En álgebra lineal (y su aplicación a la mecánica cuántica ), una elevación o descenso del operador (colectivamente conocidos como operador escalera ) es un operador que aumenta o disminuye el valor propio de otro operador. En mecánica cuántica, el operador de elevación a veces se denomina operador de creación y el operador de descenso, operador de aniquilación . Las aplicaciones bien conocidas de los operadores de escalera en la mecánica cuántica se encuentran en los formalismos del oscilador armónico cuántico y el momento angular .
Terminología
Existe cierta confusión con respecto a la relación entre los operadores de escalera de subida y bajada y los operadores de creación y aniquilación comúnmente utilizados en la teoría cuántica de campos . El operador de creación a i † incrementa el número de partículas en el estado i , mientras que el operador de aniquilación correspondiente a i disminuye el número de partículas en el estado i . Esto claramente satisface los requisitos de la definición anterior de un operador de escalera: el incremento o decremento del valor propio de otro operador (en este caso, el operador de número de partículas ).
La confusión surge porque el término operador de escalera se usa típicamente para describir un operador que actúa para incrementar o disminuir un número cuántico que describe el estado de un sistema. Para cambiar el estado de una partícula con los operadores de creación / aniquilación de QFT requiere el uso de tanto un operador aniquilación para eliminar una partícula desde el estado inicial y un operador de creación para añadir una partícula al estado final.
El término "operador de escalera" también se utiliza a veces en matemáticas, en el contexto de la teoría de las álgebras de Lie y, en particular, las álgebras de Lie afines , para describir las subálgebras su (2) , a partir de las cuales el sistema de raíces y los módulos de mayor peso pueden construirse por medio de los operadores de escalera. [1] En particular, el peso más alto es aniquilado por los operadores de elevación; el resto del espacio de raíz positivo se obtiene aplicando repetidamente los operadores de descenso (un conjunto de operadores de escalera por subálgebra).
Formulación general
Supongamos que dos operadores X y N tienen la relación de conmutación ,
para algunos escalares c . Sies un estado propio de N con ecuación de valor propio,
entonces el operador X actúa sobrede tal manera que cambie el valor propio en c :
En otras palabras, si es un autoestado de N con autovalor n entonceses un autoestado de N con autovalor n + c o es cero. El operador X es un operador ascendente para N si c es real y positivo, y un operador descendente para N si c es real y negativo.
Si N es un operador hermitiano, entonces c debe ser real y el adjunto hermitiano de X obedece a la relación de conmutación:
En particular, si X es un operador de descenso para N, entonces X † es un operador de elevación para N y viceversa .
Momento angular
Una aplicación particular del concepto de operador de escalera se encuentra en el tratamiento mecánico cuántico del momento angular . Para un vector de momento angular general , J , con componentes, J x , J y y J z, se definen los dos operadores de escalera, J + y J - , [2]
donde i es la unidad imaginaria .
La relación de conmutación entre las componentes cartesianas de cualquier operador de momento angular está dada por
donde ε ijk es el símbolo de Levi-Civita y cada uno de i , j y k puede tomar cualquiera de los valores x , y y z .
A partir de esto, se obtienen las relaciones de conmutación entre los operadores de escalera y J z ,
(Técnicamente, esta es el álgebra de Lie de ).
Las propiedades de los operadores de escalera se pueden determinar observando cómo modifican la acción del operador J z en un estado dado,
Compare este resultado con
Así se concluye que es un escalar multiplicado por,
Esto ilustra la característica definitoria de los operadores de escalera en mecánica cuántica: el incremento (o decremento) de un número cuántico, mapeando así un estado cuántico sobre otro. Esta es la razón por la que a menudo se les conoce como operadores de subida y bajada.
Para obtener los valores de α y β primero tome la norma de cada operador, reconociendo que J + y J - son un par conjugado hermitiano (),
- ,
- .
El producto de los operadores de escalera se puede expresar en términos del par de conmutación J 2 y J z ,
Por tanto, se pueden expresar los valores de | α | 2 y | β | 2 en términos de los valores propios de J 2 y J z ,
Las fases de α y β no son físicamente significativas, por lo que se pueden elegir para que sean positivas y reales ( convención de fases de Condon-Shortley ). Entonces tenemos: [3]
Confirmando que m está acotado por el valor de j (), uno tiene
La demostración anterior es efectivamente la construcción de los coeficientes de Clebsch-Gordan .
