El teorema de Kutta-Joukowski es un teorema fundamental en aerodinámica que se utiliza para el cálculo de la sustentación de un perfil aerodinámico y cualquier cuerpo bidimensional, incluidos los cilindros circulares, que se trasladan en un fluido uniforme a una velocidad constante lo suficientemente grande como para que el flujo visto en el cuerpo sea fijo. El marco es estable y no está separado. El teorema relaciona la sustentación generada por un perfil aerodinámico con la velocidad del perfil aerodinámico a través del fluido, la densidad del fluido y la circulación alrededor del perfil aerodinámico. La circulación se define como la línea integral alrededor de un circuito cerrado que encierra el perfil aerodinámico del componente de la velocidad del fluido tangente al circuito. [1] Lleva el nombre deMartin Kutta y Nikolai Zhukovsky (o Joukowski), quienes desarrollaron por primera vez sus ideas clave a principios del siglo XX. El teorema de Kutta-Joukowski es una teoría no viscosa, pero es una buena aproximación para el flujo viscoso real en aplicaciones aerodinámicas típicas. [2]
El teorema de Kutta-Joukowski relaciona la elevación con la circulación de manera muy similar a como el efecto Magnus relaciona la fuerza lateral (llamada fuerza Magnus) con la rotación. [3] Sin embargo, la circulación aquí no es inducida por la rotación del perfil aerodinámico. El flujo de fluido en presencia del perfil aerodinámico se puede considerar como la superposición de un flujo de traslación y un flujo rotatorio. Este flujo giratorio es inducido por los efectos de la curvatura , el ángulo de ataque y el borde de fuga agudo del perfil aerodinámico. No debe confundirse con un vórtice como un tornado que rodea la superficie aerodinámica. A una gran distancia del perfil aerodinámico, el flujo giratorio puede considerarse inducido por un vórtice lineal (con la línea giratoria perpendicular al plano bidimensional). En la derivación del teorema de Kutta-Joukowski, el perfil aerodinámico generalmente se mapea en un cilindro circular. En muchos libros de texto, el teorema se demuestra para un cilindro circular y el perfil aerodinámico de Joukowski , pero es válido para los perfiles aerodinámicos generales.
Fórmula de fuerza de elevación
El teorema se aplica al flujo bidimensional alrededor de un perfil aerodinámico fijo (o cualquier forma de espacio infinito ). La elevación por unidad de tramodel perfil aerodinámico viene dado por [4]
( 1 )
dónde y son la densidad del fluido y la velocidad del fluido aguas arriba del perfil aerodinámico, y es la circulación definida como la integral de línea
alrededor de un contorno cerrado encerrando el perfil aerodinámico y seguido en la dirección negativa (en el sentido de las agujas del reloj). Como se explica a continuación, esta ruta debe estar en una región de flujo potencial y no en la capa límite del cilindro. El integrando es el componente de la velocidad local del fluido en la dirección tangente a la curva y es una longitud infinitesimal en la curva, . La ecuación (1) es una forma del teorema de Kutta-Joukowski.
Kuethe y Schetzer establecen el teorema de Kutta-Joukowski de la siguiente manera: [5]
- La fuerza por unidad de longitud que actúa sobre un cilindro recto de cualquier sección transversal es igual a y es perpendicular a la dirección de
Circulación y condición de Kutta
Un perfil aerodinámico que produce sustentación tiene comba u opera en un ángulo de ataque positivo , el ángulo entre la línea de cuerda y el flujo de fluido corriente arriba del perfil aerodinámico. Además, la superficie aerodinámica debe tener un borde de fuga afilado.
Cualquier fluido real es viscoso, lo que implica que la velocidad del fluido se desvanece en la superficie aerodinámica. Prandtl mostró que para un gran número de Reynolds , definido como, y un pequeño ángulo de ataque, el flujo alrededor de un perfil aerodinámico delgado se compone de una región viscosa estrecha llamada capa límite cerca del cuerpo y una región de flujo no viscoso en el exterior. Al aplicar el teorema de Kutta-Joukowski, el bucle debe elegirse fuera de esta capa límite. (Por ejemplo, la circulación calculada utilizando el bucle correspondiente a la superficie del perfil aerodinámico sería cero para un fluido viscoso).
