La controversia del cálculo ( alemán : Prioritätsstreit , "disputa de prioridad") fue una discusión entre los matemáticos Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz sobre quién había inventado primero el cálculo . La cuestión fue una gran controversia intelectual, que comenzó a hervir a fuego lento en 1699 y estalló con toda su fuerza en 1711. Leibniz había publicado su trabajo primero, pero los partidarios de Newton acusaron a Leibniz de plagiar las ideas inéditas de Newton. Leibniz murió en desgracia en 1716 después de que su patrón, el elector Georg Ludwig de Hannover, se convirtiera en el rey Jorge I de Gran Bretaña en 1714. El consenso moderno es que los dos hombres desarrollaron sus ideas de forma independiente.
Newton afirmó haber comenzado a trabajar en una forma de cálculo (que llamó " el método de fluxiones y fluidos ") en 1666, a la edad de 23 años, pero no lo publicó excepto como una anotación menor en la parte posterior de uno de sus libros. Publicaciones décadas más tarde (un manuscrito relevante de Newton de octubre de 1666 se publica ahora entre sus artículos matemáticos [1] ). Gottfried Leibniz comenzó a trabajar en su variante de cálculo en 1674, y en 1684 publicó su primer artículo empleándolo, " Nova Methodus pro Maximis et Minimis ". L'Hôpital publicó un texto sobre el cálculo de Leibniz en 1696 (en el que reconoció que los Principia de Newton de 1687 eran "casi todos sobre este cálculo"). Mientras tanto, Newton, aunque explicó su forma (geométrica) de cálculo en la Sección I del Libro I de los Principia de 1687, [2] no explicó su eventual notación fluxional para el cálculo [3] impresa hasta 1693 (en parte) y 1704 (en su totalidad).
Prioridad científica en el siglo XVII
En el siglo XVII, como en la actualidad, la cuestión de la prioridad científica fue de gran importancia para los científicos. Sin embargo, durante este período, las revistas científicas apenas habían comenzado a aparecer y aún no se había formado el mecanismo generalmente aceptado para fijar la prioridad mediante la publicación de información sobre el descubrimiento. Entre los métodos utilizados por los científicos estaban los anagramas , los sobres sellados colocados en un lugar seguro, la correspondencia con otros científicos o un mensaje privado. Una carta al fundador de la Academia Francesa de Ciencias , Marin Mersenne para un científico francés, o al secretario de la Royal Society of London , Henry Oldenburg para el inglés, tenía prácticamente el estatus de un artículo publicado. El descubridor, además de adquirir fama, se salvó de la necesidad de demostrar que su resultado no se obtuvo mediante el plagio . Además, la importancia práctica podría tener prioridad si estuviera asociada con la invención de nuevos dispositivos técnicos. Una estrategia generalizada de prioridad de ataque consistía en declarar un descubrimiento o invención no como un gran logro, sino solo como una mejora, utilizando técnicas conocidas por todos y, por lo tanto, que no requerían una habilidad considerable de su autor. [4]
Una serie de disputas de alto perfil sobre la prioridad científica del siglo XVII, la era que el historiador de la ciencia estadounidense D. Meli llamó "la edad de oro de las disputas de prioridad que arrojan barro", se asocia con el nombre Leibniz . El primero de ellos ocurrió a principios de 1673, durante su primera visita a Londres, cuando en presencia del célebre matemático John Pell presentó su método de aproximación de series por diferencias . A la observación de Pell de que este descubrimiento ya había sido realizado por François Regnaud y publicado en 1670 en Lyon por Gabriel Mouton , Leibniz respondió al día siguiente. [5] [6] En una carta a Oldenburg, escribió que, después de mirar el libro de Mouton, admite que Pell tenía razón, pero en su defensa, puede proporcionar sus borradores de notas, que contienen matices que Renault y Mouton no encuentran. Así, se comprobó la integridad de Leibniz, pero en este caso, fue recordado más tarde. [7] [8] En la misma visita a Londres, Leibniz estaba en la posición opuesta. El 1 de febrero de 1673, en una reunión de la Royal