Aplicaciones en física atómica y molecular
Muchos términos en los hamiltonianos de sistemas atómicos o moleculares involucran el producto escalar de operadores de momento angular. Un ejemplo es el término dipolo magnético en el hamiltoniano hiperfino , [4]
donde yo está el giro nuclear.
El álgebra del momento angular a menudo se puede simplificar reformulándolo en la base esférica . Usando la notación de operadores de tensor esférico , los componentes "-1", "0" y "+1" de J (1) ≡ J están dados por, [5]
A partir de estas definiciones, se puede demostrar que el producto escalar anterior se puede expandir como
La importancia de esta expansión es que indica claramente qué estados están acoplados por este término en el hamiltoniano, es decir, aquellos con números cuánticos que difieren en m i = ± 1 y m j = ∓1 solamente .
Oscilador armónico
Otra aplicación del concepto de operador de escalera se encuentra en el tratamiento mecánico cuántico del oscilador armónico. Podemos definir los operadores de subida y bajada como
Proporcionan un medio conveniente para extraer valores propios de energía sin resolver directamente la ecuación diferencial del sistema.
Átomo similar al hidrógeno
Otra aplicación del concepto de operador de escalera se encuentra en el tratamiento mecánico cuántico de la energía electrónica de átomos e iones similares al hidrógeno. [6] Podemos definir los operadores de subida y bajada (basados en el vector clásico de Laplace-Runge-Lenz )
dónde es el momento angular, es el momento lineal, es la masa reducida del sistema, es la carga electrónica, y es el número atómico del núcleo. De manera análoga a los operadores de escalera de momento angular, uno tiene y .
Los conmutadores necesarios para continuar son:
y
- .
Por lo tanto,
y
entonces
donde el "?" indica un número cuántico naciente que surge de la discusión.
Dadas las ecuaciones de Pauli [7] Ecuación IV de Pauli:
y Ecuación de Pauli III:
y comenzando con la ecuación
y expandiéndose, se obtiene (asumiendo es el valor máximo del número cuántico de momento angular en consonancia con todas las demás condiciones),
que conduce a la fórmula de Rydberg :
implicando que , dónde es el número cuántico tradicional.
Historia
Muchas fuentes atribuyen a Dirac la invención de los operadores de escalera. [8] El uso de Dirac de los operadores de escalera muestra que el número cuántico de momento angular total debe ser un múltiplo medio entero no negativo de ħ.
Ver también
- Operadores de creación y aniquilación
- Oscilador armónico cuántico
- Base de Chevalley
Referencias
- ^ Fuchs, Jurgen (1992), Álgebras de mentiras afines y grupos cuánticos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X
- ^ de Lange, OL; RE Raab (1986). "Operadores de escalera para momento angular orbital". Revista estadounidense de física . 54 (4): 372–375. Código Bibliográfico : 1986AmJPh..54..372D . doi : 10.1119 / 1.14625 .
- ^ Sakurai, Jun J. (1994). Mecánica cuántica moderna . Delhi, India: Pearson Education, Inc. pág. 192. ISBN 81-7808-006-0.
- ^ Woodgate, Gordon K. (6 de octubre de 1983). Estructura atómica elemental . ISBN 978-0-19-851156-4. Consultado el 3 de marzo de 2009 .
- ^ "Operadores de momento angular" . Notas de Posgrado en Mecánica Cuántica . Universidad de Virginia . Consultado el 6 de abril de 2009 .
- ^ autor = David, CW, "Solución de operador de escalera para los niveles de energía electrónica del átomo de hidrógeno", Am. J. Phys., 34, 984, (1966) Burkhardt, CE, y Levanthal, J., "Operaciones de vector de Lenz sobre funciones propias de átomos de hidrógeno esféricos", Am. J. Phys., 72, 1013, (2004)
- ^ Wolfgang Pauli, "Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik", Z. Physik, 36, 336 (1926); BL Van der Waerden, Fuentes de Mecánica Cuántica, Dover, Nueva York, 1968
- ^ https://www.fisica.net/mecanica-quantica/quantum_harmonic_oscillator_lecture.pdf