En la rama de las matemáticas conocida como análisis real , la integral de Riemann , creada por Bernhard Riemann , fue la primera definición rigurosa de la integral de una función en un intervalo . Se presentó a la facultad de la Universidad de Göttingen en 1854, pero no se publicó en una revista hasta 1868. [1] Para muchas funciones y aplicaciones prácticas, la integral de Riemann puede evaluarse mediante el teorema fundamental del cálculo o aproximarse mediante integración numérica. .
La integral de Riemann no es adecuada para muchos propósitos teóricos. Algunas de las deficiencias técnicas en la integración de Riemann se pueden remediar con la integral de Riemann-Stieltjes , y la mayoría desaparecen con la integral de Lebesgue , aunque esta última no tiene un tratamiento satisfactorio de las integrales impropias . La integral de gauge es una generalización de la integral de Lebesgue que está a la vez más cerca de la integral de Riemann. Estas teorías más generales permiten la integración de funciones más "irregulares" o "altamente oscilantes" cuya integral de Riemann no existe; pero las teorías dan el mismo valor que la integral de Riemann cuando existe.
En entornos educativos, la integral Darboux ofrece una definición más simple con la que es más fácil trabajar; se puede utilizar para introducir la integral de Riemann. La integral de Darboux se define siempre que la integral de Riemann es, y siempre da el mismo resultado. Por el contrario, la integral de gauge es una generalización simple pero más poderosa de la integral de Riemann y ha llevado a algunos educadores a defender que debería reemplazar la integral de Riemann en los cursos introductorios de cálculo. [2]
Descripción general
Sea f una función de valor real no negativo en el intervalo [ a , b ] , y sea
sea la región del plano debajo de la gráfica de la función f y por encima del intervalo [ a , b ] (vea la figura en la parte superior derecha). Estamos interesados en la medición del área de S . Una vez la hayamos medido, denotaremos el área por:
La idea básica de la integral de Riemann es utilizar aproximaciones muy simples para el área de S . Al tomar cada vez mejores aproximaciones, podemos decir que "en el límite" obtenemos exactamente el área de S debajo de la curva.
Donde f puede ser tanto positiva como negativa, la definición de S se modifica para que la integral corresponda al área con signo debajo de la gráfica de f : es decir, el área sobre el eje x menos el área debajo del eje x .
Definición
Particiones de un intervalo
Una partición de un intervalo [ a , b ] es una secuencia finita de números de la forma
Cada [ x i , x i + 1 ] se denomina subintervalo de la partición. La malla o norma de una partición se define como la longitud del subintervalo más largo, es decir,
Una partición etiquetada P ( x , t ) de un intervalo [ a , b ] es una partición junto con una secuencia finita de números t 0 , ..., t n - 1 sujeto a las condiciones que para cada i , t i ∈ [ x i , x i + 1 ] . En otras palabras, es una partición junto con un punto distinguido de cada subintervalo. La malla de una partición etiquetada es la misma que la de una partición ordinaria.
Suponga que dos particiones P ( x , t ) y Q ( y , s ) son ambas particiones del intervalo [ a , b ] . Decimos que Q ( y , s ) es un refinamiento de P ( x , t ) si para cada entero i , con i ∈ [0, n ] , existe un entero r ( i ) tal que x i = y r ( i ) y tal que t i = s j para algún j con j ∈ [ r ( i ), r ( i + 1)) . Dicho de manera más simple, un refinamiento de una partición etiquetada rompe algunos de los subintervalos y agrega etiquetas a la partición donde sea necesario, por lo que "refina" la precisión de la partición.
Podemos convertir el conjunto de todas las particiones etiquetadas en un conjunto dirigido diciendo que una partición etiquetada es mayor o igual que otra si la primera es un refinamiento de la última.
Sumas de Riemann
Sea f una función de valor real definida en el intervalo [ a , b ] . La suma de Riemann de f con respecto a la partición etiquetada x 0 , ..., x n junto con t 0 , ..., t n - 1 es [3]
Cada término de la suma es el producto del valor de la función en un punto dado y la longitud de un intervalo. En consecuencia, cada término representa el área (con signo) de un rectángulo con altura f ( t i ) y ancho x i + 1 - x i . La suma de Riemann es el área (con signo) de todos los rectángulos.