Society de Londres, hizo una demostración de su calculadora mecánica . El curador de los experimentos de la Sociedad, Robert Hooke , examinó cuidadosamente el dispositivo e incluso quitó la tapa trasera para ello. Unos días después, en ausencia de Leibniz, Hook criticó la máquina del científico alemán, diciendo que podía hacer un modelo más simple. Leibniz, que se enteró de esto, regresó a París y rechazó categóricamente la afirmación de Hooke en una carta a Oldenburg y formuló principios de comportamiento científico correcto: "Sabemos que las personas respetables y modestas lo prefieren cuando piensan en algo que es consistente con lo que alguien ha hecho. otros descubrimientos, atribuyen sus propias mejoras y adiciones al descubridor, para no despertar sospechas de deshonestidad intelectual, y el deseo de verdadera generosidad debe perseguirlos, en lugar de la sed mentirosa de ganancias deshonestas ". Para ilustrar el comportamiento adecuado, Leibniz da un ejemplo de Nicolas-Claude Fabri de Peiresc y Pierre Gassendi , quienes realizaron observaciones astronómicas similares a las realizadas anteriormente por Galileo Galilei y Johannes Hevelius , respectivamente. Al enterarse de que no hicieron sus descubrimientos primero, los científicos franceses transmitieron sus datos a los descubridores. [9]
La aproximación de Newton al problema de las prioridades puede ilustrarse con el ejemplo del descubrimiento de la ley del cuadrado inverso aplicada a la dinámica de los cuerpos que se mueven bajo la influencia de la gravedad . Basado en un análisis de las leyes de Kepler y sus propios cálculos, Robert Hooke asumió que el movimiento en tales condiciones debería ocurrir a lo largo de órbitas similares a las elípticas . Incapaz de probar rigurosamente esta afirmación, se lo comunicó a Newton. Sin entrar más en correspondencia con Hooke, Newton resolvió este problema, así como su inverso, demostrando que la ley de los cuadrados inversos se deriva de la elipticidad de las órbitas. Este descubrimiento fue expuesto en su famosa obra Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica sin indicar el nombre Hooke. Ante la insistencia del astrónomo Edmund Halley , a quien se entregó el manuscrito para su edición y publicación, se incluyó en el texto la frase de que el cumplimiento de la primera ley de Kepler con la ley de los cuadrados inversos fue "aprobado independientemente por Wren , Hooke y Halley. . " [10]
Según el comentario de Vladimir Arnold , Newton, eligiendo entre la negativa a publicar sus descubrimientos y la lucha constante por la prioridad, eligió a ambos. [11]
Fondo
Invención del cálculo diferencial e integral
En la época de Newton y Leibniz, los matemáticos europeos ya habían hecho una contribución significativa a la formación de las ideas del análisis matemático. El holandés Simon Stevin (1548-1620), el italiano Luca Valerio (1553-1618), el alemán Johannes Kepler (1571-1630) participaron en el desarrollo del antiguo " método de agotamiento " para calcular áreas y volúmenes. Las ideas de este último, aparentemente, influyeron - directamente oa través de Galileo Galilei - en el " método de los indivisibles " desarrollado por Bonaventura Cavalieri (1598-1647). [12]
Los últimos años de la vida de Leibniz, 1710-1716, estuvieron amargados por una larga controversia con John Keill , Newton y otros, sobre si Leibniz había descubierto el cálculo independientemente de Newton, o si simplemente había inventado otra notación para ideas que eran fundamentalmente de Newton. . Ningún participante dudó de que Newton ya había desarrollado su método de fluxiones cuando Leibniz comenzó a trabajar en el cálculo diferencial, pero aparentemente no había ninguna prueba más allá de la palabra de Newton. Había publicado un cálculo de una tangente con la nota: "Este es sólo un caso especial de un método general mediante el cual puedo calcular curvas y determinar máximos, mínimos y centros de gravedad". Cómo se hizo esto, le explicó a un alumno 20 años después, cuando los artículos de Leibniz ya estaban bien leídos. Los manuscritos de Newton salieron a la luz solo después de su muerte.
