Por tanto, un algebroide de Lie puede considerarse como una "generalización de muchos objetos" de un álgebra de Lie . Los álgebroides de Lie desempeñan un papel similar en la teoría de los grupos de Lie que desempeñan las álgebras de Lie en la teoría de los grupos de Lie : reducir los problemas globales a infinitesimales.
De hecho, cualquier grupoide de Lie da lugar a un algebroide de Lie, que es el haz vertical del mapa fuente restringido en las unidades. Sin embargo, a diferencia de las álgebras de Lie, no todos los algebroides de Lie surgen de un grupoide de Lie.
Los algebroides de Lie han sido introducidos por Jean Pradines. [1]
Definición y conceptos básicos
Un algebroide de mentira es un triple que consiste en
un morfismo de paquetes de vectores , llamado el ancla , dondees el paquete tangente de
de manera que el ancla y el corchete cumplen la siguiente regla de Leibniz:
dónde y es la derivada de a lo largo del campo vectorial .
Uno escribe a menudo cuando el corchete y el ancla se desprenden del contexto; algunos autores denotan algebroides de Lie por.
Primeras propiedades
De la definición se desprende que
el kernel es un álgebra de Lie, llamada álgebra de Lie isotropía en
la imagen es una distribución (singular) que es integrable, es decir, admite subvariedades sumergidas máximas , llamadas órbitas , satisfaciendo para cada
el mapa de anclaje desciende a un mapa entre secciones que es un morfismo de álgebra de Lie, es decir
para todos .
Morfismos y subalgebroides
Un subalgebroide de Lie de un algebroid de Lie es un subconjunto de vectores de la restricción tal que toma valores en y está cerrado con respecto al soporte de Lie inducido.
Un morfismo algebroide de Lie entre dos algebroides de Lie y con la misma base es un morfismo de paquete de vectores que es compatible con los soportes de Lie, es decir para cada , y con las anclas, es decir .
Se puede formular una noción similar para morfismos con diferentes bases, pero la compatibilidad con los corchetes de Lie se vuelve más complicada. [2]
Dado cualquier múltiple , el paquete de vector cero es un algebroide de Lie con corchete cero y ancla
Lie algebroids sobre un punto son lo mismo que las álgebras de Lie .
De manera más general, los álgebroides de Lie con mapa de anclaje cero son conjuntos de álgebras de Lie (donde el corchete de Lie se define puntualmente)
Ejemplos de geometría diferencial
Dada una foliación en , su algebroide de foliación es el subconjunto involutivo asociado, con corchetes y ancla inducida desde la tangente algebroide de Lie
Dada la acción de un álgebra de Lie en un colector , su acción algebroid es el paquete de vectores trivial, con ancla dada por la acción del álgebra de Lie y corchetes determinados únicamente por el corchete de en secciones constantes y por la identidad de Leibniz.
El espacio de secciones del algebroide de Atiyah es el álgebra de Lie de -campos vectoriales invariantes en .
Dado un paquete de vectores , su algebroide lineal general , denotado por o , es el paquete de vectores cuyas secciones son derivaciones de , es decir, operadores diferenciales de primer orden admitir un campo vectorial tal que para cada . El ancla es simplemente la tarea y el corchete de Lie viene dado por el conmutador de operadores diferenciales.
Dado un colector de Poisson, su algebroide cotangente es el paquete de vectores cotangente, con soporte Lie y mapa de ancla .
Construcciones de otros algebroides de Lie
Dado cualquier algebroide de Lie , hay un algebroide de mentira , llamado su algebroide tangente , obtenido al considerar el haz tangente de y y el diferencial del ancla.
Dado cualquier algebroide de Lie , hay un algebroide de mentira , llamado su algebroide k-jet , obtenido al considerar el haz k-jet de, con el corchete de Lie definido de forma única por y ancla .
Otros conceptos relacionados
Comportamiento
Una acción de un algebroide de Lie. en una variedad P a lo largo de un mapa uniforme consiste en un morfismo de álgebra de Lie
tal que, por cada ,
Por supuesto, cuando , tanto el ancla y el mapa debe ser trivial, por lo tanto, ambas condiciones están vacías, y recuperamos la noción estándar de acción de un álgebra de Lie sobre una variedad.
Conexiones
Dado un algebroide de mentira , una conexión A en un paquete de vectores consiste en un -mapa bilineal
cual es -lineal en el primer factor y satisface la siguiente regla de Leibniz:
para cada , dónde denota la derivada de Lie con respecto al campo vectorial .