Conceptos estrechamente relacionados son las sumas Darboux inferior y superior . Son similares a las sumas de Riemann, pero las etiquetas se reemplazan por el infimum y supremum (respectivamente) de f en cada subintervalo:
Si f es continua, entonces las sumas Darboux inferior y superior para una partición sin etiquetar son iguales a la suma de Riemann para esa partición, donde las etiquetas se eligen para que sean el mínimo o máximo (respectivamente) de f en cada subintervalo. (Cuando f es discontinua en un subintervalo, puede que no haya una etiqueta que alcance el mínimo o el superior en ese subintervalo). La integral de Darboux , que es similar a la integral de Riemann pero basada en sumas de Darboux, es equivalente a la integral de Riemann.
Integral de Riemann
Hablando libremente, la integral de Riemann es el límite de las sumas de Riemann de una función a medida que las particiones se vuelven más finas. Si existe el límite, se dice que la función es integrable (o más específicamente integrable de Riemann ). La suma de Riemann se puede hacer tan cerca como se desee de la integral de Riemann haciendo que la partición sea lo suficientemente fina. [4]
Un requisito importante es que la malla de las particiones debe hacerse cada vez más pequeña, de modo que en el límite sea cero. Si esto no fuera así, entonces no obtendríamos una buena aproximación a la función en ciertos subintervalos. De hecho, esto es suficiente para definir una integral. Para ser específicos, decimos que la integral de Riemann de f es igual a s si se cumple la siguiente condición:
Para todo ε > 0 , existe δ > 0 tal que para cualquier partición etiquetada x 0 , ..., x n y t 0 , ..., t n - 1 cuya malla es menor que δ , tenemos
Desafortunadamente, esta definición es muy difícil de usar. Ayudaría a desarrollar una definición equivalente de la integral de Riemann con la que sea más fácil trabajar. Desarrollamos esta definición ahora, con una prueba de equivalencia a continuación. Nuestra nueva definición dice que la integral de Riemann de f es igual a s si se cumple la siguiente condición:
Para todos ε > 0 , existe una partición etiquetada y 0 , ..., y m y r 0 , ..., r m - 1 tal que para cualquier partición etiquetada x 0 , ..., x n y t 0 , ..., t n - 1 , que es un refinamiento de y 0 , ..., y m y r 0 , ..., r m - 1 , tenemos
Ambos significan que eventualmente, la suma de Riemann de f con respecto a cualquier partición queda atrapada cerca de s . Dado que esto es cierto sin importar cuán cerca exijamos que las sumas queden atrapadas, decimos que las sumas de Riemann convergen en s . Estas definiciones son en realidad un caso especial de un concepto más general, una red .
Como dijimos anteriormente, estas dos definiciones son equivalentes. En otras palabras, s funciona en la primera definición si y solo si s funciona en la segunda definición. Para mostrar que la primera definición implica la segunda, comience con un ε y elija un δ que satisfaga la condición. Elija cualquier partición etiquetada cuya malla sea menor que δ . Su suma de Riemann está dentro de ε de s , y cualquier refinamiento de esta partición también tendrá una malla menor que δ , por lo que la suma de Riemann del refinamiento también estará dentro de ε de s .
Para mostrar que la segunda definición implica la primera, es más fácil usar la integral de Darboux . Primero, se muestra que la segunda definición es equivalente a la definición de la integral de Darboux; para ello, consulte el artículo de Darboux Integral . Ahora mostraremos que una función integrable de Darboux satisface la primera definición. Fije ε y elija una partición y 0 , ..., y m tal que las sumas de Darboux superior e inferior con respecto a esta partición estén dentro de ε / 2 del valor s de la integral de Darboux. Dejar
Si r = 0 , entonces f es la función cero, que es claramente integrable tanto de Darboux como de Riemann con la integral cero. Por tanto, asumiremos que r > 0 . Si m > 1 , entonces elegimos δ tal que
Si m = 1 , entonces elegimos que δ sea menor que uno. Elija una partición etiquetada x 0 , ..., x n y t 0 , ..., t n - 1 con una malla menor que δ . Debemos demostrar que la suma de Riemann está dentro de ε de s .