El cálculo infinitesimal puede expresarse en la notación de fluxiones o en la de diferenciales , o, como se señaló anteriormente, también fue expresado por Newton en forma geométrica, como en los Principia de 1687. Newton empleó fluxiones ya en 1666, pero no publicó un relato de su notación hasta 1693. El primer uso de diferenciales en los cuadernos de Leibniz se remonta a 1675. Empleó esta notación en una carta de 1677 a Newton. La notación diferencial también apareció en las memorias de Leibniz de 1684.
La afirmación de que Leibniz inventó el cálculo independientemente de Newton se basa en que Leibniz:
- publicó una descripción de su método algunos años antes de que Newton imprimiera algo sobre fluxiones,
- siempre aludió al descubrimiento como si fuera su propia invención (esta afirmación no fue cuestionada durante algunos años),
- disfrutó de la fuerte presunción de que actuó de buena fe, y
- demostró en sus artículos privados su desarrollo de las ideas del cálculo de una manera independiente del camino tomado por Newton.
Según los detractores de Leibniz, el hecho de que la afirmación de Leibniz no haya sido cuestionada durante algunos años es irrelevante. Para refutar este caso basta con demostrar que él:
- vi algunos de los artículos de Newton sobre el tema en o antes de 1675 o al menos en 1677, y
- Obtuve las ideas fundamentales del cálculo de esos trabajos.
No se intentó refutar el número 4, que no se conocía en ese momento, pero que proporciona la evidencia más sólida de que Leibniz llegó al cálculo independientemente de Newton. Esta evidencia, sin embargo, sigue siendo cuestionable basada en el descubrimiento, en la investigación y después, de que Leibniz retrocedió y cambió los fundamentos de sus notas "originales", no solo en este conflicto intelectual, sino en varios otros. [13] También publicó calumnias "anónimas" de Newton con respecto a su controversia, de las que intentó, inicialmente, afirmar que no era autor. [13]
Sin embargo, si se asume buena fe, sin embargo, las notas de Leibniz tal como se presentaron en la investigación vinieron primero a la integración , que vio como una generalización de la suma de series infinitas, mientras que Newton comenzó a partir de derivadas. Sin embargo, ver el desarrollo del cálculo como algo completamente independiente entre el trabajo de Newton y Leibniz no comprende el hecho de que ambos tenían algún conocimiento de los métodos del otro (aunque Newton desarrolló la mayoría de los fundamentos antes de que comenzara Leibniz) y, de hecho, trabajaron juntos en una pocos aspectos, en particular las series de potencias , como se muestra en una carta a Henry Oldenburg fechada el 24 de octubre de 1676, donde Newton comenta que Leibniz había desarrollado una serie de métodos, uno de los cuales era nuevo para él. [14] Tanto Leibniz como Newton pudieron ver por este intercambio de cartas que el otro estaba muy avanzado en el cálculo (Leibniz en particular lo menciona) pero sólo Leibniz fue empujado a publicarlo.
Siempre había sido probable que Leibniz viera algunos de los manuscritos de Newton. En 1849, CI Gerhardt , mientras repasaba los manuscritos de Leibniz, encontró extractos del De Analysi per Equationes Numero Terminorum Infinitas de Newton (publicado en 1704 como parte del De Quadratura Curvarum pero que también circuló anteriormente entre los matemáticos comenzando con Newton entregando una copia a Isaac Barrow en 1669 y Barrow enviándolo a John Collins [15] ) con la letra de Leibniz, cuya existencia había sido insospechada previamente, junto con notas que reexpresan el contenido de estos extractos en notación diferencial de Leibniz. Por lo tanto, cuándo se hicieron estos extractos se vuelve de suma importancia. Se sabe que se envió una copia del manuscrito de Newton a Ehrenfried Walther von Tschirnhaus en mayo de 1675, época en la que él y Leibniz colaboraban; no es imposible que estos extractos se hicieran entonces. También es posible que se hayan hecho en 1676, cuando Leibniz discutió el análisis por series infinitas con Collins y Oldenburg. Es probable que luego le hubieran mostrado el manuscrito de Newton sobre ese tema, una copia del cual seguramente uno o ambos poseían. Por otro lado, se puede suponer que Leibniz hizo los extractos de la copia impresa en 1704 o después. Poco antes de su muerte, Leibniz admitió en una carta al Abbé Antonio Schinella Conti , que en 1676 Collins le había mostrado algunos de los papeles de Newton. , pero Leibniz también dio a entender que tenían poco o ningún valor. Es de suponer que se refería a las cartas de Newton del 13 de junio y el 24 de octubre de 1676, ya la carta del 10 de diciembre de 1672, sobre el método de las tangentes , extractos de los que acompañaba la carta del 13 de junio.