El requisito del borde de fuga afilado corresponde físicamente a un flujo en el que el fluido que se mueve a lo largo de las superficies inferior y superior del perfil aerodinámico se encuentra suavemente, sin que ningún fluido se mueva alrededor del borde de fuga del perfil aerodinámico. Esto se conoce como la condición de Kutta .
Kutta y Joukowski demostraron que para calcular la presión y la sustentación de un perfil aerodinámico delgado para el flujo en un número de Reynolds grande y un ángulo de ataque pequeño, se puede suponer que el flujo no es viscoso en toda la región fuera del perfil aerodinámico siempre que se imponga la condición de Kutta. Esto se conoce como la teoría del flujo potencial y funciona muy bien en la práctica.
Derivación
A continuación se presentan dos derivaciones. El primero es un argumento heurístico , basado en la percepción física. El segundo es formal y técnico, que requiere un análisis vectorial básico y un análisis complejo .
Argumento heurístico
Para un argumento heurístico, considere una delgada superficie aerodinámica de acorde y espacio infinito, moviéndose a través del aire de densidad . Deje que la superficie aerodinámica se incline hacia el flujo que se aproxima para producir una velocidad del aire en un lado de la superficie aerodinámica, y una velocidad del aire Por otro lado. La circulación es entonces
La diferencia de presión entre los dos lados del perfil aerodinámico se puede encontrar aplicando la ecuación de Bernoulli :
por lo que la fuerza de elevación por unidad de tramo es
Una versión diferencial de este teorema se aplica a cada elemento de la placa y es la base de la teoría del perfil aerodinámico delgado .
Derivación formal
Derivación formal del teorema de Kutta-Joukowski En primer lugar, se calcula la fuerza ejercida sobre cada unidad de longitud de un cilindro de sección transversal arbitraria. [6] Sea esta fuerza por unidad de longitud (de ahora en adelante denominada simplemente fuerza). Entonces la fuerza total es: donde C denota el límite del cilindro,es la presión estática del fluido,es el vector unitario normal al cilindro, y ds es el elemento de arco del límite de la sección transversal. Ahora dejaser el ángulo entre el vector normal y la vertical. Entonces los componentes de la fuerza anterior son:
Ahora viene un paso crucial: considere el espacio bidimensional utilizado como un plano complejo . Entonces, cada vector se puede representar como un número complejo , con su primer componente igual a la parte real y su segundo componente igual a la parte imaginaria del número complejo. Entonces, la fuerza se puede representar como:
El siguiente paso es tomar la conjugada compleja de la fuerza y hacer algo de manipulación:
Los segmentos de superficie ds están relacionados con los cambios dz a lo largo de ellos por:
Conectando esto de nuevo a la integral, el resultado es:
Ahora se utiliza la ecuación de Bernoulli para eliminar la presión de la integral. A lo largo del análisis, se asume que no hay ningún campo de fuerza exterior presente. La densidad de masa del flujo es Entonces presiona está relacionado con la velocidad por:
Con esto la fuerza se convierte en:
Solo queda un paso por hacer: presentar el complejo potencial del flujo. Esto está relacionado con los componentes de la velocidad comodonde el apóstrofe denota diferenciación con respecto a la variable compleja z . La velocidad es tangente al límite C , por lo que esto significa que Por lo tanto, y se obtiene la expresión deseada para la fuerza:
que se llama el teorema de Blasius .