La curvatura de una conexión A es el -mapa bilineal
Una representación de un algebroide de Lie es un paquete de vectores junto con una conexión A plana . De manera equivalente, una representación es un morfismo algebroide de mentira .
Por supuesto, cuando , un -la conexión se simplifica a un mapa lineal y la condición de planitud lo convierte en un morfismo de álgebra de Lie, por lo que recuperamos la noción estándar de representación de un álgebra de Lie .
El conjunto de isomorfismo clases de representaciones de un algebroide de Lie tiene una estructura natural de semiring , con sumas directas y productos tensoriales de paquetes vectoriales.
Cohomología algebroide de mentiras
Considere un algebroide de Lie y una representación . Denotando por el espacio de - formas diferenciales en con valores en el paquete de vectores , se puede definir un diferencial con la siguiente fórmula similar a Koszul:
Gracias a la planitud de , se convierte en un complejo cochain y su cohomología, denotada por , se llama la cohomología algebroide de Lie de con coeficientes en la representación .
Esta definición general recupera teorías de cohomología conocidas:
La cohomología de un algebroide de Lie tangente coincide con la cohomología de De Rham de.
La cohomología de una foliación Lie algebroid coincide con la cohomología foliar de la foliación .
La cohomología del algebroide de Lie cotangente asociado a una estructura de Poisson coincide con la cohomología de Poisson de .
Correspondencia algebroide de Lie grupoide-Lie
La construcción estándar que asocia un álgebra de Lie a un grupo de Lie se generaliza a esta configuración: a cada grupo de Lie uno puede asociar canónicamente un algebroide de Lie definido como sigue:
el paquete de vectores es , dónde es el haz vertical de la fibra fuente y es el mapa de unidades grupoides;
las secciones de se identifican con los campos vectoriales invariantes a la derecha en , así que eso hereda un soporte de Lie;
el mapa de anclaje es el diferencial del mapa de destino .
Por supuesto, surge una construcción simétrica cuando se intercambian los roles de los mapas de origen y de destino, y se reemplazan los campos vectoriales invariantes a la derecha por a la izquierda.
El flujo de una sección es la bisección de 1 parámetro , definido por , dónde es el flujo del correspondiente campo vectorial invariante a la derecha. Esto permite definir el análogo del mapa exponencial para los grupos de Lie como.
Teoremas de mentiras
Un algebroide de Lie se llama integrable si es isomorfo a para un grupo de mentiras. El análogo del teorema clásico de Lie I establece que:
si un algebroide de mentira es integrable, entonces existe un único (hasta isomorfismo) -Grupoide de mentira simplemente conectado integrando .
Del mismo modo, cualquier morfismo grupoide de Lie se puede diferenciar a un morfismoentre sus algebroides de Lie asociados. El análogo del teorema clásico de Lie II establece que:
Si es un morfismo de algebroides de Lie integrables, y es -simplemente conectado, entonces existe un morfismo (único) de grupoides de Lie integrando , es decir, tal que .
Por otro lado, el análogo del teorema clásico de Lie III falla, es decir, no siempre es posible volver de cualquier algebroide de Lie a un grupoide de Lie. Hay ejemplos explícitos de algebroides de Lie no integrables, que proceden, por ejemplo, de la teoría de la foliación. [3]
Sin embargo, se conocen las obstrucciones precisas para que un algebroide de Lie sea integrable, [4] y también se ha demostrado que cada algebroide de Lie se integra a un grupoide de Lie apilable. [5] [6]
Ejemplos de
El algebroide de Lie de un grupo de Lie es el álgebra de mentira
El algebroide de Lie tanto del par groupoide y el grupoide fundamental es el algebroide tangente
El algebroide de Lie de la unidad groupoid es el algebroide cero
El algebroide de Lie de un paquete de grupo de Lie es el paquete de álgebra de Lie
El algebroide de Lie de un grupoide de acción es la acción algebroid
El algebroide de Lie de un grupoide de calibre es el algebroide de Atiyah
El algebroide de Lie de un grupoide lineal general es el algebroide lineal general
El algebroide de Lie tanto del grupoide holonómico y el grupoide monodromía es la foliación algebroide
El algebroide de Lie de un grupoide tangente es el algebroide tangente
El algebroide de Lie de un grupoide a reacción es el jet algebroid
Estructuras y propiedades inducidas de grupoides a algebroides
Dejar ser un grupo de mentiras y su algebroide de Lie asociado. Luego
Las álgebras de isotropía son las álgebras de Lie de los grupos de isotropía
Las órbitas de coincide con las órbitas de
es transitivo si y solo si es transitivo
una acción de en induce una acción de (llamada acción infinitesimal ), definida por
una representación de en un paquete de vectores induce una representación de en , definido por
Además, hay un morfismo de semirríos. , que se convierte en isomorfismo si está simplemente conectado a la fuente.
