En matemáticas , el teorema de los tres cuadrados de Legendre establece que un número natural se puede representar como la suma de tres cuadrados de enteros
si y solo si n no es de la forma para enteros no negativos una y b .
Los primeros números que no se pueden expresar como la suma de tres cuadrados (es decir, números que se pueden expresar como ) están
Historia
Pierre de Fermat dio un criterio para que los números de la forma 3 a + 1 sean una suma de tres cuadrados, pero no proporcionó una prueba. N. Beguelin notó en 1774 [1] que todo entero positivo que no tiene la forma 8 n + 7, ni la forma 4 n , es la suma de tres cuadrados, pero no proporciona una prueba satisfactoria. [2] En 1796 Gauss demostró su teorema de Eureka de que todo entero positivo n es la suma de 3 números triangulares ; esto es equivalente al hecho de que 8 n + 3 es una suma de tres cuadrados. En 1797 o 1798 A.-M. Legendre obtuvo la primera demostración de su teorema de los 3 cuadrados. [3] En 1813, AL Cauchy señaló [4] que el teorema de Legendre es equivalente al enunciado de la introducción anterior. Anteriormente, en 1801, CF Gauss había obtenido un resultado más general, [5] que contenía el teorema de Legendre de 1797-178 como corolario. En particular, Gauss contó el número de soluciones de la expresión de un número entero como una suma de tres cuadrados, y esto es una generalización de otro resultado más de Legendre, [6] cuya demostración es incompleta. Este último hecho parece ser la razón de posteriores afirmaciones incorrectas según las cuales la demostración de Legendre del teorema de los tres cuadrados era defectuosa y debía ser completada por Gauss. [7]
Con el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange y el teorema de los dos cuadrados de Girard, Fermat y Euler, el problema de Waring para k = 2 está completamente resuelto.
Pruebas
El "solo si" del teorema es simplemente porque módulo 8, cada cuadrado es congruente con 0, 1 o 4. Hay varias pruebas de lo contrario (además de la prueba de Legendre). Uno de ellos se debe a JPGL Dirichlet en 1850, y se ha convertido en clásico. [8] Requiere tres lemas principales:
- la ley de reciprocidad cuadrática ,
- Teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas , y
- la clase de equivalencia de la forma cuadrática ternaria trivial .
Relación con el teorema de los cuatro cuadrados
Este teorema se puede utilizar para demostrar el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange , que establece que todos los números naturales se pueden escribir como una suma de cuatro cuadrados. Gauss [9] señaló que el teorema de los cuatro cuadrados se deriva fácilmente del hecho de que cualquier entero positivo que sea 1 o 2 mod 4 es una suma de 3 cuadrados, porque cualquier entero positivo no divisible por 4 puede reducirse a esta forma restando 0 o 1 de él. Sin embargo, demostrar el teorema de los tres cuadrados es considerablemente más difícil que una prueba directa del teorema de los cuatro cuadrados que no utiliza el teorema de los tres cuadrados. De hecho, el teorema de los cuatro cuadrados se demostró antes, en 1770.
Ver también
Notas
- ↑ Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin (1774, publ. 1776), págs. 313–369.
- ^ Leonard Eugene Dickson , Historia de la teoría de números , vol. II, pág. 15 (Carnegie Institute of Washington 1919; AMS Chelsea Publ., 1992, reimpresión).
- ^ A.-M. Legendre, Essai sur la théorie des nombres , París, An VI (1797-1798), pág. 202 y págs. 398–399.
- ^ AL Cauchy, Mém. Sci. Matemáticas. Phys. de l'Institut de France , (1) 14 (1813-1815), 177.
- ^ CF Gauss, Disquisitiones Arithmeticae , Art. 291 y 292.
- ^ A.-M. Legendre, Hist. et Mém. Acad. Roy. Sci. París , 1785, págs. 514–515.
- ^ Ver, por ejemplo: Elena Deza y M. Deza. Números figurados . World Scientific 2011, pág. 314 [1]
- ^ Véase, por ejemplo, vol. I, partes I, II y III de: E. Landau , Vorlesungen über Zahlentheorie , Nueva York, Chelsea, 1927. Segunda edición traducida al inglés por Jacob E. Goodman, Providence RH, Chelsea, 1958.
- ^ Gauss, Carl Friedrich (1965), Disquisitiones Arithmeticae , Yale University Press, p. 342, sección 293, ISBN 0-300-09473-6