Método de ajuste de nivel

Los métodos de conjuntos de niveles ( LSM ) son un marco conceptual para usar conjuntos de niveles como una herramienta para el análisis numérico de superficies y formas . La ventaja del modelo de conjunto de niveles es que se pueden realizar cálculos numéricos que involucran curvas y superficies en una cuadrícula cartesiana fija sin tener que parametrizar estos objetos (esto se denomina enfoque euleriano ). ^[1] Además, el método de conjunto de niveles hace que sea muy fácil seguir formas que cambian la topología., por ejemplo, cuando una forma se divide en dos, desarrolla agujeros o al revés de estas operaciones. Todo esto hace que el método de ajuste de nivel sea una gran herramienta para modelar objetos que varían en el tiempo, como el inflado de una bolsa de aire o una gota de aceite flotando en el agua.

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Archivo: Levelset-mean-curvature-spiral.ogv

Reproducir medios

Video de la propagación de la espiral por conjuntos de niveles ( flujo de curvatura ) en 2D. LHS muestra una solución de nivel cero. RHS muestra el campo escalar de nivel establecido.

Una ilustración del método de conjunto de niveles

La figura de la derecha ilustra varias ideas importantes sobre el método de conjunto de niveles. En la esquina superior izquierda vemos una forma; es decir, una región delimitada con un límite de buen comportamiento. Debajo, la superficie roja es el gráfico de una función de conjunto de niveles. ${\ Displaystyle \ varphi}$ determinando esta forma, y la región azul plana representa el plano xy . El límite de la forma es entonces el conjunto de nivel cero de ${\ Displaystyle \ varphi}$ , mientras que la forma en sí es el conjunto de puntos en el plano para los que ${\ Displaystyle \ varphi}$ es positivo (interior de la forma) o cero (en el límite).

En la fila superior vemos que la forma cambia su topología al dividirse en dos. Sería bastante difícil describir esta transformación numéricamente parametrizando el límite de la forma y siguiendo su evolución. Se necesitaría un algoritmo capaz de detectar el momento en que la forma se divide en dos y luego construir parametrizaciones para las dos curvas recién obtenidas. Por otro lado, si miramos la fila inferior, vemos que la función de conjunto de niveles simplemente se traduce hacia abajo. Este es un ejemplo de cuándo puede ser mucho más fácil trabajar con una forma a través de su función de conjunto de niveles que con la forma directamente, donde el uso de la forma directamente necesitaría considerar y manejar todas las posibles deformaciones que podría sufrir la forma.

Por lo tanto, en dos dimensiones, el método de conjunto de niveles equivale a representar una curva cerrada ${\ Displaystyle \ Gamma}$ (como el límite de forma en nuestro ejemplo) usando una función auxiliar ${\ Displaystyle \ varphi}$ , llamada función de conjunto de niveles. ${\ Displaystyle \ Gamma}$ se representa como el conjunto de nivel cero de ${\ Displaystyle \ varphi}$ por

{\ Displaystyle \ Gamma = \ {(x, y) \ mid \ varphi (x, y) = 0 \},}

y el método de conjunto de niveles manipula ${\ Displaystyle \ Gamma}$ implícitamente , a través de la función ${\ Displaystyle \ varphi}$ . Esta función ${\ Displaystyle \ varphi}$ se supone que toma valores positivos dentro de la región delimitada por la curva ${\ Displaystyle \ Gamma}$ y valores negativos en el exterior. ^[2]^[3]

La ecuación de nivel

Si la curva ${\ Displaystyle \ Gamma}$ se mueve en la dirección normal con una velocidad ${\ Displaystyle v}$ , luego la función de ajuste de nivel ${\ Displaystyle \ varphi}$ satisface la ecuación de conjunto de niveles

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ varphi} {\ parcial t}} = v | \ nabla \ varphi |.}

Aquí, ${\ Displaystyle | \ cdot |}$ es la norma euclidiana (denotada habitualmente por barras simples en PDE), y ${\ Displaystyle t}$ es hora. Esta es una ecuación diferencial parcial , en particular una ecuación de Hamilton-Jacobi , y se puede resolver numéricamente, por ejemplo, utilizando diferencias finitas en una cuadrícula cartesiana. ^[2]^[3]

Sin embargo, la solución numérica de la ecuación de conjunto de niveles requiere técnicas sofisticadas. Los métodos simples de diferencias finitas fallan rápidamente. Los métodos ascendentes , como el método Godunov , obtienen mejores resultados; sin embargo, el método de nivel establecido no garantiza la conservación del volumen y la forma del nivel establecido en un campo de advección que conserva la forma y el tamaño, por ejemplo, un campo de velocidad uniforme o de rotación. En cambio, la forma del nivel establecido puede distorsionarse severamente y el nivel establecido puede desaparecer en varios pasos de tiempo. Por esta razón, generalmente se requieren esquemas de diferencias finitas de alto orden, como esquemas esencialmente no oscilatorios (ENO) de alto orden , e incluso entonces la viabilidad de las simulaciones a largo plazo es cuestionable. Se han desarrollado otros métodos sofisticados para hacer frente a esta dificultad, por ejemplo, combinaciones del método de ajuste de nivel con partículas marcadoras de rastreo advectadas por el campo de velocidad. ^[4]