Si Leibniz hizo uso del manuscrito del que había copiado extractos, o si había inventado previamente el cálculo, son cuestiones sobre las que no se dispone de pruebas directas en la actualidad. Sin embargo, vale la pena señalar que los Documentos de Portsmouth inéditos muestran que cuando Newton examinó cuidadosamente toda la disputa en 1711, eligió este manuscrito como el que probablemente de alguna manera había caído en manos de Leibniz. En ese momento no había evidencia directa de que Leibniz hubiera visto el manuscrito de Newton antes de que fuera impreso en 1704; por tanto, la conjetura de Newton no se publicó. Pero el descubrimiento de Gerhardt de una copia hecha por Leibniz tiende a confirmar su precisión. Quienes cuestionan la buena fe de Leibniz alegan que para un hombre de su capacidad, el manuscrito, sobre todo si se complementa con la carta del 10 de diciembre de 1672, bastaba para darle una pista sobre los métodos del cálculo. Dado que el trabajo de Newton en cuestión sí empleó la notación fluxional, cualquiera que se basara en ese trabajo tendría que inventar una notación, pero algunos lo niegan.
Desarrollo
La pelea fue un asunto retrospectivo. En 1696, ya algunos años después de los eventos que se convirtieron en el tema de la disputa, la posición todavía parecía potencialmente pacífica: Newton y Leibniz habían hecho cada uno un reconocimiento limitado del trabajo del otro, y el libro de L'Hôpital de 1696 sobre el cálculo de un leibniziano. El punto de vista también había reconocido el trabajo publicado de Newton de la década de 1680 como "casi todo acerca de este cálculo" (" presque tout de ce calcul "), mientras expresaba preferencia por la conveniencia de la notación de Leibniz . [3]
Al principio, no había motivos para sospechar de la buena fe de Leibniz. En 1699, Nicolas Fatio de Duillier , un matemático suizo conocido por su trabajo sobre el problema de la luz zodiacal, acusó públicamente a Leibniz de plagiar a Newton, [16] aunque en privado había acusado a Leibniz de plagio dos veces en cartas a Christiaan Huygens en 1692 [17]. ] No fue hasta la publicación de 1704 de una revisión anónima del tratado de Newton sobre cuadratura , una revisión que implica que Newton había tomado prestada la idea del cálculo fluxional de Leibniz, que cualquier matemático responsable dudó que Leibniz hubiera inventado el cálculo independientemente de Newton. Con respecto a la revisión del trabajo en cuadratura de Newton, todos admiten que no hubo justificación ni autoridad para las afirmaciones hechas en el mismo, que fueron justamente atribuidas a Leibniz. Pero la discusión posterior condujo a un examen crítico de toda la cuestión y surgieron dudas. ¿Leibniz había derivado la idea fundamental del cálculo de Newton? El caso contra Leibniz, como les pareció a los amigos de Newton, se resumió en el Commercium Epistolicum de 1712, que hacía referencia a todas las acusaciones. Este documento fue elaborado minuciosamente por Newton.
