En matemáticas, los polinomios ortogonales clásicos son los más ampliamente utilizados los polinomios ortogonales : los polinomios de Hermite , polinomios de Laguerre , polinomios de Jacobi (incluyendo como un caso especial de los polinomios de Gegenbauer , polinomios de Chebyshev , y polinomios de Legendre [1] ).
Tienen muchas aplicaciones importantes en áreas tales como física matemática (en particular, la teoría de matrices aleatorias ), teoría de aproximación , análisis numérico y muchas otras.
Los polinomios ortogonales clásicos aparecieron a principios del siglo XIX en las obras de Adrien-Marie Legendre , quien introdujo los polinomios de Legendre. A finales del siglo XIX, el estudio de fracciones continuas para resolver el problema del momento por PL Chebyshev y luego AA Markov y TJ Stieltjes llevó a la noción general de polinomios ortogonales.
Para polinomios dados y los polinomios ortogonales clásicos se caracterizan por ser soluciones de la ecuación diferencial
con constantes por determinar .
Hay varias definiciones más generales de polinomios clásicos ortogonales; por ejemplo, Andrews y Askey (1985) usan el término para todos los polinomios en el esquema Askey .
Definición
En general, los polinomios ortogonales con respecto a un peso
Las relaciones anteriores definen hasta la multiplicación por un número. Se utilizan varias normalizaciones para fijar la constante, p. Ej.
Los polinomios ortogonales clásicos corresponden a las tres familias de pesos:
La normalización estándar (también llamada estandarización ) se detalla a continuación.
Polinomios de Jacobi
Para los polinomios de Jacobi están dados por la fórmula
Están normalizados (estandarizados) por
y satisfacer la condición de ortogonalidad
Los polinomios de Jacobi son soluciones a la ecuación diferencial
Casos especiales importantes
Los polinomios de Jacobi con se denominan polinomios de Gegenbauer (con parámetro)
Para , estos se denominan polinomios de Legendre (para los cuales el intervalo de ortogonalidad es [−1, 1] y la función de ponderación es simplemente 1):
Para , se obtienen los polinomios de Chebyshev (del segundo y primer tipo, respectivamente).
Polinomios de Hermite
Los polinomios de Hermite están definidos por [2]
Satisfacen la condición de ortogonalidad
y la ecuación diferencial
Polinomios de Laguerre
Los polinomios de Laguerre generalizados se definen por
(los polinomios clásicos de Laguerre corresponden a .)
Satisfacen la relación de ortogonalidad
y la ecuación diferencial
Ecuación diferencial
Los polinomios ortogonales clásicos surgen de una ecuación diferencial de la forma
donde Q es un polinomio cuadrático (como máximo) dado , y L es un polinomio lineal dado. Se encuentran la función f y la constante λ .
- (Tenga en cuenta que tiene sentido que una ecuación de este tipo tenga una solución polinomial.
- Cada término de la ecuación es un polinomio y los grados son consistentes).
Esta es una ecuación del tipo Sturm-Liouville . Tales ecuaciones generalmente tienen singularidades en sus funciones de solución f excepto para valores particulares de λ . Pueden pensarse en problemas de autovectores / autovalores : siendo D el operador diferencial ,, y cambiando el signo de λ , el problema es encontrar los vectores propios (funciones propias) f, y los valores propios correspondientes λ , de manera que f no tenga singularidades y D ( f ) = λf .
Las soluciones de esta ecuación diferencial tienen singularidades a menos que λ tome valores específicos. Hay una serie de números λ 0 , λ 1 , λ 2 , ... que conducen a una serie de soluciones polinomiales P 0 , P 1 , P 2 , ... si se cumple uno de los siguientes conjuntos de condiciones:
- Q es realmente cuadrático, L es lineal, Q tiene dos raíces reales distintas, la raíz de L se encuentra estrictamente entre las raíces de Q y los términos principales de Q y L tienen el mismo signo.
- Q no es realmente cuadrático, pero es lineal, L es lineal, las raíces de Q y L son diferentes, y los términos principales de Q y L tienen el mismo signo si la raíz de L es menor que la raíz de Q , o viceversa. al revés.
- Q es una constante diferente de cero, L es lineal, y el término principal de la L tiene el signo opuesto de Q .
Estos tres casos conducen a la Jacobi-como , Laguerre-como , y Hermite-como polinomios, respectivamente.
En cada uno de estos tres casos, tenemos lo siguiente:
- Las soluciones son una serie de polinomios P 0 , P 1 , P 2 , ..., cada P n tiene grado n , y corresponde a un número λ n .
- El intervalo de ortogonalidad está limitado por cualquier raíz que tenga Q.
- La raíz de L está dentro del intervalo de ortogonalidad.