Ejemplo

Considere un círculo unitario en ${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ , encogiéndose sobre sí mismo a una velocidad constante, es decir, cada punto en el límite del círculo se mueve a lo largo de su normal que apunta hacia adentro a una velocidad fija. El círculo se encogerá y eventualmente colapsará hasta un punto. Si se construye un campo de distancia inicial (es decir, una función cuyo valor es la distancia euclidiana con signo al límite, interior positivo, exterior negativo) en el círculo inicial, el gradiente normalizado de este campo será el círculo normal.

Si el campo tiene un valor constante restado en el tiempo, el nivel cero (que era el límite inicial) de los nuevos campos también será circular y se colapsará de manera similar en un punto. Esto se debe a que es efectivamente la integración temporal de la ecuación de Eikonal con una velocidad frontal fija.

En combustión , este método se utiliza para describir la superficie de la llama instantánea, conocida como la ecuación G .

Historia

El método de conjunto de niveles fue desarrollado en 1979 por Alain Dervieux, ^[5] y posteriormente popularizado por Stanley Osher y James Sethian . Se ha vuelto popular en muchas disciplinas, como procesamiento de imágenes , gráficos por computadora , geometría computacional , optimización , dinámica de fluidos computacional y biología computacional .

Se han desarrollado varias estructuras de datos de conjuntos de niveles para facilitar el uso del método de conjuntos de niveles en aplicaciones informáticas.

Aplicaciones

Dinámica de fluidos computacional
Combustión
Planificación de trayectoria
Mejoramiento
Procesamiento de imágenes
Biofísica computacional

Dinámica de fluidos computacional

Para ejecutar un modelo matemático en la interfaz de dos fluidos diferentes, necesitamos suavizar las interacciones entre los fluidos. Por lo tanto, necesitamos aplicar una función específica: Método de ajuste de nivel compacto.

Como un "derivado", el CompactLSM es un complemento del LSM, que ayuda a resolver las ecuaciones del LSM. Se puede utilizar en simulación numérica de flujo, por ejemplo, si estamos trabajando con discretización de la interfaz agua-aire, compacta a sexto orden, asegura el cálculo preciso y rápido de las ecuaciones de la interfaz (Monteiro 2018).

El LSM utiliza una función de distancia para localizar diferentes fluidos. Una función de distancia es aquella cuyo valor representa la menor distancia desde el punto donde se está analizando hasta la interfaz. Esta función de distancia se identifica mediante isolíneas (2D) o isosuperficies (3D), mostrando que los valores negativos se refieren a uno de los fluidos, los valores positivos se refieren al otro y el valor cero corresponde a la posición de la interfaz.

Pero, ¿cómo funciona Heaviside si se inserta en el método de configuración de nivel compacto?

Dado que la masa y la viscosidad específicas son discontinuas en la interfaz, se esperan tanto problemas de difusión excesiva (ensanchamiento de la interfaz) como oscilaciones numéricas si no hay un tratamiento adecuado del fluido cerca de la interfaz. Para minimizar estos problemas, el método Level Set utiliza una función Heaviside suave relacionada con la celda que define explícitamente la posición de la interfaz (∅ = 0).

La transición en la interfaz se mantiene suave, pero con un grosor del orden de magnitud del tamaño de la celda, para evitar la introducción de perturbaciones con una escala de longitud igual a la de la malla, ya que la interfaz infiere una propiedad de salto brusco de uno. celda a la siguiente (Unverdi y Tryggvason, 1992). Para reconstruir las propiedades del material del flujo, como la masa y la viscosidad específicas, se utiliza otra función marcadora, I (∅), del tipo Heaviside:

{\ Displaystyle I (\ varphi) = {\ begin {cases} 0, & {\ text {if}} \ varphi <- \ delta \ Delta \\ [8pt] {\ dfrac {1} {2}} \ left [1 + {\ dfrac {\ varphi} {\ delta \ Delta}} + {\ dfrac {1} {\ pi}} \ sin \ left ({\ dfrac {\ pi \ varphi} {\ delta \ Delta}} \ right) \ right], & {\ text {if}} | \ varphi | \ leq \ delta \ Delta \\ [8pt] 1, & {\ text {if}} \ varphi> \ delta \ Delta \ end { casos}}}

