En la teoría de números aditivos , el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados establece que un primo impar p se puede expresar como:
con X y Y enteros, si y sólo si
Los números primos para los que esto es cierto se denominan números primos pitagóricos . Por ejemplo, los números primos 5, 13, 17, 29, 37 y 41 son todos congruentes con 1 módulo 4, y se pueden expresar como sumas de dos cuadrados de las siguientes formas:
Por otro lado, los números primos 3, 7, 11, 19, 23 y 31 son todos congruentes con 3 módulo 4, y ninguno de ellos puede expresarse como la suma de dos cuadrados. Esta es la parte más fácil del teorema y se sigue inmediatamente de la observación de que todos los cuadrados son congruentes con 0 o 1 módulo 4.
Dado que la identidad de Diofanto implica que el producto de dos enteros, cada uno de los cuales puede escribirse como la suma de dos cuadrados, se puede expresar en sí mismo como la suma de dos cuadrados, aplicando el teorema de Fermat a la factorización prima de cualquier entero positivo n , vemos que si todos los factores primos de n congruentes con 3 módulo 4 ocurren en un exponente par, entonces n se puede expresar como una suma de dos cuadrados. Lo contrario también es válido. [1] Esta generalización del teorema de Fermat se conoce como el teorema de la suma de dos cuadrados .
Historia
Albert Girard fue el primero en hacer la observación, describiendo todos los números enteros positivos (no necesariamente primos) expresables como la suma de dos cuadrados de enteros positivos; esto se publicó en 1625. [2] [3] La afirmación de que todo primo p de la forma 4n + 1 es la suma de dos cuadrados se denomina a veces teorema de Girard . [4] Por su parte, Fermat escribió una versión elaborada de la declaración (en la que también dio el número de posibles expresiones de las potencias de p como una suma de dos cuadrados) en una carta a Marin Mersenne fechada el 25 de diciembre de 1640: por esta razón, esta versión del teorema a veces se denomina teorema de Navidad de Fermat.
Demostraciones del teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados
Fermat generalmente no escribió pruebas de sus afirmaciones y no proporcionó una prueba de esta declaración. La primera prueba la encontró Euler después de mucho esfuerzo y se basa en un descenso infinito . Lo anunció en dos cartas a Goldbach , el 6 de mayo de 1747 y el 12 de abril de 1749; publicó la prueba detallada en dos artículos (entre 1752 y 1755). [5] [6] Lagrange dio una prueba en 1775 que se basó en su estudio de las formas cuadráticas . Esta prueba fue simplificada por Gauss en sus Disquisitiones Arithmeticae (art. 182). Dedekind dio al menos dos demostraciones basadas en la aritmética de los enteros gaussianos . Hay una prueba elegante que utiliza el teorema de Minkowski sobre conjuntos convexos. Simplificando una prueba corta anterior debida a Heath-Brown (quien se inspiró en la idea de Liouville ), Zagier presentó una prueba no constructiva de una oración en 1990. [7] Y más recientemente Christopher dio una prueba de la teoría de la partición . [8]
Algoritmo
Wagon presentó un algoritmo para calcular tales descomposiciones en 1990, basado en el trabajo de Serret y Hermite (1848) y Cornacchia (1908). [9]
Resultados relacionados
Fermat anunció dos resultados relacionados catorce años después. En una carta a Blaise Pascal fechada el 25 de septiembre de 1654, anunció los siguientes dos resultados para primos impares:
También escribió:
- Si se multiplican dos primos que terminan en 3 o 7 y sobrepasan en 3 un múltiplo de 4, entonces su producto estará compuesto por un cuadrado y el quíntuplo de otro cuadrado.
En otras palabras, si p, q son de la forma 20 k + 3 o 20 k + 7, entonces pq = x 2 + 5 y 2 . Euler luego extendió esto a la conjetura de que
Tanto la afirmación de Fermat como la conjetura de Euler fueron establecidas por Lagrange.
Ver también
Notas
- ↑ Para una demostración de lo contrario, ver por ejemplo 20.1, Teoremas 367 y 368, en: GH Hardy y EM Wright. Introducción a la teoría de los números, Oxford 1938.
- ^ Simon Stevin . l'Arithmétique de Simon Stevin de Bruges , anotado por Albert Girard, Leyde 1625, p. 622 .
- ^ LE Dickson, Historia de la teoría de los números, vol. II, cap. VIP. 227. "A. Girard ... ya había hecho una determinación de los números expresable como una suma de dos cuadrados integrales: cada cuadrado, cada primo 4n + 1, un producto formado por tales números y el doble de los anteriores"
- ^ LE Dickson, Historia de la teoría de los números, vol. II, cap. VIP. 228.
- ^ De numerus qui sunt aggregata quorum quadratorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 4 (1752/3), 1758, 3-40)
- ↑ Demonstratio teorematis FERMATIANI omnem numerum primum formae 4n + 1 esse summam duorum quadratorum (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5 (1754/5), 1760, 3-13)
- ^ Zagier, D. (1990), "Una prueba de una oración de que cada primo p ≡ 1 (mod 4) es una suma de dos cuadrados", American Mathematical Monthly , 97 (2): 144, doi : 10.2307 / 2323918 , Señor 1041893.
- ^ A. David Christopher. "Una prueba de la teoría de la partición del teorema de los dos cuadrados de Fermat", Discrete Mathematics 339 : 4: 1410–1411 (6 de abril de 2016) doi : 10.1016 / j.disc.2015.12.002
- ^ Wagon, Stan (1990), "Editor's Corner: The Euclidean Algorithm Strikes Again", American Mathematical Monthly , 97 (2): 125, doi : 10.2307 / 2323912 , MR 1041889.
Referencias
- LE Dickson . Historia de la teoría de los números vol. 2. Chelsea Publishing Co., Nueva York 1920
- Aún así, John. Introducción a la teoría de los enteros algebraicos por Richard Dedekind. Biblioteca de la Universidad de Cambridge, Cambridge University Press 1996. ISBN 0-521-56518-9
- DA Cox (1989). Primas de la forma x 2 + ny 2 . Wiley-Interscience. ISBN 0-471-50654-0.