- Dejando , los polinomios son ortogonales bajo la función de peso
- W ( x ) no tiene ceros ni infinitos dentro del intervalo, aunque puede tener ceros o infinitos en los puntos finales.
- W ( x ) da un producto interno finito a cualquier polinomio.
- Se puede hacer que W ( x ) sea mayor que 0 en el intervalo. (Niegue toda la ecuación diferencial si es necesario para que Q ( x )> 0 dentro del intervalo).
Debido a la constante de integración, la cantidad R ( x ) se determina solo hasta una constante multiplicativa positiva arbitraria. Se utilizará solo en ecuaciones diferenciales homogéneas (cuando esto no importe) y en la definición de la función de peso (que también puede ser indeterminada). Las tablas siguientes darán los valores "oficiales" de R ( x ) y W ( x ).
Fórmula de Rodrigues
Bajo los supuestos de la sección anterior, P n ( x ) es proporcional a
Esto se conoce como la fórmula de Rodrigues , en honor a Olinde Rodrigues . A menudo esta escrito
donde los números e n dependen de la estandarización. Los valores estándar de e n se darán en las tablas siguientes.
Los números λ n
Bajo los supuestos de la sección anterior, tenemos
(Dado que Q es cuadrático y L es lineal, y son constantes, por lo que estos son solo números).
Segunda forma de la ecuación diferencial
Dejar
Luego
Ahora multiplica la ecuación diferencial
por R / Q , obteniendo
o
Esta es la forma estándar de Sturm-Liouville para la ecuación.
Tercera forma de la ecuación diferencial
Dejar
Luego
Ahora multiplica la ecuación diferencial
por S / Q , obteniendo
o
Pero , entonces
o, dejando u = Sy ,
Fórmulas que involucran derivadas
Bajo los supuestos de la sección anterior, sea P[ r ]
ndenotar la derivada r -ésima de P n . (Ponemos la "r" entre corchetes para evitar confusiones con un exponente). P[ r ]
nes un polinomio de grado n - r . Luego tenemos lo siguiente:
- (ortogonalidad) Para r fijo, la secuencia polinomial P[ r ]
r, P[ r ]
r + 1, P[ r ]
r + 2, ... son ortogonales, ponderadas por . - ( fórmula generalizada de Rodrigues ) P[ r ]
n es proporcional a - (ecuación diferencial) P[ r ]
n es una solución de , donde λ r es la misma función que λ n , es decir, - (ecuación diferencial, segunda forma) P[ r ]
n es una solución de
También hay algunas recurrencias mixtas. En cada uno de estos, los números de una , b , y c dependen de n y r , y no están relacionadas en las distintas fórmulas.
Hay una enorme cantidad de otras fórmulas que involucran polinomios ortogonales de varias formas. Aquí hay una pequeña muestra de ellos, relacionados con los polinomios de Chebyshev, Laguerre y Hermite asociados:
Ortogonalidad
La ecuación diferencial para un λ particular puede escribirse (omitiendo la dependencia explícita de x)
multiplicar por rendimientos
y revertir los rendimientos de los subíndices
restando e integrando:
pero se puede ver que
así que eso:
Si los polinomios f son tales que el término de la izquierda es cero, y por , entonces la relación de ortogonalidad se mantendrá:
por .
Derivación de la ecuación diferencial
Todas las secuencias de polinomios que surgen de la ecuación diferencial anterior son equivalentes, bajo escala y / o desplazamiento del dominio y estandarización de los polinomios, a clases más restringidas. Esas clases restringidas son exactamente "polinomios ortogonales clásicos".
- Cada secuencia polinomial similar a Jacobi puede tener su dominio desplazado y / o escalado de modo que su intervalo de ortogonalidad sea [−1, 1] y tenga Q = 1 - x 2 . Luego se pueden estandarizar en los polinomios de Jacobi . Hay varias subclases importantes de estos: Gegenbauer , Legendre y dos tipos de Chebyshev .
- Cada secuencia polinomial similar a Laguerre puede tener su dominio desplazado, escalado y / o reflejado de modo que su intervalo de ortogonalidad sea y tiene Q = x . Luego se pueden estandarizar en los polinomios de Laguerre asociados . Los polinomios simples de Laguerre son una subclase de estos.
- Cada secuencia polinomial similar a Hermite puede tener su dominio desplazado y / o escalado para que su intervalo de ortogonalidad sea , y tiene Q = 1 y L (0) = 0. Luego se pueden estandarizar en los polinomios de Hermite .
Debido a que todas las secuencias de polinomios que surgen de una ecuación diferencial de la manera descrita anteriormente son trivialmente equivalentes a los polinomios clásicos, siempre se utilizan los polinomios clásicos reales.
