En dinámica de fluidos , la ley de la pared (también conocida como ley logarítmica de la pared ) establece que la velocidad promedio de un flujo turbulento en un punto determinado es proporcional al logaritmo de la distancia desde ese punto hasta la "pared", o el límite de la región fluida . Esta ley del muro fue publicada por primera vez en 1930 por el matemático , ingeniero aeroespacial y físico húngaro-estadounidense Theodore von Kármán . [1]Solo es técnicamente aplicable a partes del flujo que están cerca de la pared (<20% de la altura del flujo), aunque es una buena aproximación para todo el perfil de velocidades de los arroyos naturales. [2]
Formulación logarítmica general
La ley logarítmica de la pared es una solución auto-similar para la velocidad media paralela a la pared, y es válida para flujos con números de Reynolds altos , en una región de superposición con un esfuerzo cortante aproximadamente constante y lo suficientemente lejos de la pared para viscosidad (directa) efectos insignificantes: [3]
- con y
dónde
es la coordenada de la pared: la distancia y a la pared, adimensional con la velocidad de fricción u τ y la viscosidad cinemática ν , es la velocidad adimensional: la velocidad u paralela a la pared en función de y (distancia desde la pared), dividida por la velocidad de fricción u τ , es el esfuerzo cortante de la pared, es la densidad del fluido , se llama velocidad de fricción o velocidad de corte , es la constante de Von Kármán , es una constante, y es el logaritmo natural .
A partir de experimentos, se encuentra que la constante de von Kármán es y para una pared lisa. [3]
Con las dimensiones, la ley logarítmica de la pared se puede escribir como: [4]
donde y 0 es la distancia desde el límite en el que la velocidad idealizada dada por la ley de la pared llega a cero. Esto es necesariamente distinto de cero porque el perfil de velocidad turbulenta definido por la ley de la pared no se aplica a la subcapa laminar . La distancia desde la pared a la que llega a cero se determina comparando el espesor de la subcapa laminar con la rugosidad de la superficie sobre la que fluye. Para una subcapa laminar de espesor cercano a la pared y una escala de longitud de rugosidad característica , [2]
: flujo hidráulicamente suave , : flujo de transición, : flujo hidráulico rugoso .
Intuitivamente, esto significa que si los elementos de rugosidad están ocultos dentro de la subcapa laminar, tienen un efecto muy diferente sobre la ley turbulenta del perfil de velocidad de la pared que si sobresalen hacia la parte principal del flujo.
Esto también se formula a menudo más formalmente en términos de un número de Reynolds límite, , dónde
El flujo es hidráulicamente suave para , hidráulicamente rugoso para y transicional para valores intermedios. [2]
Valores para están dados por: [2] [5]
para un flujo hidráulicamente suave para flujo hidráulico irregular.
Los valores intermedios generalmente vienen dados por el diagrama de Nikuradse derivado empíricamente , [2] aunque también se han propuesto métodos analíticos para resolver este rango. [6]
Para canales con un límite granular, como sistemas fluviales naturales,
dónde es el diámetro promedio del percentil 84 más grande de los granos del material del lecho. [7]
Soluciones de ley de energía
Los trabajos de Barenblatt y otros han demostrado que, además de la ley logarítmica de la pared, el límite para los números infinitos de Reynolds, existen soluciones de ley de potencias que dependen del número de Reynolds. [8] [9] En 1996, Cipra presentó pruebas experimentales en apoyo de estas descripciones de leyes de poder. [10] Esta prueba en sí misma no ha sido plenamente aceptada por otros expertos. [11] En 2001, Oberlack afirmó haber derivado tanto la ley logarítmica del muro como las leyes de potencia, directamente de las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds , explotando las simetrías en un enfoque de grupo de Lie . [3] [12] Sin embargo, en 2014, Frewer et al. [13] refutó estos resultados.
Cerca de la pared
Debajo de la región donde se aplica la ley del muro, existen otras estimaciones para la velocidad de fricción. [14]
Subcapa viscosa
En la región conocida como subcapa viscosa, debajo de 5 unidades de pared, la variación de a es aproximadamente 1: 1, de modo que:
- Para
dónde,
es la coordenada de la pared: la distancia y a la pared, adimensional con la velocidad de friccióny viscosidad cinemática , es la velocidad adimensional: la velocidad u paralela a la pared en función de y (distancia desde la pared), dividida por la velocidad de fricción,
Esta aproximación se puede utilizar más allá de 5 unidades de pared, pero por el error es superior al 25%.
Capa amortiguadora
En la capa de amortiguación, entre 5 unidades de pared y 30 unidades de pared, ninguna ley se cumple, de modo que:
- Para
con la mayor variación de cualquiera de las leyes ocurriendo aproximadamente donde las dos ecuaciones se interceptan, en . Es decir, antes de 11 unidades de pared, la aproximación lineal es más precisa y después de 11 unidades de pared se debe usar la aproximación logarítmica, aunque ninguna es relativamente precisa en 11 unidades de pared.
El perfil de velocidad media en sentido de la corriente se mejora para con una formulación de viscosidad eddy basada en una energía cinética turbulenta cercana a la pared función y la ecuación de longitud de mezcla de van Driest. Comparaciones con datos DNS de flujos de canales turbulentos completamente desarrollados paramostró un buen acuerdo. [15]
Notas
- ↑ von Kármán, Th. (1930), "Mechanische Ähnlichkeit und Turbulenz", Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Fachgruppe 1 (Mathematik) , 5 : 58–76(también como: “Similitud mecánica y turbulencia” , Tech. Mem. NACA, no. 611, 1931).
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- ^ Oberlack, Martin (2001), "Un enfoque unificado para simetrías en flujos de cizallamiento turbulentos paralelos planos", Journal of Fluid Mechanics , 427 : 299–328, Bibcode : 2001JFM ... 427..299O , doi : 10.1017 / S0022112000002408
- ^ Frewer, Michael; Khujadze, George; Foysi, Holger (2014), ¿Es la ley logarítmica un primer resultado de principio del análisis de invariancia de grupos de Lie? , págs. 1–32, arXiv : 1412.3069 , Bibcode : 2014arXiv1412.3069F
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Referencias
- Chanson, H. (2009), Hidrodinámica aplicada: Introducción a los flujos de fluidos ideales y reales , CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Países Bajos, 478 páginas, ISBN 978-0-415-49271-3
- Schlichting, Hermann; Gersten, K. (2000), Boundary-layer Theory (8.a edición revisada), Springer, ISBN 3-540-66270-7
Otras lecturas
- Buschmann, Matthias H .; Gad-el-Hak, Mohamed (2009), "Evidence of nonlogarithmic behavior of turbulent channel and pipe flow", AIAA Journal , 47 (3): 535, Bibcode : 2009AIAAJ..47..535B , doi : 10.2514 / 1.37032
enlaces externos
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