Lista de temas de álgebra abstracta

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El álgebra abstracta es el área temática de las matemáticas que estudia las estructuras algebraicas , como grupos , anillos , campos , módulos , espacios vectoriales y álgebras . La frase álgebra abstracta se acuñó a principios del siglo XX para distinguir esta área de lo que normalmente se conoce como álgebra , el estudio de las reglas para manipular fórmulas y expresiones algebraicas que involucran incógnitas y números reales o complejos , a menudo ahora llamado álgebra elemental.. Rara vez se hace la distinción en escritos más recientes.

Lenguaje basico

Las estructuras algebraicas se definen principalmente como conjuntos con operaciones .

Estructura algebraica
- Subobjetos : subgrupo , subanillo , subálgebra , submódulo , etc.
Operación binaria
- Cierre de una operación
- Propiedad asociativa
- Propiedad distributiva
- Propiedad conmutativa
Operador unario
- Aditivo inverso , multiplicativo inverso , elemento inverso
  - Elemento de identidad
  - Propiedad de cancelación
Operación Finitaria
- Arity

Los mapas de preservación de estructuras llamados homomorfismos son vitales en el estudio de objetos algebraicos.

Homomorfismos
- Granos y conúcleos
- Imagen y coimagen
- Epimorfismos y monomorfismos
  - Isomorfismos
    - Teoremas de isomorfismo

Hay varias formas básicas de combinar objetos algebraicos del mismo tipo para producir un tercer objeto del mismo tipo. Estas construcciones se utilizan en todo el álgebra.

Suma directa
- Límite directo
Producto directo
- Límite inverso
Objetos cociente: grupo cociente , anillo cociente , cociente módulo etc.
Producto tensor

Conceptos avanzados:

Teoría de categorías
- Categoría de grupos
  - Categoría de grupos abelianos
- Categoría de anillos
- Categoría de módulos
  - Equivalencia Morita , dualidad Morita
- Categoría de espacios vectoriales
Álgebra homológica
- Filtración (álgebra)
- Secuencia exacta
- Functor
Lema de Zorn

Semigrupos y monoides

Semigroup
- Subsemigrupo
- Semigrupo libre
- Relaciones de Green
- Semigrupo de inversión (cf. [1] )
- Teoría de Krohn-Rhodes
- Álgebra de semigrupo
- Semigrupo de transformación
Monoide
- Monoide aperiódico
- Monoide libre
- Monoide (teoría de categorías)
- Factorización monoide
- Monoide sintáctico

Teoría de grupos

Estructura

Grupo (matemáticas)
- Teorema de Lagrange (teoría de grupos)
- Subgrupo
  - Coset
  - Subgrupo normal
  - Subgrupo característico
  - Subgrupos centralizadores y normalizadores
  - Grupo derivado
  - Subgrupo Frattini
  - Subgrupo apropiado
- Clasificación de grupos simples finitos
- Teoremas de Sylow
- Análisis local

Construcciones

Grupo libre
- Presentación de un grupo
- Problema verbal para grupos
Grupo cociente
- Problema de extensión
Suma directa , producto directo
Producto semidirecto
- Producto de corona

Tipos

Grupo simple
Grupo finito
Grupo abeliano
- Subgrupo de torsión
- Grupo abeliano libre
- Grupo abeliano finamente generado
- Rango de un grupo abeliano
Grupo cíclico
- Grupo cíclico local
Grupo solucionable
- Serie de composición
Grupo nilpotente
Grupo divisible
Grupo Dedekind , grupo hamiltoniano

Ejemplos de

Ejemplos de grupos
- Grupo de permutación
- Grupo simétrico
- Grupo alterno
- grupo p
- Lista de pequeños grupos
- Klein de cuatro grupos
- Grupo de cuaterniones
- Grupo diedro
- Grupo dicíclico
- Grupo de automorfismo
- Grupo de puntos