Polinomio de Jacobi
Los polinomios tipo Jacobi, una vez que se han cambiado y escalado su dominio para que el intervalo de ortogonalidad sea [−1, 1], todavía tienen dos parámetros por determinar. Ellos son y en los polinomios de Jacobi, escrito . Tenemos y . Ambas cosas y deben ser mayores que -1. (Esto coloca la raíz de L dentro del intervalo de ortogonalidad).
Cuándo y no son iguales, estos polinomios no son simétricos con respecto a x = 0.
La ecuación diferencial
es la ecuación de Jacobi .
Para obtener más detalles, consulte los polinomios de Jacobi .
Polinomios de Gegenbauer
Cuando uno establece los parámetros y en los polinomios de Jacobi iguales entre sí, se obtienen los polinomios de Gegenbauer o ultraesféricos . Estan escritos, y definido como
Tenemos y . El parámetro se requiere que sea mayor que -1/2.
(Por cierto, la estandarización dada en la siguiente tabla no tendría sentido para α = 0 y n ≠ 0, porque establecería los polinomios en cero. En ese caso, la estandarización aceptada establece en lugar del valor dado en la tabla).
Ignorando las consideraciones anteriores, el parámetro está estrechamente relacionado con las derivadas de :
o, de manera más general:
Todos los demás polinomios clásicos tipo Jacobi (Legendre, etc.) son casos especiales de los polinomios de Gegenbauer, obtenidos eligiendo un valor de y elegir una estandarización.
Para obtener más detalles, consulte los polinomios de Gegenbauer .
Polinomios de Legendre
La ecuación diferencial es
Esta es la ecuación de Legendre .
La segunda forma de la ecuación diferencial es:
La relación de recurrencia es
Una recurrencia mixta es
La fórmula de Rodrigues es
Para obtener más detalles, consulte Polinomios de Legendre .
Polinomios de Legendre asociados
Los polinomios asociados de Legendre , denotados dónde y son enteros con , se definen como
La m entre paréntesis (para evitar confusiones con un exponente) es un parámetro. La m entre paréntesis denota la m -ésima derivada del polinomio de Legendre.
Estos "polinomios" están mal nombrados, no son polinomios cuando m es impar.
Tienen una relación de recurrencia:
Para m fijo , la secuencia son ortogonales sobre [−1, 1], con peso 1.
Para dado m , son las soluciones de
Polinomios de Chebyshev
La ecuación diferencial es
Esta es la ecuación de Chebyshev .
La relación de recurrencia es
La fórmula de Rodrigues es
Estos polinomios tienen la propiedad de que, en el intervalo de ortogonalidad,
(Para probarlo, use la fórmula de recurrencia).
Esto significa que todos sus mínimos y máximos locales tienen valores de -1 y +1, es decir, los polinomios son "nivel". Debido a esto, la expansión de funciones en términos de polinomios de Chebyshev a veces se usa para aproximaciones de polinomios en bibliotecas matemáticas de computadora.
Algunos autores utilizan versiones de estos polinomios que se han desplazado para que el intervalo de ortogonalidad sea [0, 1] o [−2, 2].
También hay polinomios de Chebyshev del segundo tipo , denotados
Tenemos:
Para obtener más detalles, incluidas las expresiones de los primeros polinomios, consulte Polinomios de Chebyshev .
Polinomios de Laguerre
Los polinomios tipo Laguerre más generales, después de que el dominio ha sido desplazado y escalado, son los polinomios de Laguerre asociados (también llamados polinomios de Laguerre generalizados), denotados . Hay un parámetro, que puede ser cualquier número real estrictamente mayor que -1. El parámetro se pone entre paréntesis para evitar confusiones con un exponente. Los polinomios de Laguerre simples son simplemente los versión de estos:
La ecuación diferencial es
Esta es la ecuación de Laguerre .
La segunda forma de la ecuación diferencial es
La relación de recurrencia es
La fórmula de Rodrigues es
El parámetro está estrechamente relacionado con las derivadas de :
o, de manera más general:
La ecuación de Laguerre se puede manipular en una forma que sea más útil en aplicaciones:
es una solución de
Esto se puede manipular aún más. Cuándo es un número entero, y :
es una solución de
La solución a menudo se expresa en términos de derivadas en lugar de polinomios de Laguerre asociados:
Esta ecuación surge en mecánica cuántica, en la parte radial de la solución de la ecuación de Schrödinger para un átomo de un electrón.
Los físicos a menudo usan una definición para los polinomios de Laguerre que es más grande, por un factor de , que la definición utilizada aquí.
Para obtener más detalles, incluidas las expresiones de los primeros polinomios, consulte Polinomios de Laguerre .
Polinomios de Hermite
La ecuación diferencial es
Esta es la ecuación de Hermite .