Sus amigos no emitieron tal resumen (con hechos, fechas y referencias) del caso de Leibniz; pero Johann Bernoulli intentó debilitar indirectamente la evidencia atacando el carácter personal de Newton en una carta fechada el 7 de junio de 1713. Cuando se le pidió una explicación, Bernoulli negó solemnemente haber escrito la carta. Al aceptar la negación, Newton agregó en una carta privada a Bernoulli las siguientes observaciones, las razones alegadas por Newton de por qué participó en la controversia. Dijo: "Nunca me he aferrado a la fama entre las naciones extranjeras, pero estoy muy deseoso de preservar mi carácter por la honestidad, que el autor de esa epístola, como por la autoridad de un gran juez, se había esforzado por arrebatarme". Ahora que soy viejo, me gustan poco los estudios matemáticos y nunca he intentado difundir mis opiniones por el mundo, pero me he cuidado de no involucrarme en disputas a causa de ellas ".
Leibniz explicó su silencio de la siguiente manera, en una carta a Conti fechada el 9 de abril de 1716:
Para responder punto por punto a todo el trabajo publicado en mi contra, tendría que entrar en muchas minucias que ocurrieron hace treinta, cuarenta años, de las que recuerdo poco: tendría que registrar mis viejas cartas, de las cuales muchas son perdió. Además, en la mayoría de los casos, no guardé una copia, y cuando la hice, la copia está enterrada en un gran montón de papeles, que solo pude revisar con tiempo y paciencia. He disfrutado de poco tiempo libre, últimamente tan agobiado por ocupaciones de una naturaleza totalmente diferente.
Si bien la muerte de Leibniz detuvo temporalmente la controversia, el debate se prolongó durante muchos años.
Para los partidarios acérrimos de Newton, este fue un caso de la palabra de Leibniz contra una serie de detalles contrarios y sospechosos. Su posesión no reconocida de una copia de parte de uno de los manuscritos de Newton puede ser explicable; pero parece que en más de una ocasión, Leibniz alteró o añadió deliberadamente a documentos importantes (por ejemplo, la carta del 7 de junio de 1713 en la Charta Volans , y la del 8 de abril de 1716 en el Acta Eruditorum ), antes de publicarlos, y falsificó una fecha en un manuscrito (1675 se modificó a 1673). Todo esto arroja dudas sobre su testimonio.
Teniendo en cuenta la destreza intelectual de Leibniz, como lo demostraron sus otros logros, tenía más de la capacidad necesaria para inventar el cálculo. Lo que supuestamente recibió fue una serie de sugerencias en lugar de un relato de cálculo; es posible, dado que no publicó sus resultados de 1677 hasta 1684 y dado que la notación diferencial fue su invención, que Leibniz minimizara, 30 años después, cualquier beneficio que pudiera haber disfrutado de la lectura del manuscrito de Newton. Además, puede haber visto la cuestión de quién originó el cálculo como inmaterial cuando se compara con el poder expresivo de su notación.
En cualquier caso, un sesgo a favor de Newton manchó todo el asunto desde el principio. La Royal Society , de la que Isaac Newton era presidente en ese momento, estableció un comité para pronunciarse sobre la disputa de prioridad, en respuesta a una carta que había recibido de Leibniz. Ese comité nunca le pidió a Leibniz que diera su versión de los hechos. El informe del comité, que falló a favor de Newton, fue escrito y publicado como "Commercium Epistolicum" (mencionado anteriormente) por Newton a principios de 1713. Pero Leibniz no lo vio hasta el otoño de 1714.
La opinión predominante en el siglo XVIII estaba en contra de Leibniz (en Gran Bretaña, no en el mundo de habla alemana). Hoy en día, el consenso es que Leibniz y Newton inventaron y describieron de forma independiente el cálculo en Europa en el siglo XVII.
Sin duda, fue Isaac Newton quien ideó por primera vez un nuevo cálculo infinitesimal y lo elaboró en un algoritmo ampliamente extensible, cuyas potencialidades comprendió plenamente; De igual certeza, cálculo diferencial e integral, la fuente de grandes desarrollos que fluyen continuamente desde 1684 hasta la actualidad, fue creado independientemente por Gottfried Leibniz.
- Salón 1980: 1
Un autor ha identificado la disputa como relacionada con métodos "profundamente diferentes":
A pesar de ... puntos de semejanza, los métodos [de Newton y Leibniz] son profundamente diferentes, por lo que la fila de prioridad es una tontería.