Aplicaciones

Acción de grupo
- Clase conjugada
- Automorfismo interno
- Cierre conjugado
- Subgrupo de estabilizadores
- Órbita (teoría de grupos)
- Teorema del estabilizador de órbita
- Teorema de Cayley
- Lema de Burnside
El problema de Burnside
Grupo de bucle
Grupo fundamental

Teoría del anillo

General

Anillo (matemáticas)
Álgebra conmutativa , anillo conmutativo
Teoría del anillo , anillo no conmutativo
Álgebra sobre un campo
- Álgebra no asociativa
Familiares de anillos: Semiring , Nearring , Rig (álgebra)

Estructura

Subring , subálgebra
- Centro (álgebra)
Anillo ideal
- Ideal principal
- Cociente ideal
- Ideal máximo , ideal mínimo
- Ideal primitivo , ideal primordial , ideal semiprimo
- Radical de un ideal
Jacobson radical
Zócalo de un anillo
unidad (teoría del anillo) , idempotente , nilpotente , divisor cero
Característica (álgebra)
Homomorfismo de anillo , homomorfismo de álgebra
- Epimorfismo de anillo
- Monomorfismo de anillo
- Isomorfismo de anillo
  - Teorema de Skolem-Noether
Álgebra graduada
Equivalencia Morita
- Grupo Brauer

Construcciones

Suma directa de anillos , Producto de anillos
Anillo de cociente
Anillo Matrix
Anillo de endomorfismo
Anillo polinomial
Serie de poder formal
Anillo monoide , anillo de grupo
Localización de un anillo
Álgebra tensorial
- Álgebra simétrica , álgebra exterior , álgebra de Clifford
Álgebra libre
Terminación (teoría del anillo)

Tipos

Campo (matemáticas) , anillo de división , álgebra de división
El anillo simple , el álgebra central sencilla , anillo semisimple , álgebra semisimple
Anillo primitivo , Anillo semiprimitivo
El primer anillo , anillo de semiprimo , anillo reducido
Dominio integral , dominio (teoría del anillo)
- Campo de fracciones , Cierre integral
- Dominio euclidiano , dominio de ideales principales , dominio de factorización única , dominio de Dedekind , dominio Prüfer
Anillo Von Neumann regular
Anillo Quasi-Frobenius
Anillo hereditario , Anillo semi- hereditario
Anillo local , anillo semilocal
Anillo de valoración discreta
Anillo local regular
Anillo Cohen-Macaulay
Anillo Gorenstein
Anillo artiniano , anillo noetheriano
Anillo perfecto , anillo semiperfecto
Anillo Baer , anillo Rickart
Anillo de mentiras , álgebra de mentiras
- Ideal (álgebra de mentira)
Álgebra de Jordan
Álgebra diferencial
Álgebra de Banach

Ejemplos de

Número racional , número real , números complejos , Quaternions , octoniones
- Cuaternión de Hurwitz
Entero gaussiano

Teoremas y aplicaciones

Geometría algebraica
- Nullstellensatz de Hilbert
Teorema de la base de Hilbert
Teorema de Hopkins-Levitzki
Teorema del ideal principal de Krull
Teorema de levitzky
Teoría de Galois
- Teorema de Abel-Ruffini
Teorema de Artin-Wedderburn
Teorema de la densidad de Jacobson
El pequeño teorema de Wedderburn
Teorema de Lasker-Noether

Teoría de campo

Conceptos básicos

Campo (matemáticas)
Subcampo (matemáticas)
- Grupo multiplicativo
  - Elemento primitivo (teoría de campo)
Extensión de campo
- Extensión algebraica
  - División de campo
  - Campo algebraicamente cerrado
    - Elemento algebraico
    - Cierre algebraico
- Extensión separable
  - Polinomio separable
- Extensión normal
- Extensión de Galois
- Extensión abeliana
- Grado de trascendencia
Norma de campo
Traza de campo
Elemento conjugado (teoría de campo)
Producto tensorial de campos

Tipos

Campo numérico algebraico
Campo global
Campo local
Campo finito
Función simétrica
Campo formalmente real
Campo cerrado real

