En matemáticas , un grupoide de Lie es un grupo donde el conjuntode los objetos y el conjuntode morfismos son múltiples , todas las operaciones de categoría (origen y destino, composición, mapa de asignación de identidad e inversión) son suaves, y las operaciones de origen y destino
son inmersiones .
Por tanto, un grupoide de Lie puede considerarse como una "generalización de muchos objetos" de un grupo de Lie , al igual que un grupo de Lie es una generalización de muchos objetos de un grupo . En consecuencia, mientras que los grupos de Lie proporcionan un modelo natural para las simetrías continuas (clásicas) , los grupos de Lie se utilizan a menudo como modelo para (y surgen de) simetrías generalizadas dependientes de puntos. Extendiendo la correspondencia entre los grupos de Lie y las álgebras de Lie, los grupos de Lie son las contrapartes globales de los álgebroides de Lie .
Los grupoides de Lie han sido introducidos por Charles Ehresmann [1] [2] bajo el nombre de groupoides diferenciables .
Definición y conceptos básicos
Un grupo de mentiras consiste en
- dos colectores lisos y
- dos inmersiones sobreyectivas (llamadas, respectivamente, proyecciones de origen y destino )
- un mapa (llamado mapa de multiplicación o composición), donde usamos la notación
- un mapa (llamado mapa de unidades o mapa de inclusión de objetos), donde usamos la notación
- un mapa (llamado inversión ), donde usamos la notación
tal que
- la composición satisface y para cada para el que se define la composición
- la composición es asociativa, es decir para cada para el que se define la composición
- u funciona como una unidad, es decir para cada y y para cada
- yo funciona como un inverso, es decir y para cada .
Usando el lenguaje de la teoría de categorías , un grupoide de Lie puede definirse de manera más compacta como un grupoide (es decir, una categoría pequeña donde todos los morfismos son invertibles) de modo que los conjuntos de objetos y de morfismos son múltiples, los mapas , , , y son suaves y y son inmersiones.
Los grupoides de mentira a menudo se denotan por , donde las dos flechas representan la fuente y el destino. La notación También se utiliza con frecuencia, especialmente cuando se enfatiza la estructura categórica (y simplicial).
Definiciones alternativas
La definición original de Ehresmann requería y poseer una estructura suave tal que sólo es suave y los mapas y son inmersiones (es decir, tienen rango localmente constante). Dicha definición resultó ser demasiado débil y fue reemplazada por Pradines con la que se usa actualmente. [3]
Si bien algunos autores [4] introdujeron definiciones más débiles que no requerían y Al tratarse de inmersiones, estas propiedades son fundamentales para desarrollar toda la teoría de Lie de los grupoides y algebroides.
Primeras propiedades
El hecho de que el mapa de origen y destino de un grupoide de Lie son inmersiones suaves tiene algunas consecuencias inmediatas:
- las fibras s , las fibras t , y el conjunto de morfismos componibles son subvariedades;
- el mapa de inversión es un difeomorfismo;
- los grupos de isotropía son grupos de mentiras;
- las orbitas son subvariedades sumergidas;
- la fibra s en un punto es un director -paquete sobre la órbita en ese punto.
Morfismos y subgrupos
Un subgrupoide de Lie de un groupoide de Lie es un subgrupo con el requisito adicional de que es un sub-colector sumergido.
Un morfismo grupoide de Lie entre dos grupoides de Lie y es un morfismo grupoide (es decir, un functor entre las categorías y ), donde ambos y son suaves.
Bisecciones
Una bisección de un grupoide de Lie es un mapa suave tal que y es un difeomorfismo de . El conjunto de bisecciones forma un grupo, con la multiplicación definido como
El grupo de bisecciones puede recibir la topología compacta-abierta , así como una estructura (de dimensión infinita) de la variedad Fréchet compatible con la estructura del grupo, convirtiéndolo en un grupo Fréchet-Lie.
Una bisección local se define de forma análoga, pero la multiplicación entre bisecciones locales está, por supuesto, sólo parcialmente definida.
Ejemplos de
Casos triviales y extremos
- Mentir grupoides con un objeto son lo mismo que los grupos de Lie.
- Dado cualquier múltiple , hay un grupoide de mentira llamado el par groupoid , con precisamente un morfismo de cualquier objeto a cualquier otro.