Para ver esto, elija un intervalo [ x i , x i + 1 ] . Si este intervalo está contenido dentro de algunos [ y j , y j + 1 ] , entonces
donde m j y M j son, respectivamente, el mínimo y el superior de f en [ y j , y j + 1 ] . Si todos los intervalos tuvieran esta propiedad, entonces esto concluiría la demostración, porque cada término en la suma de Riemann estaría acotado por un término correspondiente en las sumas de Darboux, y elegimos que las sumas de Darboux estuvieran cerca de s . Este es el caso cuando m = 1 , por lo que la demostración está terminada en ese caso.
Por tanto, podemos suponer que m > 1 . En este caso, es posible que uno de los [ x i , x i + 1 ] no esté contenido en ningún [ y j , y j + 1 ] . En cambio, puede extenderse a lo largo de dos de los intervalos determinados por y 0 , ..., y m . (No puede cumplir con tres intervalos porque se supone que δ es menor que la longitud de cualquier intervalo). En símbolos, puede suceder que
(Podemos suponer que todas las desigualdades son estrictas porque de lo contrario estamos en el caso anterior según nuestra suposición de la longitud de δ .) Esto puede suceder como máximo m - 1 veces.
Para manejar este caso, estimaremos la diferencia entre la suma de Riemann y la suma de Darboux subdividiendo la partición x 0 , ..., x n en y j + 1 . El término f ( t i ) ( x i + 1 - x i ) en la suma de Riemann se divide en dos términos:
Suponga, sin pérdida de generalidad, que t i ∈ [ y j , y j + 1 ] . Luego
por lo que este término está limitado por el término correspondiente en la suma de Darboux para y j . Para limitar el otro término, observe que
De ello se deduce que, para algunos (de hecho, cualquier) t*
yo∈ [ y j + 1 , x i + 1 ] ,
Dado que esto sucede como máximo m - 1 veces, la distancia entre la suma de Riemann y la suma de Darboux es como máximo ε / 2 . Por lo tanto, la distancia entre la suma de Riemann y s es como máximo ε .
Ejemplos de
Dejar ser la función que toma el valor 1 en cada punto. Cualquier suma de Riemann de f en [0, 1] tendrá el valor 1, por lo tanto, la integral de Riemann de f en [0, 1] es 1.
Dejar ser la función indicadora de los números racionales en [0, 1] ; es decir,toma el valor 1 en números racionales y 0 en números irracionales. Esta función no tiene una integral de Riemann. Para probar esto, mostraremos cómo construir particiones etiquetadas cuyas sumas de Riemann se acerquen arbitrariamente tanto a cero como a uno.
Para comenzar, deje que x 0 , ..., x n y t 0 , ..., t n - 1 sea una partición etiquetada (cada t i está entre x i y x i + 1 ). Elija ε > 0 . El t i ya ha sido elegido y no podemos cambiar el valor de f en esos puntos. Pero si cortamos la partición en pequeños pedazos alrededor de cada t i , podemos minimizar el efecto del t i . Luego, eligiendo cuidadosamente las nuevas etiquetas, podemos hacer que el valor de la suma de Riemann resulte estar dentro de ε de cero o uno.
Nuestro primer paso es cortar la partición. Hay n de t i , y queremos que su efecto total sea menor que ε . Si limitamos cada uno de ellos a un intervalo de longitud menor que ε / n , entonces la contribución de cada t i a la suma de Riemann será al menos 0 · ε / ny como máximo 1 · ε / n . Esto hace que la suma total sea al menos cero y como máximo ε . Entonces, sea δ un número positivo menor que ε / n . Si sucede que dos de los t i están dentro de δ entre sí, elija δ más pequeño. Si sucede que alguna t i está dentro de δ de alguna x j , y t i no es igual ax j , elija δ menor. Dado que solo hay un número finito de t i y x j , siempre podemos elegir δ suficientemente pequeño.
Ahora agregamos dos cortes a la partición para cada t i . Uno de los cortes estará en t i - δ / 2 , y el otro estará en t i + δ / 2 . Si uno de estos sale del intervalo [0, 1], lo dejamos fuera. camiseta T i seré el tag correspondiente al subintervalo
Si t i está directamente encima de uno de los x j , entonces dejamos que t i sea la etiqueta para ambos intervalos:
Todavía tenemos que elegir etiquetas para los otros subintervalos. Los elegiremos de dos formas distintas. La primera forma es elegir siempre un punto racional , de modo que la suma de Riemann sea lo más grande posible. Esto hará que el valor de la suma de Riemann sea al menos 1 - ε . La segunda forma es elegir siempre un punto irracional, de modo que la suma de Riemann sea lo más pequeña posible. Esto hará que el valor de Riemann sume como máximo ε .