La segunda forma de la ecuación diferencial es
La tercera forma es
La relación de recurrencia es
La fórmula de Rodrigues es
Los primeros polinomios de Hermite son
Se pueden definir las funciones de Hermite asociadas
Debido a que el multiplicador es proporcional a la raíz cuadrada de la función de peso, estas funciones son ortogonales sobre sin función de peso.
La tercera forma de la ecuación diferencial anterior, para las funciones de Hermite asociadas, es
Las funciones de Hermite asociadas surgen en muchas áreas de las matemáticas y la física. En mecánica cuántica, son las soluciones de la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico. También son funciones propias (con valor propio (- i n ) de la transformada de Fourier continua .
Muchos autores, en particular probabilistas, utilizan una definición alternativa de los polinomios de Hermite, con una función de ponderación de en vez de . Si se usa la notación He para estos polinomios de Hermite y H para los anteriores, entonces estos pueden caracterizarse por
Para obtener más detalles, consulte Polinomios de Hermite .
Caracterizaciones de polinomios ortogonales clásicos
Hay varias condiciones que distinguen a los polinomios ortogonales clásicos de los demás.
La primera condición fue encontrada por Sonine (y luego por Hahn), quien demostró que (hasta cambios lineales de variable) los polinomios ortogonales clásicos son los únicos tales que sus derivados son también polinomios ortogonales.
Bochner caracterizó los polinomios ortogonales clásicos en términos de sus relaciones de recurrencia.
Tricomi caracterizó los polinomios ortogonales clásicos como aquellos que tienen un cierto análogo de la fórmula de Rodrigues .
Tabla de polinomios ortogonales clásicos
La siguiente tabla resume las propiedades de los polinomios ortogonales clásicos. [3]
Nombre y símbolo convencional | Chebyshev , | Chebyshev (segundo tipo), | Legendre , | Hermite , |
---|---|---|---|---|
Límites de la ortogonalidad [4] | ||||
Peso, | ||||
Estandarización | Término principal | |||
Cuadrado de norma [5] | ||||
Término principal [6] | ||||
Segundo período, | ||||
Constante en diff. ecuación, | ||||
Constante en la fórmula de Rodrigues, | ||||
Relación de recurrencia, | ||||
Relación de recurrencia, | ||||
Relación de recurrencia, |
Nombre y símbolo convencional | Asociado Laguerre , | Laguerre , |
---|---|---|
Límites de la ortogonalidad | ||
Peso, | ||
Estandarización | Término principal | Término principal |
Cuadrado de norma, | ||
Término principal, | ||
Segundo período, | ||
Constante en diff. ecuación, | ||
Constante en la fórmula de Rodrigues, | ||
Relación de recurrencia, | ||
Relación de recurrencia, | ||
Relación de recurrencia, |
Nombre y símbolo convencional | Gegenbauer , | Jacobi , |
---|---|---|
Límites de la ortogonalidad | ||
Peso, | ||
Estandarización | Si | |
Cuadrado de norma, | ||
Término principal, | ||
Segundo período, | ||
Constante en diff. ecuación, | ||
Constante en la fórmula de Rodrigues, | ||
Relación de recurrencia, | ||
Relación de recurrencia, | ||
Relación de recurrencia, |
Ver también
- Secuencia de appell
- Un esquema clave de polinomios ortogonales hipergeométricos
- Secuencias polinomiales de tipo binomial
- Polinomios biortogonales
- Serie de Fourier generalizada
- Medida secundaria
- Secuencia de Sheffer
- Cálculo umbral
Notas
- ^ Véase Suetin (2001)
- ^ también se utilizan otras convenciones; ver polinomios de Hermite .
- ^ Véase Abramowitz y Stegun (1965)
- ^ Es decir, los bordes del soporte del peso W .
- ^
- ^ El coeficiente principal k n de
Referencias
- Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 22" . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Señor 0167642 . LCCN 65-12253 .
- Andrews, George E .; Askey, Richard (1985). "Polinomios ortogonales clásicos". En Brezinski, C .; Draux, A .; Magnus, Alphonse P .; Maroni, Pascal; Ronveaux, A. (eds.). Polynômes orthogonaux et aplicaciones. Actas del simposio de Laguerre celebrado en Bar-le-Duc, del 15 al 18 de octubre de 1984 . Notas de clase en matemáticas. 1171 . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . págs. 36–62. doi : 10.1007 / BFb0076530 . ISBN 978-3-540-16059-5. Señor 0838970 .
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- Suetin, PK (2001) [1994], "Polinomios ortogonales clásicos" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
- Szegő, Gábor (1939). Polinomios ortogonales . Publicaciones del coloquio. XXIII . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-1023-1. Señor 0372517 .