- Dado cualquier múltiple , hay un grupoide de mentira llamada la unidad grupoide , con precisamente un morfismo de un objeto a sí mismo, a saber, la identidad, y sin morfismos entre diferentes objetos.
- De manera más general, los grupoides de Lie con son lo mismo que un conjunto de grupos de Lie (no necesariamente triviales a nivel local).
Construcciones de otros grupoides de Lie
- Dado cualquier grupoide de mentira y una inmersión sobreyectiva , hay un grupoide de mentira , llamado su grupo de retroceso , donde contiene triples tal que y , y la multiplicación se define mediante la multiplicación de . Por ejemplo, el retroceso del par groupoid de es el par groupoid de .
- Dado cualquier grupoide de mentira , hay un grupoide de mentira , llamado su grupoide tangente , obtenido al considerar el paquete tangente de y y el diferencial de los mapas de estructura.
- Dado cualquier grupoide de mentira , hay un grupoide de mentira , llamado su grupo de chorro , obtenido al considerar los k-chorros de las bisecciones locales de(con estructura lisa heredada del haz de chorro de) y entorno , , , y .
Ejemplos de geometría diferencial
- Dado un grupo de mentiras actuando sobre un colector, hay un grupoide de mentira , llamado la acción groupoid o traducción groupoid , con un morfismo por cada triple con .
- Dado cualquier paquete de vectores , hay un grupoide de mentira , llamado grupoide lineal general , con morfismos entre siendo isomorfismos lineales entre las fibras y . Por ejemplo, si es el paquete de vectores trivial de rango , luego es la acción groupoid.
- Cualquier paquete principal con el grupo de estructura G define un grupoide de Lie, donde G actúa sobre los parescomponente, llamado el grupo de calibre . La multiplicación se define a través de representantes compatibles como en el grupo de pares.
- Dado cualquier pseudogrupo , hay un grupoide de mentira , llamado su germen groupoid , dotado de la topología de gavilla y con mapas de estructura análogos a los del jet groupoid.
Clases importantes de grupoides de Lie
Tenga en cuenta que algunas de las siguientes clases ya tienen sentido en la categoría de grupos de teoría de conjuntos o topológicos.
Grupóides transitivos
Un grupoide de Lie es transitivo (en la literatura más antigua también se llama conectado) si satisface una de las siguientes condiciones equivalentes:
- solo hay una órbita;
- hay al menos un morfismo entre dos objetos cualesquiera;
- es un mapa sobreyectivo.
Los groupoides de calibre constituyen los ejemplos prototípicos de los groupoides de Lie transitivos: de hecho, cualquier groupoide de Lie transitivo es isomorfo al groupoide de calibre de algún paquete principal, a saber, el -manojo , para cualquier punto . Por ejemplo:
- Grupos de mentiras y emparejar grupoides son trivialmente transitivas, y surgen, respectivamente, del paquete G principal , y del director -manojo ;
- un grupo de acción es transitivo si y solo si la acción de grupo es transitiva , y en tal caso surge del paquete principal con grupo de estructura el grupo de isotropía (en un punto arbitrario);
- el grupoide lineal general de es transitivo y surge del paquete de marcos ;
- grupos de retroceso, grupo de chorro y grupo de tangente de son transitivas si y solo si es transitivo.
Como un ejemplo menos trivial de la correspondencia entre los grupos de Lie transitivos y los haces principales, considérese el grupoide fundamental de un colector liso (conectado) M. Se trata naturalmente de un grupoide topológico, que además es transitivo; uno puede ver esoes isomorfo al grupo de calibre de la cubierta universal de M. En consecuencia, hereda una estructura suave que lo convierte en un grupoide de Lie.
Grúpoides adecuados
Un grupoide de mentira se llama propio sies un mapa adecuado . Como consecuencia
- todos los grupos de isotropía de G son compactos ;
- todas las órbitas de G son subvariedades cerradas;
- el espacio orbital M / G es Hausdorff .
Por ejemplo:
- un grupo de mentiras es apropiado si y solo si es compacto;
- Los grupos de pares son siempre adecuados;
- los grupoides unitarios son siempre adecuados;
- un grupo de acción es apropiado si y solo si la acción es adecuada ;
- el grupoide fundamental es propio si y sólo si los grupos fundamentales son finitos.