Para llegar a la fórmula de Joukowski, esta integral debe evaluarse. A partir del análisis complejo se sabe que una función holomórfica se puede presentar como una serie de Laurent . De la física del problema se deduce que la derivada del potencial complejo se verá así:
La función no contiene términos de orden superior, ya que la velocidad permanece finita en el infinito. Entonces representa la derivada del potencial complejo en el infinito: . La siguiente tarea es averiguar el significado de. Usando el teorema del residuo en la serie anterior:
Ahora realice la integración anterior:
La primera integral se reconoce como la circulación denotada por La segunda integral se puede evaluar después de alguna manipulación:
Aquí es la función de flujo . Dado que el borde C del cilindro es una línea aerodinámica en sí misma, la función de flujo no cambia en él, y. Por tanto, la integral anterior es cero. Como resultado:
Toma el cuadrado de la serie:
Reemplazando esto en la fórmula de Blasius-Chaplygin y realizando la integración usando el teorema del residuo:
Entonces, la fórmula de Kutta-Joukowski es:
Levantar fuerzas para situaciones más complejas
La sustentación predicha por el teorema de Kutta-Joukowski dentro del marco de la teoría del flujo potencial no viscoso es bastante precisa, incluso para un flujo viscoso real, siempre que el flujo sea constante y no esté separado. [7] Al derivar el teorema de Kutta-Joukowski, se utilizó el supuesto de flujo irrotacional. Cuando hay vórtices libres fuera del cuerpo, como puede ser el caso de un gran número de flujos inestables, el flujo es rotacional. Cuando el flujo es rotacional, se deben utilizar teorías más complicadas para derivar las fuerzas de elevación. A continuación se muestran varios ejemplos importantes.
- Impulsivamente comenzó a fluir con un pequeño ángulo de ataque . Para un flujo iniciado impulsivamente, como el que se obtiene acelerando repentinamente un perfil aerodinámico o estableciendo un ángulo de ataque, hay una lámina de vórtice que se desprende continuamente en el borde de salida y la fuerza de sustentación es inestable o dependiente del tiempo. Para un flujo inicial de ángulo de ataque pequeño, la hoja de vórtice sigue una trayectoria plana y la curva del coeficiente de sustentación en función del tiempo viene dada por la función de Wagner. [8] En este caso, la elevación inicial es la mitad de la elevación final dada por la fórmula de Kutta-Joukowski. [9] La sustentación alcanza el 90% de su valor de estado estable cuando el ala ha recorrido una distancia de aproximadamente siete longitudes de cuerda.
- Impulsivamente comenzó a fluir en un gran ángulo de ataque . Cuando el ángulo de ataque es lo suficientemente alto, la hoja de vórtice del borde de salida tiene inicialmente una forma de espiral y la elevación es singular (infinitamente grande) en el momento inicial. [10] La sustentación cae durante un período de tiempo muy corto antes de que se alcance la curva de sustentación que normalmente se asume que aumenta monótonamente.
- Flujo inicial con gran ángulo de ataque para alas con bordes de ataque afilados . Si, como en una placa plana, el borde de ataque también es afilado, entonces los vórtices también se desprenden en el borde de ataque y el papel de los vórtices del borde de ataque es doble: (1) la elevación aumenta cuando todavía están cerca del borde de ataque. borde, de modo que elevan la curva de elevación de Wagner, (2) son perjudiciales para la elevación cuando se convencen hacia el borde de salida, induciendo una nueva espiral de vórtice del borde de salida que se mueve en la dirección decreciente de elevación. Para este tipo de flujo, se puede usar un mapa de línea de fuerza de vórtice (VFL) [11] para comprender el efecto de los diferentes vórtices en una variedad de situaciones (incluidas más situaciones que el flujo inicial) y se puede usar para mejorar el control del vórtice para mejorar o reducir la elevación. El mapa de líneas de fuerza de vórtice es un mapa bidimensional en el que se muestran las líneas de fuerza de vórtice. Para un vórtice en cualquier punto del flujo, su contribución de elevación es proporcional a su velocidad, su circulación y el coseno del ángulo entre la línea de corriente y la línea de fuerza del vórtice. Por lo tanto, el mapa de la línea de fuerza del vórtice muestra claramente si un vórtice dado produce elevación o es perjudicial para la elevación.
