Grupo algebraico lineal
En matemáticas , un grupo algebraico lineal es un subgrupo del grupo de matrices invertibles (bajo la multiplicación de matrices ) que se define mediante ecuaciones polinómicas . Un ejemplo es el grupo ortogonal , definido por la relación donde es la transpuesta de .
Muchos grupos de Lie pueden verse como grupos algebraicos lineales sobre el campo de números reales o complejos . (Por ejemplo, todo grupo de Lie compacto puede considerarse como un grupo algebraico lineal sobre R (necesariamente R -anisotrópico y reductivo), al igual que muchos grupos no compactos como el grupo de Lie simple SL( n , R ) ) . Los grupos de Lie simples fueron clasificados por Wilhelm Killing y Élie Cartanen las décadas de 1880 y 1890. En ese momento, no se hizo un uso especial del hecho de que la estructura del grupo se puede definir mediante polinomios, es decir, que estos son grupos algebraicos. Los fundadores de la teoría de los grupos algebraicos incluyen a Maurer , Chevalley y Kolchin ( 1948 ). En la década de 1950, Armand Borel construyó gran parte de la teoría de los grupos algebraicos tal como existe hoy.
Para un entero positivo , el grupo lineal general sobre un campo , que consta de todas las matrices invertibles, es un grupo algebraico lineal sobre . Contiene los subgrupos
El grupo es un ejemplo de un grupo algebraico lineal unipotente , el grupo es un ejemplo de un grupo algebraico soluble llamado subgrupo Borel de . Es una consecuencia del teorema de Lie-Kolchin que cualquier subgrupo soluble conectado de se conjuga en . Cualquier subgrupo unipotente se puede conjugar en .
Otro subgrupo algebraico es el grupo lineal especial de matrices con determinante 1.