- Grattan-Guinness 1997: 247
Por otro lado, otros autores han enfatizado las equivalencias y la traducibilidad mutua de los métodos: aquí N Guicciardini (2003) parece confirmar L'Hôpital (1696) (ya citado):
las escuelas newtoniana y leibniziana compartían un método matemático común. Adoptaron dos algoritmos, el método analítico de fluxiones y el cálculo diferencial e integral, que eran traducibles uno al otro.
- Guicciardini 2003, en la página 250 [18]
Referencias en ficción
La controversia del cálculo es un tema importante en el conjunto de novelas históricas de Neal Stephenson The Baroque Cycle (2003-04).
La naturaleza antagónica de la disputa juega un papel en la serie de historia alternativa steampunk de Greg Keyes , The Age of Unreason .
Mencionado brevemente por Walter Bishop en el episodio de la temporada 1 de Fringe , titulado " The Equation ".
En realidad, no es tan sorprendente. Las mentes curiosas a menudo convergen en la misma idea. Newton y Leibniz de forma independiente, sin conocerse, inventaron el cálculo. La pregunta relevante es ¿qué es?
La controversia se menciona en la entrada de la temporada 3 de Epic Rap Battles of History con Isaac Newton (interpretado por "Weird Al" Yankovic ) realizando una batalla de rap contra Bill Nye ( Nice Peter ) y Neil deGrasse Tyson ( Chali 2na ). Tyson ofrece una línea de rap que dice que Newton estaba ocupado "clavando puñales en Leibniz".
En un episodio de The Big Bang Theory [ ¿cuál? ] , Leonard es acusado de no querer el busto de Isaac Newton en la parte superior del árbol de Navidad de Sheldon, diciendo que es porque es un hombre de Leibniz.
Ver también
- Posibilidad de transmisión de los resultados de la escuela de Kerala a Europa
- Lista de controversias de prioridad científica
Referencias
- ^ DT Whiteside (editor), The Mathematical Papers of Isaac Newton (Volumen 1), (Cambridge University Press, 1967), parte 7 "The October 1666 Tract on Fluxions", en la página 400, en la reimpresión de 2008 .
- ↑ Sección I del Libro I de los Principia , que explica "el método de la primera y la última proporción", una forma geométrica de cálculo infinitesimal, como se reconoce tanto en la época de Newton como en la época moderna; véanse las citas de L'Hospital (1696), Truesdell (1968) y Whiteside (1970) - está disponible en línea en su traducción al inglés de 1729, en la página 41 .
- ↑ a b Palabras originales del Marqués de l'Hôpital sobre los 'Principia': "lequel est presque tout de ce calcul": véase el prefacio de su Analyse des Infiniment Petits (París, 1696). Los Principia han sido llamados "un libro denso con la teoría y la aplicación del cálculo infinitesimal" también en los tiempos modernos: ver Clifford Truesdell, Essays in the History of Mechanics (Berlín, 1968), p. 99; para una visión similar de otro estudioso moderno, véase también Whiteside, DT (1970). "Los principios matemáticos que subyacen a los Principia Mathematica de Newton". Revista de Historia de la Astronomía . 1 (2): 116-138, especialmente en la p. 120. Código bibliográfico : 1970JHA ..... 1..116W . doi : 10.1177 / 002182867000100203 .
- ^ Meli DB (1993). Equivalencia y prioridad: Newton versus Leibniz: incluidos los manuscritos inéditos de Leibniz sobre los Principia . Prensa de Clarendon. pag. 4. ISBN 0-19-850143-9.
- ^ http://www.math.rutgers.edu/courses/436/Honors02/leibniz.html
- ^ Nicholas Jolley, Leibniz (2005), p. 17.
- ↑ El informe de Oldenburg sobre este incidente está contenido en los artículos de Newton, pero no se sabe si le dio importancia.
- ↑ Hall 1980 , p. 55.
- ^ Meli 1993 , págs. 5-6.
- ^ Арнольд 1989 , págs. 16-20.
