi Analiz. 1999 . 35 (3): 379–384. doi : 10.1007 / BF02733426 . S2CID 119661450 .  
21. Slyusar, VI (15 de septiembre de 1997). Producto nuevas operaciones de matrices para aplicaciones de radares (PDF) . Problemas directos e inversos de la teoría de ondas electromagnéticas y acústicas (DIPED-97), Lviv. págs. 73–74.
22. Ahle, Thomas Dybdahl; Knudsen, Jakob Bæk Tejs (3 de septiembre de 2019). "Esbozo tensorial casi óptimo" . Arxiv . arXiv : 1909.01821 . S2CID 202539940 . 
23. Ninh, Pham; Pagh, Rasmus (2013). Núcleos polinomiales rápidos y escalables mediante mapas de características explícitos . Conferencia internacional SIGKDD sobre descubrimiento de conocimiento y minería de datos. Asociación para Maquinaria de Computación. doi : 10.1145 / 2487575.2487591 .

Referencias

• Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1991). Temas de análisis matricial . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-46713-1.
• Jain, Anil K. (1989). Fundamentos del procesamiento de imágenes digitales . Prentice Hall. Bibcode : 1989fdip.book ..... J . ISBN 978-0-13-336165-0.
• Steeb, Willi-Hans (1997). Producto Matrix Calculus y Kronecker con aplicaciones y programas C ++ . Publicaciones científicas mundiales. ISBN 978-981-02-3241-2.
• Steeb, Willi-Hans (2006). Problemas y Soluciones en Cálculo Matricial Introductorio y Avanzado . Publicaciones científicas mundiales. ISBN 978-981-256-916-5.

Enlaces externos

• "Producto tensorial" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• "Producto Kronecker" . PlanetMath .
• "Producto Kronecker" . MathWorld .
• "Problemas con los nuevos productos Kronecker" (PDF) .
• "Usos más antiguos" . La entrada sobre Kronecker, Zehfuss o Producto directo de matrices tiene información histórica.
• Calcule el producto de Kronecker de dos matrices . SourceForge (código fuente genérico de C ++ y Fortran 90). 2015-06-27.
• "Producto Kronecker" . RosettaCode.org . 31 de diciembre de 2020 . Consultado el 13 de enero de 2021 . Fuente de software en más de 40 idiomas.