Aplicaciones

Teoría de Galois
- Grupo Galois
- Problema de Galois inverso
Teoría de Kummer

Teoría del módulo

General

Módulo (matemáticas)
Bimódulo
Aniquilador (teoría del anillo)

Estructura

Submódulo
- Submódulo puro
Homomorfismo del módulo
- Submódulo esencial
- Submódulo superfluo
- Submódulo singular
Zócalo de un módulo
Radical de un módulo

Construcciones

Módulo gratuito
Módulo de cociente
Suma directa , producto directo de módulos
Límite directo , límite inverso
Localización de un módulo
Terminación (teoría del anillo)

Tipos

Módulo simple , módulo semisimple
Módulo indecomponible
Módulo artiniano , módulo noetheriano
Tipos homológicos:
- Módulo proyectivo
  - Cobertura proyectiva
  - Teorema de cisne
  - Teorema de Quillen-Suslin
- Módulo inyectivo
  - Casco inyectable
- Módulo plano
  - Cubierta plana
Módulo coherente
Módulo generado finamente
Módulo finamente presentado
Módulo finamente relacionado
Módulo algebraicamente compacto
Módulo reflexivo

Conceptos y teoremas

Serie de composición
- Longitud de un módulo
Teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal
Dimensión homológica
- Dimensión proyectiva
- Dimensión inyectiva
- Dimensión plana
- Dimensión global
- Dimensión global débil
- Dimensión cohomológica
Dimensión Krull
Secuencia regular (álgebra) , profundidad (álgebra)
Encajar lema
Lema de Schur
El lema de Nakayama
Teorema de Krull-Schmidt
Lema de intercambio de Steinitz
Teorema de Jordan-Hölder
Lema de Artin-Rees
Lema de Schanuel
Equivalencia Morita
- Progenerador

Teoría de la representación

Representación de álgebra
Representación grupal
Representación del álgebra de mentiras
Teorema de maschke
Lema de Schur
Mapa equivariante
Reciprocidad de Frobenius
- Representación inducida
- Representación restringida
Representación afín
Representación proyectiva
Teoría de la representación modular
Carcaj (matemáticas)
Teoría de la representación de las álgebras de Hopf

Sistemas no asociativos

General

Propiedad asociativa , Asociado
Heap (matemáticas)
Magma (álgebra)
- Bucle (álgebra) , cuasigrupo
Anillo de efecto no asociativo , álgebra no asociativa
- Álgebra envolvente universal
- Álgebra de Lie ( ver también la lista de temas del grupo de Lie y la lista de temas de teoría de la representación )
- Álgebra de Jordan
- Álgebra alternativa
- Asociatividad de poder
- Álgebra flexible

Ejemplos de

Construcción Cayley – Dickson
- Octonions
- Sedenions
Cuaterniones hiperbólicos
Álgebra de Virasoro

Generalidades

Estructura algebraica
Álgebra universal
- Variedad (álgebra universal)
- Relación de congruencia
- Objeto libre
- Grupo electrógeno (álgebra universal)
- Clon (álgebra)
Kernel de una función
- Kernel (álgebra)
- Clase de isomorfismo
- Teorema del isomorfismo
- Teorema fundamental de los homomorfismos
Propiedad universal
Filtración (matemáticas)
Teoría de categorías
- Categoría monoidal
- Groupoid
- Objeto de grupo
- Coalgebra
- Bialgebra
- Álgebra de Hopf
- Objeto de magma
Torsión (álgebra)

Álgebra informática

Matemáticas simbólicas
- Aritmética de campos finitos
- Base Gröbner
- Algoritmo de Buchberger

Ver también

Lista de temas de álgebra conmutativa
Lista de temas de álgebra homológica
Lista de temas de álgebra lineal
Lista de estructuras algebraicas
Glosario de teoría de campos
Glosario de teoría de grupos
Glosario de teoría de anillos
Glosario de teoría tensorial