Lista de grupos de simetría esférica finita

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Grupos de puntos en tres dimensiones

Simetría involutiva C s , (*) [] =	Simetría cíclica C nv , (* nn) [n] =	Simetría diedro D nh , (* n22) [n, 2] =
Grupo poliédrico , [n, 3], (* n32)
Simetría tetraédrica T d , (* 332) [3,3] =	Octaédrica simetría O h , (* 432) [4,3] =	Simetría icosaédrica I h , (* 532) [5,3] =

Los grupos de simetría esférica finita también se denominan grupos de puntos en tres dimensiones . Hay cinco clases de simetría fundamental que tienen dominios fundamentales triangulares: simetría diedro , cíclico , tetraédrico , octaédrico e icosaédrico .

Este artículo enumera los grupos por notación de Schoenflies , notación de Coxeter , ^[1] notación orbifold , ^[2] y orden. John Conway usa una variación de la notación de Schoenflies, basada en la estructura algebraica de cuaterniones de los grupos , etiquetada con una o dos letras mayúsculas y subíndices de números enteros. El orden de grupo se define como el subíndice, a menos que el orden se duplique para los símbolos con un prefijo más o menos, "±", lo que implica una inversión central . ^[3]

También se proporciona la notación Hermann-Mauguin ( notación internacional). Los grupos de cristalografía , 32 en total, son un subconjunto con los órdenes de elementos 2, 3, 4 y 6. ^[4]

Simetría involutiva

Hay cuatro grupos involutivos : sin simetría (C ₁ ), simetría de reflexión (C _s ), simetría rotacional doble (C ₂ ) y simetría de punto central (C _i ).

Intl	Geo	Orbifold	Schönflies	Conway	Coxeter	Pedido	Abstracto	Fondo. dominio
1	1	11	C 1	C 1	] [ [] +	1	Z 1
2	2	22	D 1 = C 2	D 2 = C 2	[2] +	2	Z 2
1	22	×	C i = S 2	CC 2	[2 + , 2 + ]	2	Z 2
2 = m	1	*	C s = C 1v = C 1h	± C 1 = CD 2	[]	2	Z 2

Simetría cíclica

Hay cuatro familias de simetría cíclica infinitas , con n  = 2 o más. ( n puede ser 1 como caso especial ya que no hay simetría )

Intl	Geo	Orbifold	Schönflies	Conway	Coxeter	Pedido	Abstracto	Fondo. dominio
4	42	2 ×	S 4	CC 4	[2 + , 4 + ]	4	Z 4
2 / m	2 2	2 *	C 2h = D 1d	± C 2 = ± D 2	[2,2 + ] [2 + , 2]	4	Z 4

Intl	Geo	Orbifold	Schönflies	Conway	Coxeter	Pedido	Abstracto	Fondo. dominio
2 3 4 5 6 n	2 3 4 5 6 n	22 33 44 55 66 nn	C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C n	C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C n	[2] + [3] + [4] + [5] + [6] + [n] +	2 3 4 5 6 n	Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 Z 6 Z n
2 mm 3 m 4 mm 5 m 6 mm nm (n es impar) nmm (n es par)	2 3 4 5 6 n	* 22 * 33 * 44 * 55 * 66 * nn	C 2v C 3v C 4v C 5v C 6v C nv	CD 4 CD 6 CD 8 CD 10 CD 12 CD 2n	[2] [3] [4] [5] [6] [n]	4 6 8 10 12 2n	D 4 D 6 D 8 D 10 D 12 D 2 n
3 8 5 12 -	62 82 10,2 12,2 2n.2	3 × 4 × 5 × 6 × n ×	S 6 S 8 S 10 S 12 S 2n	± C 3 CC 8 ± C 5 CC 12 CC 2n / ± C n	[2 + , 6 + ] [2 + , 8 + ] [2 + , 10 + ] [2 + , 12 + ] [2 + , 2n + ]	6 8 10 12 2n	Z 6 Z 8 Z 10 Z 12 Z 2 n
3 / m = 6 4 / m 5 / m = 10 6 / m n / m	3 2 4 2 5 2 6 2 n 2	3 * 4 * 5 * 6 * n *	C 3h C 4h C 5h C 6h C nh	CC 6 ± C 4 CC 10 ± C 6 ± C n / CC 2n	[2,3 + ] [2,4 + ] [2,5 + ] [2,6 + ] [2, n + ]	6 8 10 12 2n	Z 6 Z 2 × Z 4 Z 10 Z 2 × Z 6 Z 2 × Z n ≅Z 2 n ( n impar )

Simetría diedro

Hay tres familias de simetría diédrica infinitas , con n = 2 o más ( n puede ser 1 como caso especial).