Como se vio anteriormente, la propiedad para los grupos de Lie es el análogo "correcto" de la compacidad para los grupos de Lie. También se podrían considerar condiciones más "naturales", por ejemplo, pedir que el mapa fuente es apropiado (entonces se llama s-propia ), o que todo el espacio es compacto (entonces se llama compacto ), pero estos requisitos resultan ser demasiado estrictos para muchos ejemplos y aplicaciones.
Étale groupoids
Un grupoide de Lie se llama étale si satisface una de las siguientes condiciones equivalentes:
- las dimensiones de G y M son iguales;
- s es un difeomorfismo local ;
- todas las fibras S son discretas
Como consecuencia, también las fibras t, los grupos de isotropía y las órbitas se vuelven discretos.
Por ejemplo:
- un grupo de Lie es étale si y solo si es discreto;
- Los grupos de pares nunca son étale;
- los grupos de unidades son siempre étale;
- un grupoide de acción es étale si y solo si G es discreto;
- los grupoides fundamentales son siempre étale;
- Los grupos germinales de los pseudogrupos son siempre étale.
Grupóides efectivos
Un grupoide étale se llama efectivo si, para dos bisecciones locales cualesquiera, la condición implica . Por ejemplo:
- Los grupos de mentiras son efectivos si y solo si son triviales;
- los grupos de unidades son siempre efectivos;
- un grupoide de acción es efectivo si la acción G es libre y G es discreta.
En general, cualquier grupo de étale eficaz surge como el grupo de germen de algún pseudogrupo. Sin embargo, también se puede dar una definición (más complicada) de eficacia, que no asume la propiedad étale.
Grupóides conectados a la fuente
Un grupoide de Lie se llama conectado s si todas sus fibras s están conectadas . De manera similar, se habla de groupoids conectados simplemente s (cuando las fibras s están simplemente conectadas ) o groupoids conectados con la fuente k (cuando las fibras s están conectadas con k , es decir, la primera los grupos de homotopía son triviales).
Tenga en cuenta que todo el espacio de flechas no se le pide que satisfaga ninguna hipótesis de conexión. Sin embargo, si es una fuente-conectado grupoide de Lie sobre un colector conectado, entonces en sí mismo es automáticamente -conectado.
Por ejemplo
- Los grupos de mentiras son fuente -conectados si y solo están -conectado;
- un par de groupoid es fuente -conectado si y solo si es -conectado;
- los grupos de unidades son siempre fuente -conectado;
- Los grupos de acción son fuente -conectado si y solo si es -conectado.
- Los grupoides fundamentales están simplemente conectados a la fuente.
Acciones y paquetes principales
Recuerde que una acción de un grupoide en un set a lo largo de una función se define a través de una colección de mapas para cada morfismo Entre . En consecuencia, una acción de un grupoide de Lie en un colector a lo largo de un mapa suave Consiste en una acción grupal donde los mapas son suaves. Por supuesto, para cada hay una acción suave inducida del grupo de isotropía en la fibra .
Dado un grupoide de mentira , un director-el paquete consta de un-espacio y un -inmersión sobreyectiva invariable tal que
Cuándo es un grupo de Lie sobre un punto, se recuperan, respectivamente, las acciones de grupo de Lie estándar y los paquetes principales .
Representaciones
Una representación de un grupoide de Lie Consiste en una acción grupoide de Lie sobre un paquete de vectores. , de tal manera que la acción es lineal fibrosa, es decir, cada biyección es un isomorfismo lineal. De manera equivalente, una representación de en puede describirse como un morfismo grupoide de Lie de al grupoide lineal general .
Por supuesto, cualquier fibra se convierte en una representación del grupo de isotropía . De manera más general, las representaciones de los grupos de Lie transitivos están determinadas de forma única por las representaciones de sus grupos de isotropía, a través de la construcción de Frame bundle § Associated vector bundles .