- ↑ Арнольд 1989 , p. 33.
- ^ Boyer , 1949 , págs. 99-112.
- ^ a b Blank, Brian E. (mayo de 2009). "Las guerras del cálculo revisadas por Brian E. Blank" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 56 (5): 602–610.
- ↑ El manuscrito, escrito principalmente en latín, está numerado Add. 3977,4; está contenido en la biblioteca de la Universidad de Cambridge. Consulte esta página para obtener más detalles.
- ^ Gjertsen, D. (1986). El manual de Newton . Londres: Routledge & Kegan Paul . pag. 149.
- ↑ GV Coyne, p. 112; Rupert Hall, Philosophers at War, páginas 106–107; David Brewster, La vida de Sir Isaac Newton, pág. 185
- ^ M. Palomo, pág. 32; Palomo, Miguel (2021), New Insight Into the Origins of the Calculus War, Annals of Science 78: 1, páginas 22–40 https://doi.org/10.1080/00033790.2020.1794038
- ^ Niccolò Guicciardini, "Lectura de los Principia: El debate sobre los métodos matemáticos de Newton para la filosofía natural de 1687 a 1736", (Cambridge University Press, 2003), en la página 250 .
- Este artículo incorpora texto de una publicación que ahora es de dominio público : Bola, WW Rouse (1908). Una breve reseña de la historia de las matemáticas . Nueva York: MacMillan.
Fuentes
- WW Rouse Ball (1908) Breve descripción de la historia de las matemáticas ], 4ª ed.
- Richard C.Brown (2012) Orígenes enredados del cálculo leibnitziano: un estudio de caso de revolución matemática , World ScientificISBN 9789814390804
- Ivor Grattan-Guinness (1997) La historia de Norton de las ciencias matemáticas . WW Norton .
- Hall, AR (1980) Filósofos en guerra: La pelea entre Newton y Gottfried Leibniz . Prensa de la Universidad de Cambridge .
- Stephen Hawking (1988) Una breve historia del tiempo desde el Big Bang hasta los agujeros negros. Libros Bantam .
- Kandaswamy, Anand. El conflicto Newton / Leibniz en contexto .
- Hall, AR (1980). Filósofos en guerra: la disputa entre Newton y Leibniz . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 356. ISBN 0521 22732 1.
- Meli, DB (1993). Equivalencia y prioridad: Newton versus Leibniz: incluidos los manuscritos inéditos de Leibniz sobre los Principia . Prensa de Clarendon. pag. 318. ISBN 0-19-850143-9.
- Арнольд, В. И. (1989). Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук - Первые шаги математического анализа и теории катастроф . М .: Наука . pag. 98. ISBN 5-02-013935-1.
- Arnold, Vladimir (1990). Huygens y Barrow, Newton y Hooke: pioneros en el análisis matemático y la teoría de catástrofes desde los evolucionados hasta los cuasicristales . Traducido por Primrose, Eric JF Birkhäuser Verlag . ISBN 3-7643-2383-3.
- Boyer, CB (1949). La Historia del Cálculo y su desarrollo conceptual . Publicaciones de Dover, inc.
enlaces externos
- Gottfried Wilhelm Leibniz, Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe VII: Mathematische Schriften, vol. 5: Infinitesimalmathematik 1674-1676 , Berlín: Akademie Verlag, 2008, págs. 288-295 ("Analyseos tetragonisticae pars secunda", 29 de octubre de 1675) y 321-331 ("Methodi tangentium inversae exempla", 11 de noviembre de 1675).
- Gottfried Wilhelm Leibniz, "Nova Methodus pro Maximis et Minimis ...", 1684 (original en latín) (traducción al inglés)
- Isaac Newton, "Newton's Waste Book (Part 3) (Normalized Version)": entrada del 16 de mayo de 1666 (The Newton Project)
- Isaac Newton, "De Analysi per Equationes Numero Terminorum Infinitas (De la cuadratura de curvas y análisis por ecuaciones de un número infinito de términos)" , en: Dos tratados de Sir Isaac Newton , James Bettenham, 1745.