Intl	Geo	Orbifold	Schönflies	Conway	Coxeter	Pedido	Abstracto	Fondo. dominio
222	2 . 2	222	D 2	D 4	[2,2] +	4	D 4
4 2m	4 2	2 * 2	D 2d	DD 8	[2 + , 4]	8	D 4
mmm	22	* 222	D 2h	± D 4	[2,2]	8	Z 2 × D 4

Intl	Geo	Orbifold	Schönflies	Conway	Coxeter	Pedido	Abstracto	Fondo. dominio
32 422 52 622	3 . 2 4 . 2 5 . 2 6 . 2 n . 2	223 224 225 226 22n	D 3 D 4 D 5 D 6 D n	D 6 D 8 D 10 D 12 D 2n	[2,3] + [2,4] + [2,5] + [2,6] + [2, n ] +	6 8 10 12 2 n	D 6 D 8 D 10 D 12 D 2 n
3 m 8 2m 5 m 12 .2m	6 2 8 2 10. 2 12. 2 n 2	2 * 3 2 * 4 2 * 5 2 * 6 2 * n	D 3d D 4d D 5d D 6d D nd	± D 6 DD 16 ± D 10 DD 24 DD 4n / ± D 2n	[2 + , 6] [2 + , 8] [2 + , 10] [2 + , 12] [2 + , 2n]	12 16 20 24 4n	D 12 D 16 D 20 D 24 D 4 n
6 m2 4 / mmm 10 m2 6 / mmm	32 42 52 62 n2	* 223 * 224 * 225 * 226 * 22n	D 3h D 4h D 5h D 6h D nh	DD 12 ± D 8 DD 20 ± D 12 ± D 2n / DD 4n	[2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2, n]	12 16 20 24 4n	D 12 Z 2 × D 8 D 20 Z 2 × D 12 Z 2 × D 2 n ≅D 4 n ( n impar )

Simetría poliédrica

Más información: grupos poliédricos

Hay tres tipos de simetría poliédrica : simetría tetraédrica , simetría octaédrica y simetría icosaédrica , que reciben su nombre de los poliedros regulares de caras triangulares con estas simetrías.

Simetría tetraédrica

Intl	Geo	Orbifold	Schönflies	Conway	Coxeter	Pedido	Abstracto	Fondo. dominio
23	3 . 3	332	T	T	[3,3] + = [4,3 + ] +	12	A 4
m 3	4 3	3 * 2	T h	± T	[4,3 + ]	24	2 × A 4
4 3m	33	* 332	T d	PARA	[3,3] = [1 + , 4,3]	24	S 4

Simetría octaédrica

Intl	Geo	Orbifold	Schönflies	Conway	Coxeter	Pedido	Abstracto	Fondo. dominio
432	4 . 3	432	O	O	[4,3] + = [[3,3]] +	24	S 4
m 3 m	43	* 432	O h	± O	[4,3] = [[3,3]]	48	2 × S 4

Simetría icosaédrica

Intl	Geo	Orbifold	Schönflies	Conway	Coxeter	Pedido	Abstracto	Fondo. dominio
532	5 . 3	532	I	I	[5,3] +	60	A 5
53 2 / m	53	* 532	Yo h	± yo	[5,3]	120	2 × A 5

Ver también

• Grupo de puntos cristalográficos
• Grupo triangular
• Lista de grupos de simetría plana
• Grupos de puntos en dos dimensiones

Notas

1. Johnson, 2015
2. Conway, 2008
3. Conway, 2003
4. Arenas, 1993

Referencias

• Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), Apéndice I
• Sands, Donald E. (1993). "Sistemas cristalinos y geometría". Introducción a la Cristalografía . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. p. 165. ISBN 0-486-67839-3.
• Sobre cuaterniones y octoniones , 2003, John Horton Conway y Derek A. Smith ISBN 978-1-56881-134-5 
• Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 
• Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
  • (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• NW Johnson : Geometries and Transformations , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finitos , Tabla 11.4 Grupos finitos de isometrías en 3 espacios 

enlaces externos

• Grupos de simetría esférica finita
• Weisstein, Eric W. "Símbolo de Schoenflies" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Grupos de puntos cristalográficos" . MathWorld .
• Los poliedros canónicos más simples de cada tipo de simetría , por David I. McCooey