Desde que empezamos desde una partición arbitraria y terminamos tan cerca como queríamos cero o uno, es falso decir que estamos finalmente atrapados cerca de algún número s , por lo que esta función no es Riemann integrable. Sin embargo, es Lebesgue integrable . En el sentido de Lebesgue, su integral es cero, ya que la función es cero en casi todas partes . Pero este es un hecho que está más allá del alcance de la integral de Riemann.
Hay ejemplos aún peores. es equivalente (es decir, igual en casi todas partes) a una función integrable de Riemann, pero hay funciones acotadas integrables que no son de Riemann que no son equivalentes a ninguna función integrable de Riemann. Por ejemplo, sea C el conjunto de Smith-Volterra-Cantor y sea I C su función indicadora. Dado que C no es medible por Jordan , I C no es integrable por Riemann. Además, ninguna función g equivalente a I C es integrable de Riemann: g , como I C , debe ser cero en un conjunto denso, por lo que, como en el ejemplo anterior, cualquier suma de Riemann de g tiene un refinamiento que está dentro de ε de 0 para cualquier número positivo ε . Pero si existe la integral de Riemann de g , entonces debe ser igual a la integral de Lebesgue de I C , que es 1/2 . Por tanto, g no es integrable de Riemann.
Conceptos similares
Es popular definir la integral de Riemann como la integral de Darboux . Esto se debe a que la integral de Darboux es técnicamente más simple y a que una función es integrable de Riemann si y solo si es integrable de Darboux.
Algunos libros de cálculo no utilizan particiones etiquetadas generales, pero se limitan a tipos específicos de particiones etiquetadas. Si el tipo de partición es demasiado limitado, algunas funciones no integrables pueden parecer integrables.
Una restricción popular es el uso de sumas de Riemann de "mano izquierda" y "mano derecha". En una suma de Riemann de la izquierda, t i = x i para todo i , y en una suma de Riemann de la derecha, t i = x i + 1 para todo i . Por sí sola, esta restricción no impone un problema: podemos refinar cualquier partición de una manera que la convierta en una suma de la izquierda o de la derecha subdividiéndola en cada t i . En un lenguaje más formal, el conjunto de todas las sumas de Riemann de la izquierda y el conjunto de todas las sumas de Riemann de la derecha es cofinal en el conjunto de todas las particiones etiquetadas.
Otra restricción popular es el uso de subdivisiones regulares de un intervalo. Por ejemplo, el n º subdivisión regular de [0, 1] consta de los intervalos
Una vez más, esta restricción por sí sola no impone un problema, pero el razonamiento requerido para ver este hecho es más difícil que en el caso de las sumas de Riemann de la mano izquierda y de la derecha.
Sin embargo, combinar estas restricciones, de modo que se utilicen únicamente sumas de Riemann de la mano izquierda o de la derecha en intervalos divididos regularmente, es peligroso. Si se sabe de antemano que una función es integrable de Riemann, esta técnica dará el valor correcto de la integral. Pero en estas condiciones la función del indicador parecerá integrable en [0, 1] con integral igual a uno: Cada punto final de cada subintervalo será un número racional, por lo que la función siempre se evaluará en números racionales y, por lo tanto, siempre parecerá igual a uno. El problema con esta definición se hace evidente cuando intentamos dividir la integral en dos partes. La siguiente ecuación debería ser válida:
Si usamos subdivisiones regulares y sumas de Riemann a la izquierda oa la derecha, entonces los dos términos de la izquierda son iguales a cero, ya que todos los puntos finales excepto 0 y 1 serán irracionales, pero como hemos visto, el término de la derecha será igual a 1.
Como se definió anteriormente, la integral de Riemann evita este problema al negarse a integrar La integral de Lebesgue se define de tal manera que todas estas integrales son 0.
Propiedades
Linealidad
La integral de Riemann es una transformación lineal; es decir, si f y g son integrables de Riemann en [ a , b ] y α y β son constantes, entonces
Debido a que la integral de Riemann de una función es un número, esto hace que la integral de Riemann sea una funcional lineal en el espacio vectorial de funciones integrables de Riemann.