- Lagalmente teorema . Cuando una fuente (de masa) se fija fuera del cuerpo, una corrección de fuerza debida a esta fuente se puede expresar como el producto de la fuerza de la fuente externa y la velocidad inducida en esta fuente por todas las causas excepto esta fuente. Esto se conoce como el teorema de Lagally. [12] Para el flujo no viscoso bidimensional, el teorema clásico de Kutta Joukowski predice una resistencia cero. Sin embargo, cuando hay un vórtice fuera del cuerpo, hay un arrastre inducido por el vórtice, en una forma similar a la elevación inducida.
- Teorema generalizado de Lagally . Para los vórtices libres y otros cuerpos fuera de un cuerpo sin vorticidad limitada y sin producción de vórtices, se cumple un teorema generalizado de Lagally, [13] con el cual las fuerzas se expresan como el producto de la fuerza de las singularidades internas (vórtices de imagen, fuentes y dobletes dentro de cada cuerpo ) y la velocidad inducida en estas singularidades por todas las causas excepto las que se encuentran dentro de este cuerpo. La contribución debida a cada singularidad interior se suma para dar la fuerza total. El movimiento de las singularidades externas también contribuye a las fuerzas, y el componente de fuerza debido a esta contribución es proporcional a la velocidad de la singularidad.
- Fuerza individual de cada cuerpo para flujo rotacional de múltiples cuerpos . Cuando además de múltiples vórtices libres y múltiples cuerpos, hay vórtices ligados y producción de vórtices en la superficie del cuerpo, el teorema generalizado de Lagally todavía se mantiene, pero existe una fuerza debida a la producción de vórtices. Esta fuerza de producción de vórtices es proporcional a la tasa de producción de vórtices y la distancia entre el par de vórtices en producción. Con este enfoque, una fórmula de fuerza explícita y algebraica, que tiene en cuenta todas las causas (singularidades internas, vórtices y cuerpos externos, movimiento de todas las singularidades y cuerpos, y producción de vórtices) es válida individualmente para cada cuerpo [14] con el papel de los demás. cuerpos representados por singularidades adicionales. Por tanto, es posible una descomposición forzada según los cuerpos.
- Flujo viscoso tridimensional general . Para flujo general tridimensional, viscoso e inestable, las fórmulas de fuerza se expresan en formas integrales. La integración de volumen de ciertas cantidades de flujo, como los momentos de vorticidad, está relacionada con las fuerzas. Varias formas de enfoque integral están ahora disponibles para dominio ilimitado [9] [15] [16] y para dominio truncado artificialmente. [17] El teorema de Kutta Joukowski se puede recuperar de estos enfoques cuando se aplica a un perfil aerodinámico bidimensional y cuando el flujo es constante y no separado.
- Teoría de la línea de elevación para alas, vórtices de punta de ala y arrastre inducido . Un ala tiene una envergadura finita y la circulación en cualquier sección del ala varía con la dirección de la envergadura. Esta variación se compensa con la liberación de vórtices de flujo, llamados vórtices de arrastre , debido a la conservación de la vorticidad o el teorema de conservación de la circulación de Kelvin. Estos vórtices en sentido de la corriente se fusionan en dos espirales fuertes que giran en sentido contrario, separadas por una distancia cercana a la envergadura y sus núcleos pueden ser visibles si la humedad relativa es alta. El tratamiento de los vórtices que se arrastran como una serie de vórtices en línea recta semi-infinitos conduce a la conocida teoría de la línea de elevación. Según esta teoría, el ala tiene una fuerza de sustentación menor que la predicha por una teoría puramente bidimensional utilizando el teorema de Kutta-Joukowski. Esto se debe a los efectos corriente arriba de la corriente descendente añadida de los vórtices que se arrastran en el ángulo de ataque del ala. Esto reduce el ángulo de ataque efectivo del ala, disminuyendo la cantidad de sustentación producida en un ángulo de ataque dado y requiriendo un ángulo de ataque más alto para recuperar esta sustentación perdida. En este nuevo ángulo de ataque más alto, la resistencia también ha aumentado. La resistencia inducida reduce efectivamente la pendiente de la curva de sustentación de un perfil aerodinámico 2-D y aumenta el ángulo de ataque de (mientras que también disminuye el valor de ).
Ver también
- Vórtice de herradura
Referencias
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Bibliografía
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