Entre los ejemplos de representaciones de grupoides de Lie se incluyen los siguientes:
- representaciones de grupos de Lie recuperar representaciones de grupos de Lie estándar
- representaciones de pares de grupoides son paquetes de vectores triviales
- representaciones de grupoides unitarios son paquetes de vectores
- representaciones de acción grupoide están - paquetes de vectores equivariantes
- representaciones de grupoides fundamentales son paquetes de vectores dotados de conexiones planas
El conjunto de isomorfismo clases de representaciones de un grupoide de Lie tiene una estructura natural de semiring , con sumas directas y productos tensoriales de paquetes vectoriales.
Cohomología diferenciable
La noción de cohomología diferenciable para los grupos de Lie se generaliza naturalmente también a los grupos de Lie: la definición se basa en la estructura sintomática del nervio. de , visto como una categoría.
Más precisamente, recuerde que el espacio consta de cadenas de morfismos componibles, es decir
y considera el mapa .
Una n-cocadena diferenciable de con coeficientes en alguna representación es una sección suave del paquete de vectores de retroceso . Uno denota por el espacio de tales n-cochains, y considera el diferencial , definido como
Luego se convierte en un complejo cochain y su cohomología, denotada por, se llama la cohomología diferenciable de con coeficientes en . Tenga en cuenta que, dado que el diferencial en el grado cero es, uno siempre ha .
Por supuesto, la cohomología diferenciable de como un grupo de Lie coincide con la cohomología diferenciable estándar de como grupo de Lie (en particular, para grupos discretos se recupera la cohomología de grupo habitual ). Por otra parte, para cualquier adecuada groupoid Lie, se puede probar que para cada . [5]
El algebroide de Lie de un grupoide de Lie
Cualquier grupoide de mentira tiene un algebroide de Lie asociado , obtenido con una construcción similar a la que asocia un álgebra de Lie a cualquier grupo de Lieː
- el paquete de vectores es el paquete vertical con respecto al mapa fuente, restringido a los elementos tangentes a las identidades, es decir ;
- el corchete de Lie se obtiene identificando con los campos vectoriales invariantes a la izquierda en , y transportando su soporte de Lie a ;
- el mapa de anclaje es el diferencial del mapa de destino prohibido para .
La correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie se generaliza a algunos y se extiende también a los grupos de Lie: los dos primeros teorema de Lie (también conocido como el teorema de subgrupos-subálgebras y el teorema de homomorfismos) se pueden adaptar fácilmente a esta configuración.
En particular, como en la teoría de Lie estándar, para cualquier grupoide de Lie conectado a s Hay un grupoide de mentira único (hasta isomorfismo) simplemente conectado con el mismo algebroide de Lie de , y un difeomorfismo local que es un morfismo grupoide. Por ejemplo, dado cualquier colector conectado, su par groupoid está conectado pero no simplemente conectado, mientras que su grupoide fundamental es. Ambos tienen el mismo algebroide de Lie, es decir, el paquete tangente, y el difeomorfismo local es dado por .
Sin embargo, no hay un análogo del tercer teorema de Lie ː mientras que varias clases de algebroides de Lie son integrables, hay ejemplos de algebroides de Lie, por ejemplo relacionados con la teoría de la foliación , que no admiten un grupoide de Lie integrador. [6] Las obstrucciones generales a la existencia de tal integración dependen de la topología de. [7]
Equivalencia Morita
Como se discutió anteriormente, la noción estándar de (iso) morfismo de los grupoides (vistos como functores entre categorías ) se restringe naturalmente a los grupoides de Lie. Sin embargo, existe una notación de equivalencia más burda, llamada equivalencia de Morita, que es más flexible y útil en las aplicaciones.
Primero, un mapa de Morita (también conocido como equivalencia débil o equivalencia esencial) entre dos grupoides de Lie y Consiste en un morfismo grupoide de Lie de G a H que además es completamente fiel y esencialmente sobreyectivo (adaptando estas nociones categóricas al contexto suave). Decimos que dos grupoides de mentira y son equivalentes a Morita si y solo si existe un tercer grupo de Liejunto con dos mapas Morita de G a K y de H a K .
Una descripción más explícita de la equivalencia de Morita (por ejemplo, útil para comprobar que es una relación de equivalencia ) requiere la existencia de dos sumersiones sobreyectivas y junto con una izquierda -acción y un derecho -acción, desplazarse entre ellos y hacer en un bi-paquete principal. [8]
Invariancia de Morita
Muchas propiedades de los grupoides de Lie, por ejemplo, ser propio, ser Hausdorff o ser transitivo, son invariantes de Morita. Por otro lado, ser étale no es invariante de Morita.
