La convergencia de Wijsman es una variación de la convergencia de Hausdorff adecuada para trabajar con conjuntos ilimitados . Intuitivamente, la convergencia de Wijsman es la convergencia en la métrica de Hausdorff como la convergencia puntual es la convergencia uniforme .
Historia
La convergencia fue definida por Robert Wijsman . [1] La misma definición fue utilizada anteriormente por Zdeněk Frolík . [2] Aún antes, Hausdorff en su libro Grundzüge der Mengenlehre definió los llamados límites cerrados ; para espacios métricos adecuados , es lo mismo que la convergencia de Wijsman.
Definición
Sea ( X , d ) un espacio métrico y dejar Cl ( X ) denota el conjunto de todos los d -Cerrado subconjuntos de X . Para un punto x ∈ X y un conjunto A ∈ Cl ( X ), establezca
Una secuencia (o red ) de conjuntos A i ∈ Cl ( X ) se dice que es Wijsman convergente a A ∈ Cl ( X ) si, para cada x ∈ X ,
La convergencia de Wijsman induce una topología en Cl ( X ), conocida como topología de Wijsman .
Propiedades
- La topología de Wijsman depende en gran medida de la métrica d . Incluso si dos métricas son uniformemente equivalentes, pueden generar diferentes topologías de Wijsman.
- Teorema de Beer : si ( X , d ) es un espacio métrico completo y separable , entonces Cl ( X ) con la topología de Wijsman es un espacio polaco , es decir, es separable y metrizable con una métrica completa.
- Cl ( X ) con la topología de Wijsman es siempre un espacio de Tychonoff . Además, uno tiene el teorema de Levi-Lechicki : ( X , d ) es separable si y solo si Cl ( X ) es metrizable, primero contable o segundo contable .
- Si la convergencia puntual de la convergencia de Wijsman se reemplaza por la convergencia uniforme (uniformemente en x ), entonces se obtiene la convergencia de Hausdorff, donde la métrica de Hausdorff está dada por
- Las topologías de Hausdorff y Wijsman en Cl ( X ) coinciden si y solo si ( X , d ) es un espacio totalmente acotado .
Ver también
Referencias
- Notas
- ^ Wijsman, Robert A. (1966). "Convergencia de secuencias de conjuntos convexos, conos y funciones. II" . Trans. Amer. Matemáticas. Soc . Sociedad Matemática Estadounidense. 123 (1): 32–45. doi : 10.2307 / 1994611 . JSTOR 1994611 . SEÑOR0196599
- ↑ Z. Frolík, Concerning topological convergence of sets, Czechoskovak Math. J. 10 (1960), 168–180
- Bibliografía
- Beer, Gerald (1993). Topologías sobre conjuntos convexos cerrados y cerrados . Las matemáticas y sus aplicaciones 268. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. págs. xii + 340. ISBN 0-7923-2531-1. SEÑOR1269778
- Beer, Gerald (1994). "Convergencia de Wijsman: una encuesta". Anal de valor fijo . 2 (1–2): 77–94. doi : 10.1007 / BF01027094 . SEÑOR1285822
enlaces externos
- Som Naimpally (2001) [1994], "Convergencia de Wijsman" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press