( 1 )

donde δ es un coeficiente empírico, generalmente igual a 1; 5 y Δ es la discretización característica del problema, que varía según el fenómeno a simular. El valor de δ representa una interfaz con un grosor de tres celdas y, por tanto, δ Δ representa la mitad del grosor de la interfaz. Tenga en cuenta que en este método, la interfaz tiene un grosor virtual, ya que está representado por una función suave. Las propiedades físicas, como la masa específica y la viscosidad cinemática, se calculan como:

{\ Displaystyle \ rho = (1-I) \ rho _ {1} + I \ rho _ {2} \ qquad e \ qquad v = (1-I) v_ {1} + Iv_ {2}}

( 2 )

donde ρ ₁ , ρ ₂ , v ₁ y v ₂ son la masa específica y la viscosidad cinemática de los fluidos 1 y 2. La ecuación 2 se puede aplicar de manera análoga a las otras propiedades de los fluidos.

Ver también

Rayas de cebra (gráficos por computadora)
Ecuación G
Biblioteca de simulación avanzada
Método de volumen de fluido
Segmentación de imágenes # métodos de conjunto de niveles
Método de límite sumergido
Método estocástico euleriano lagrangiano
Método de conjunto de niveles LSM / J para dibujar planos dinámicos
Método de ajuste de nivel LSM / M para dibujar el plano de parámetros
Conjunto de niveles (estructuras de datos)
VISPACK

Referencias

^ Osher, S .; Sethian, JA (1988), "Frentes que se propagan con velocidad dependiente de la curvatura: algoritmos basados en formulaciones de Hamilton-Jacobi" (PDF) , J. Comput. Phys. , 79 (1): 12–49, Bibcode : 1988JCoPh..79 ... 12O , CiteSeerX 10.1.1.46.1266 , doi : 10.1016 / 0021-9991 (88) 90002-2 , hdl : 10338.dmlcz / 144762
^ a b Osher, Stanley J .; Fedkiw, Ronald P. (2002). Métodos de conjunto de niveles y superficies dinámicas implícitas . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95482-0.
^ a b Sethian, James A. (1999). Métodos de conjunto de niveles y métodos de marcha rápida: interfaces en evolución en geometría computacional, mecánica de fluidos, visión por computadora y ciencia de materiales . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-64557-7.
^ Enright, D .; Fedkiw, RP; Ferziger, JH ; Mitchell, I. (2002), "Un método de conjunto de niveles de partículas híbridas para una captura de interfaz mejorada" (PDF) , J. Comput. Phys. , 183 (1): 83–116, Bibcode : 2002JCoPh.183 ... 83E , CiteSeerX 10.1.1.15.910 , doi : 10.1006 / jcph.2002.7166
^ F. Thomasset, A. Dervieux, Un método de elementos finitos para la simulación de una inestabilidad de Rayleigh-Taylor, Lectures Notes in Mathematics, Vol.771, 145-158 (1979)

enlaces externos

Ver Ronald Fedkiw 's página Web académica para muchas fotos impresionantes y animaciones que muestran cómo el nivel de conjunto método se puede utilizar para fenómenos modelo de la vida real, como el fuego, el agua, tela, materiales de fracturación, etc.
Multivac es una biblioteca de C ++ para el seguimiento frontal en 2D con métodos de conjunto de niveles.
James Sethian 's página Web de nivel de conjunto método.
Stanley Osher 's página de inicio .

[1] Osher, S .; Sethian, JA (1988), "Frentes que se propagan con velocidad dependiente de la curvatura: algoritmos basados en formulaciones de Hamilton-Jacobi" (PDF) , J. Comput. Phys. , 79 (1): 12–49, Bibcode : 1988JCoPh..79 ... 12O , CiteSeerX 10.1.1.46.1266 , doi : 10.1016 / 0021-9991 (88) 90002-2 , hdl : 10338.dmlcz / 144762

[osher-2] Osher, Stanley J .; Fedkiw, Ronald P. (2002). Métodos de conjunto de niveles y superficies dinámicas implícitas . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95482-0.

[sethian-3] Sethian, James A. (1999). Métodos de conjunto de niveles y métodos de marcha rápida: interfaces en evolución en geometría computacional, mecánica de fluidos, visión por computadora y ciencia de materiales . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-64557-7.

[4] Enright, D .; Fedkiw, RP; Ferziger, JH ; Mitchell, I. (2002), "Un método de conjunto de niveles de partículas híbridas para una captura de interfaz mejorada" (PDF) , J. Comput. Phys. , 183 (1): 83–116, Bibcode : 2002JCoPh.183 ... 83E , CiteSeerX 10.1.1.15.910 , doi : 10.1006 / jcph.2002.7166

[5] F. Thomasset, A. Dervieux, Un método de elementos finitos para la simulación de una inestabilidad de Rayleigh-Taylor, Lectures Notes in Mathematics, Vol.771, 145-158 (1979)

[1]