Integrabilidad
Una función acotada en un intervalo compacto [ a , b ] es integrable de Riemann si y solo si es continua en casi todas partes (el conjunto de sus puntos de discontinuidad tiene medida cero , en el sentido de la medida de Lebesgue ). Este es elTeorema de Lebesgue-Vitali (de caracterización de las funciones integrables de Riemann). Giuseppe VitaliyHenri Lebesgue lodemostraron independientementeen 1907, y utiliza la noción demedida cero, pero no utiliza ni la medida general ni la integral de Lebesgue.
La condición de integrabilidad se puede probar de varias formas, [5] [6] [7] [8] una de las cuales se esboza a continuación.
Prueba La demostración es más fácil usando la definición integral de integrabilidad de Darboux (formalmente, la condición de Riemann para la integrabilidad): una función es integrable de Riemann si y solo si las sumas superior e inferior pueden cerrarse arbitrariamente eligiendo una partición apropiada. Se puede probar una dirección usando la definición de continuidad de oscilación : [9] Para cada ε positivo , sea X ε el conjunto de puntos en [ a , b ] con una oscilación de al menos ε . Dado que todo punto donde f es discontinuo tiene una oscilación positiva y viceversa, el conjunto de puntos en [ a , b ] , donde f es discontinuo es igual a la unión sobre { X 1 / n } para todos los números naturales n .
Si este conjunto no tiene una medida de Lebesgue cero , entonces, por aditividad contable de la medida, hay al menos uno de tales n, de modo que X 1 / n no tiene una medida cero. Por lo tanto, existe un número positivo c tal que cada colección contable de intervalos abiertos que cubren X 1 / n tiene una longitud total de al menos c . En particular, esto también es cierto para cada colección finita de intervalos. Esto sigue siendo cierto también para X 1 / n menos un número finito de puntos (ya que un número finito de puntos siempre puede ser cubierto por una colección finita de intervalos con una longitud total arbitrariamente pequeña).
Para cada partición de [ a , b ] , considere el conjunto de intervalos cuyos interiores incluyen puntos de X 1 / n . Estos interiores consisten en una cubierta abierta finita de X 1 / n , posiblemente hasta un número finito de puntos (que pueden caer en los bordes del intervalo). Por tanto, estos intervalos tienen una duración total de al menos c . Dado que en estos puntos f tiene una oscilación de al menos 1 / n , el mínimo y el superior de f en cada uno de estos intervalos difieren en al menos 1 / n . Por tanto, las sumas superior e inferior de f difieren en al menos c / n . Dado que esto es cierto para todas las particiones, f no es integrable de Riemann.
Ahora demostramos la dirección inversa utilizando los conjuntos X ε definidos anteriormente. [10] Por cada ε , X ε es compacta , ya que está limitada (por una y b ) y cerrado:
- Para cada serie de puntos en X ε que converge en [ a , b ] , su límite también está en X ε . Esto se debe a que cada vecindad del punto límite es también una vecindad de algún punto en X ε y, por lo tanto, f tiene una oscilación de al menos ε . Por tanto, el punto límite está en X ε .
Ahora, suponga que f es continua en casi todas partes . Entonces, para cada ε , X ε tiene cero medida de Lebesgue . Por lo tanto, hay una colección contable de intervalos abiertos en [ a , b ] que es una cubierta abierta de X ε , de modo que la suma de todas sus longitudes es arbitrariamente pequeña. Dado que X ε es compacto , hay una subcobertura finita - una colección finita de intervalos abiertos en [ a , b ] con una longitud total arbitrariamente pequeña que en conjunto contienen todos los puntos en X ε . Denotamos estos intervalos { I ( ε ) i } , para 1 ≤ i ≤ k , para algún k natural .
El complemento de la unión de estos intervalos es en sí mismo una unión de un número finito de intervalos, que denotamos { J ( ε ) i } (para 1 ≤ i ≤ k - 1 y posiblemente para i = k , k + 1 también ).
Ahora mostramos que para cada ε > 0 , hay sumas superior e inferior cuya diferencia es menor que ε , de las cuales se sigue la integrabilidad de Riemann. Con este fin, construimos una partición de [ a , b ] de la siguiente manera:
Denotar varepsilon 1 = ε / 2 ( b - a ) y varepsilon 2 = ε / 2 ( M - m ) , donde m y M son el ínfimo y supremo de f en [ a , b ] . Dado que podemos elegir intervalos { I ( ε 1 ) i } con una longitud total arbitrariamente pequeña, los elegimos para que tengan una longitud total menor que ε 2 .