Además, una equivalencia de Morita entre y conserva su geometría transversal , es decir, induce:
- un homeomorfismo entre los espacios orbitales y ;
- un isomorfismo entre los grupos de isotropía en los puntos correspondientes y ;
- un isomorfismo entre las representaciones normales de los grupos de isotropía en los puntos correspondientes y .
Por último, las cohomologías diferenciables de dos grupoides de Lie equivalentes a Morita son isomorfas. [5]
Ejemplos de
- Los grupoides de Lie isomorfos son trivialmente equivalentes a Morita.
- Dos grupos de Lie son equivalentes a Morita si y solo si son isomorfos como grupos de Lie.
- Los grupos de dos unidades son equivalentes a Morita si y solo si las variedades de base son difeomórficas.
- Cualquier grupo de Lie transitivo es equivalente a Morita a sus grupos de isotropía.
- Dado un grupoide de mentira y una inmersión sobreyectiva , el grupoide de retroceso es Morita equivalente a .
Una instancia concreta del último ejemplo es la siguiente. Sea M una variedad suave yuna cubierta abierta de M . Su Čech groupoid está definido por las uniones disjuntas y , dónde . El mapa de origen y destino se definen como las incrustaciones y , y la multiplicación es la obvia si leemos el como subconjuntos de M (puntos compatibles en y en realidad son iguales en M y también se encuentran en). El groupoid Čech es de hecho el groupoid de retroceso, bajo la obvia inmersión, de la unidad groupoid. Como tal, los grupoides Čech asociados a diferentes cubiertas abiertas de M son equivalentes de Morita.
Pilas suaves
La investigación de la estructura del espacio orbital de un grupoide de Lie conduce a la noción de una pila uniforme. Por ejemplo, el espacio de la órbita es una variedad suave si los grupos de isotropía son triviales (como en el ejemplo del grupoide Čech), pero no es suave en general. La solución es revertir el problema y definir una pila uniforme como una clase de equivalencia Morita de grupos de Lie. Los objetos geométricos naturales que viven en la pila son los objetos geométricos de los grupos de Lie invariantes bajo la equivalencia de Morita: un ejemplo es la cohomología de los grupos de Lie.
Dado que la noción de apilamiento suave es bastante general, obviamente todos los colectores suaves son apilados suaves. Otras clases de ejemplos incluyen orbifolds , que son (clases de equivalencia de) grupos de étale , y espacios orbitales de foliaciones.
Referencias
- ^ Ehresmann, Charles (1959). "Catégories topologiques et categorías différentiables" (PDF) . Colloque de Géométrie différentielle globale (en francés). CBRM, Bruselas: 137-150.
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- ^ Pradines, Jean (1966). "Théorie de Lie pour les groupoïdes différentiables. Relations entre propriétés locales et globales". CRAS Paris (en francés). 263 : 907–910.
- ^ Kumpera, Antonio; Spencer, Donald Clayton (2 de marzo de 2016). Ecuaciones de mentira, vol. Yo . Prensa de la Universidad de Princeton. doi : 10.1515 / 9781400881734 . ISBN 978-1-4008-8173-4.
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- ^ Crainic, Marius; Fernandes, Rui (1 de marzo de 2003). "Integrabilidad de los soportes de Lie" . Annals of Mathematics . 157 (2): 575–620. doi : 10.4007 / annals.2003.157.575 . ISSN 0003-486X .
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Libros y apuntes de conferencias
- Alan Weinstein, Groupoids: unificando la simetría interna y externa, AMS Notices , 43 (1996), 744-752. También disponible como arXiv: math / 9602220
- Kirill Mackenzie, Lie Groupoids y Lie Algebroids in Differential Geometry , Cambridge U. Press, 1987.
- Kirill Mackenzie, Teoría general de Lie Groupoids y Lie Algebroids , Cambridge U. Press, 2005.
- Marius Crainic, Rui Loja Fernandes, Lectures on Integrability of Lie Brackets , disponible en arXiv: math / 0611259 .
- Ieke Moerdijk, Janez Mrčun, Introducción a las foliaciones y los grupos de mentiras , Cambridge U. Press, 2010.