En la teoría algebraica de números , la conjetura de Leopoldt , introducida por H.-W. Leopoldt ( 1962 , 1975 ), afirma que el regulador p-ádico de un campo numérico no desaparece. El regulador p-ádico es un análogo del regulador habitual definido usando logaritmos p-ádicos en lugar de los logaritmos habituales, introducido por H.-W. Leopoldt ( 1962 ).
Leopoldt propuso una definición de un regulador p-ádico R p unido a K y un número primo p . La definición de R p utiliza un determinante apropiado con entradas del logaritmo p-ádico de un conjunto generador de unidades de K (hasta la torsión), a la manera del regulador habitual. La conjetura, que para el general K todavía está abierta a partir de 2009 [actualizar], surge como la afirmación de que R p no es cero.
Formulación
Deje que K sea un campo de número y para cada primer P de K por encima de algún fija racional prime p , deja U P denotan las unidades locales en P y dejar U 1, P denota el subgrupo de unidades principales en U P . Colocar
A continuación, dejar que E 1 denotar el conjunto de unidades globales varepsilon ese mapa a T 1 a través de la incrustación en diagonal de las unidades globales en E .
Desde es un subgrupo de índice finito de las unidades globales, es un grupo abeliano de rango, dónde es el número de incrustaciones reales de y el número de pares de incrustaciones complejas. La conjetura de Leopoldt establece que el-módulo de rango del cierre de incrustado diagonalmente en es también
La conjetura de Leopoldt se conoce en el caso especial donde es una extensión abeliana deo una extensión abeliana de un campo numérico cuadrático imaginario : Ax (1965) redujo el caso abeliano a una versión p-ádica del teorema de Baker , que fue probado poco después por Brumer (1967) . Mihăilescu ( 2009 , 2011 ) ha anunciado una prueba de la conjetura de Leopoldt para todas las extensiones de CM de.
Colmez ( 1988 ) expresó el residuo de la función zeta p -ádica de Dedekind de un campo totalmente real en s = 1 en términos del regulador p -ádico. Como consecuencia, la conjetura de Leopoldt para esos campos es equivalente a sus funciones zeta p -ádicas de Dedekind que tienen un polo simple en s = 1.
Referencias
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- Brumer, Armand (1967), "Sobre las unidades de los campos numéricos algebraicos", Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics , 14 (2): 121-124, doi : 10.1112 / S0025579300003703 , ISSN 0025-5793 , MR 0220694 , Zbl 0171.01105
- Colmez, Pierre (1988), "Résidu en s = 1 des fonctions zêta p-adiques", Inventiones Mathematicae , 91 (2): 371–389, Bibcode : 1988InMat..91..371C , doi : 10.1007 / BF01389373 , ISSN 0020-9910 , MR 0922806 , Zbl 0.651,12010
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- Leopoldt, HW (1975), "Eine p-adische Theorie der Zetawerte II", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1975 (274/275): 224-239, doi : 10.1515 / crll.1975.274-275.224 , Zbl 0309.12009.
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