Cada uno de los intervalos { J ( ε 1 ) i } tiene una intersección vacía con X ε 1 , por lo que cada punto tiene una vecindad con una oscilación menor que ε 1 . Estos vecindarios consisten en una cubierta abierta del intervalo, y dado que el intervalo es compacto, hay una subcubierta finita de ellos. Esta subcubierta es una colección finita de intervalos abiertos, que son subintervalos de J ( ε 1 ) i (excepto aquellos que incluyen un punto de borde, para el cual solo tomamos su intersección con J ( ε 1 ) i ) . Tomamos los puntos de los bordes de los subintervalos para todos los J ( ε 1 ) i - s , incluidos los puntos de los bordes de los intervalos mismos, como nuestra partición.
Así, la partición divide [ a , b ] en dos tipos de intervalos:
- Intervalos del último tipo (en sí mismos subintervalos de algunos J ( ε 1 ) i ). En cada uno de estos, f oscila en menos de ε 1 . Dado que la longitud total de estos no es mayor que b - a , juntos contribuyen como máximo ε∗
1( b - a ) = ε / 2 a la diferencia entre las sumas superior e inferior de la partición. - Los intervalos { I ( ε ) i } . Estos tienen una longitud total menor que ε 2 , y f oscila sobre ellos en no más de M - m . Por lo tanto, juntos contribuyen menos que ε∗
2( M - m ) = ε / 2 a la diferencia entre las sumas superior e inferior de la partición.
En total, la diferencia entre las sumas superior e inferior de la partición es menor que ε , según sea necesario.
En particular, cualquier conjunto que sea a lo sumo contable tiene una medida de Lebesgue cero y, por lo tanto, una función acotada (en un intervalo compacto) con solo un número finito o numerable de discontinuidades es integrable de Riemann.
Una función indicadora de un conjunto acotado es integrable por Riemann si y solo si el conjunto es medible por Jordan . [11] La integral de Riemann se puede interpretar en teoría como medida como la integral con respecto a la medida de Jordan.
Si una función de valor real es monótona en el intervalo [ a , b ] , es integrable de Riemann, ya que su conjunto de discontinuidades es como mucho contable y, por lo tanto, tiene una medida de Lebesgue cero.
Si una función de valor real en [ a , b ] es integrable de Riemann, es integrable de Lebesgue . Es decir, la integrabilidad de Riemann es una condición más fuerte (es decir, más difícil de satisfacer) que la integrabilidad de Lebesgue.
Si f n es una secuencia uniformemente convergente en [ a , b ] con límite f , entonces la integrabilidad de Riemann de todo f n implica la integrabilidad de Riemann de f , y
Sin embargo, el teorema de convergencia monótono de Lebesgue (en un límite puntual monótono) no se cumple. En la integración de Riemann, tomar límites bajo el signo integral es mucho más difícil de justificar lógicamente que en la integración de Lebesgue. [12]
Generalizaciones
Es fácil extender la integral de Riemann a funciones con valores en el espacio vectorial euclidiano. para cualquier n . La integral se define por componentes; en otras palabras, si f = ( f 1 , ..., f n ) entonces
En particular, dado que los números complejos son un espacio vectorial real , esto permite la integración de funciones con valores complejos.
La integral de Riemann solo se define en intervalos acotados y no se extiende bien a intervalos ilimitados. La extensión más simple posible es definir dicha integral como un límite, en otras palabras, como una integral impropia :
Esta definición conlleva algunas sutilezas, como el hecho de que no siempre es equivalente calcular el valor principal de Cauchy
Por ejemplo, considere la función de signo f ( x ) = sgn ( x ) que es 0 en x = 0 , 1 para x > 0 y −1 para x <0 . Por simetría,
siempre, independientemente de a . Pero hay muchas formas de expandir el intervalo de integración para llenar la línea real, y otras formas pueden producir resultados diferentes; en otras palabras, el límite multivariado no siempre existe. Podemos calcular
En general, esta integral de Riemann impropia no está definida. Incluso estandarizar una forma para que el intervalo se acerque a la línea real no funciona porque conduce a resultados inquietantemente contrarios a la intuición. Si estamos de acuerdo (por ejemplo) en que la integral impropia siempre debe ser
entonces la integral de la traslación f ( x - 1) es −2, por lo que esta definición no es invariante bajo cambios, una propiedad altamente indeseable. De hecho, esta función no solo no tiene una integral de Riemann impropia, su integral de Lebesgue tampoco está definida (es igual a ∞ - ∞ ).