hay un morfismo , llamado morfismo de Van Est, de la cohomología diferenciable de con coeficientes en alguna representación en a la cohomología de con coeficientes en la representación inducida en . Además, si el-fibras de son homologicamente-conectado , entonces es un isomorfismo para , y es inyectable para . [7]
Ejemplo detallado 1
Considere el algebroide de Lie asociado al par grupoide . El mapa de destino es y las unidades . Las fibras t son y por lo tanto . Entonces el algebroide de Lie es el paquete de vectores. La extensión de secciones dentro a campos vectoriales invariantes a la izquierda en es simple y la extensión de una función suave de a una función invariante a la izquierda en es . Por lo tanto, el corchete en es solo el corchete de Lie de los campos vectoriales tangentes y el mapa de anclaje es solo la identidad.
Por supuesto, podría hacer una construcción analógica con el mapa de origen y los campos / funciones vectoriales invariantes a la derecha. Sin embargo, obtienes un algebroide de Lie isomórfico, con el isomorfismo explícito, dónde es el mapa inverso.
Ejemplo detallado 2
Considere el (acción) grupo de mentiras
donde envía el mapa de destino
Observe que hay dos casos para las fibras de :
Esto demuestra que existe un estabilizador de sobre el origen y sin estabilizantes -orbita en cualquier otro lugar. El paquete tangente sobre cada es entonces trivial, de ahí el retroceso es un paquete de líneas trivial.
Ver también
R-algebroide
Mentira bialgebroid
Referencias
^ Pradines, Jean (1967). "Théorie de Lie pour les groupoïdes différentiables. Calcul différentiel dans la caté́gorie des groupoïdes infinitésimaux" . CRAS Paris (en francés). 264 : 245–248.
^Mackenzie, Kirill CH (2005). Teoría general de Lie Groupoids y Lie Algebroids . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Cambridge: Cambridge University Press. doi : 10.1017 / cbo9781107325883 . ISBN 978-0-521-49928-6.
^Almeida, Rui; Molino, Pierre (1985). "Suites d'Atiyah et feuilletages transversalement complets " ". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I (en francés). 300 : 13-15.
^Crainic, Marius; Fernandes, Rui L. (2003). "Integrabilidad de los soportes de Lie". Ana. de Matemáticas . 2. 157 (2): 575–620. arXiv : matemáticas / 0105033 . doi : 10.4007 / annals.2003.157.575 . S2CID 6992408 .
^Hsian-Hua Tseng; Chenchang Zhu (2006). "Integración de algebroides de Lie a través de pilas". Compositio Mathematica . 142 (1): 251–270. arXiv : matemáticas / 0405003 . doi : 10.1112 / S0010437X05001752 . S2CID 119572919 .
^Chenchang Zhu (2006). "Teorema de Lie II para algebroides de Lie a través de grupos de Lie de Stacky". arXiv : matemáticas / 0701024 .
^Crainic, Marius (31 de diciembre de 2003). "Cohomología diferenciable y algebroide, isomorfismos de Van Est y clases características" . Commentarii Mathematici Helvetici . 78 (4): 681–721. arXiv : matemáticas / 0008064 . doi : 10.1007 / s00014-001-0766-9 . ISSN 0010-2571 .
enlaces externos
Weinstein, Alan (1996). "Groupoids: unificando la simetría interna y externa". Avisos de AMS . 43 : 744–752. arXiv : matemáticas / 9602220 . Bibcode : 1996math ...... 2220W .
Mackenzie, Kirill CH (25 de junio de 1987). Lie Groupoids y Lie Algebroids en Geometría Diferencial . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. 124 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-34882-9.
Mackenzie, Kirill CH (2005). Teoría general de Lie Groupoids y Lie Algebroids . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. 213 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-49928-6.
Marle, Charles-Michel (2002). "Cálculo diferencial en un algebroide de Lie y variedades de Poisson". arXiv : 0804.2451v1 .