Desafortunadamente, la integral de Riemann incorrecta no es lo suficientemente poderosa. El problema más grave es que no existen teoremas de amplia aplicación para conmutar integrales de Riemann impropias con límites de funciones. En aplicaciones como la serie de Fourier , es importante poder aproximar la integral de una función utilizando integrales de aproximaciones a la función. Para integrales adecuados Riemann, un estándar teorema de que si f n es una secuencia de funciones que convergen uniformemente a f en un conjunto compacto [ a , b ] , entonces
En intervalos no compactos como la línea real, esto es falso. Por ejemplo, tome f n ( x ) como n −1 en [0, n ] y cero en cualquier otro lugar. Para todos los n tenemos:
La secuencia { f n } converge uniformemente a la función cero, y claramente la integral de la función cero es cero. Como consecuencia,
Esto demuestra que para integrales en intervalos ilimitados, la convergencia uniforme de una función no es lo suficientemente fuerte como para permitir pasar un límite a través de un signo integral. Esto hace que la integral de Riemann sea inviable en aplicaciones (aunque la integral de Riemann asigna a ambos lados el valor correcto), porque no hay otro criterio general para intercambiar un límite y una integral de Riemann, y sin tal criterio es difícil aproximar integrales por aproximando sus integrandos.
Una mejor ruta es abandonar la integral de Riemann por la integral de Lebesgue . La definición de la integral de Lebesgue no es obviamente una generalización de la integral de Riemann, pero no es difícil probar que toda función integrable de Riemann es integrable de Lebesgue y que los valores de las dos integrales concuerdan siempre que ambas están definidas. Además, una función f definida en un intervalo acotado es integrable de Riemann si y solo si está acotada y el conjunto de puntos donde f es discontinuo tiene una medida de Lebesgue cero.
Una integral que de hecho es una generalización directa de la integral de Riemann es la integral de Henstock-Kurzweil .
Otra forma de generalizar la integral de Riemann es reemplazar los factores x k + 1 - x k en la definición de una suma de Riemann por algo más; En términos generales, esto le da al intervalo de integración una noción diferente de longitud. Este es el enfoque adoptado por la integral de Riemann-Stieltjes .
En cálculo multivariable , las integrales de Riemann para funciones deson múltiples integrales .
Ver también
- Área
- Antiderivada
- Integración de Lebesgue
Notas
- ^ La integral de Riemann se introdujo en el artículo de Bernhard Riemann "Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" (Sobre la representabilidad de una función mediante una serie trigonométrica; es decir, cuándo se puede representar una función mediante una serie trigonométrica). Este artículo fue enviado a la Universidad de Göttingen en 1854 como Habilitationsschrift de Riemann(calificación para convertirse en instructor). Fue publicado en 1868 en Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (Actas de la Real Sociedad Filosófica de Göttingen), vol. 13, páginas 87-132. (Disponible en línea aquí .) Para la definición de Riemann de su integral, consulte la sección 4, "Über den Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit" (Sobre el concepto de integral definida y el alcance de su validez), páginas 101-103 .
- ^ "Una carta abierta a los autores de libros de cálculo" . Consultado el 27 de febrero de 2014 .
- ^ Krantz, Steven G. (1991). Análisis y fundamentos reales . Prensa CRC. pag. 173.; Edición de 2005 . ISBN 9781584884835.
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- ^ Condición de Lebesgue , John Armstrong, 15 de diciembre de 2009, The Unpologetic Mathematician
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- ^ Volumen PlanetMath
- ^ Cunningham, Frederick Jr. (1967). "Tomando límites bajo el signo integral" . Revista de Matemáticas . 40 : 179-186. doi : 10.2307 / 2688673 .
Referencias
- Shilov, GE y Gurevich, BL, 1978. Integral, medida y derivada: un enfoque unificado , Richard A. Silverman, trad. Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-63519-8 .
- Apostol, Tom (1974), Análisis matemático , Addison-Wesley
enlaces externos
- Medios relacionados con Riemann integral en Wikimedia Commons
- "Integral de Riemann" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]