A lo largo de este artículo, las letras mayúsculas como y denotará conjuntos y denotará el conjunto de potencia de Si es necesario, a menos que se indique lo contrario, se debe suponer que denota el conjunto de universos , lo que significa que todos los conjuntos que se utilizan en la fórmula son subconjuntos deEn particular, el complemento de un conjunto será denotado por donde a menos que se indique lo contrario, se debe suponer que denota el complemento de En el universo)
dónde Esta definición puede depender del contexto. Por ejemplo, tenía ha sido declarado como un subconjunto de con los sets y no necesariamente relacionados entre sí de ninguna manera, entonces probablemente significaría en vez de
Álgebra de conjuntos
Una familia de subconjuntos de un conjunto se dice que es un álgebra de conjuntos si y para todos los tres conjuntos y son elementos de [3] El artículo sobre este tema enumera las identidades de conjuntos y otras relaciones de estas tres operaciones.
Dada cualquier familia de subconjuntos de hay un álgebra de conjuntos única más pequeña [nota 1] en conteniendo [3] Se llama álgebra generada por y lo denotaremos por Esta álgebra se puede construir de la siguiente manera: [3]
Si luego y terminamos. Alternativamente, si está vacío entonces puede ser reemplazado con o y continuar con la construcción.
Dejar ser la familia de todos los conjuntos en junto con sus complementos (tomados en ).
Dejar ser la familia de todas las posibles intersecciones finitas de conjuntos en [nota 2]
Entonces el álgebra generada por es el set que consta de todas las posibles uniones finitas de conjuntos en
La siguiente proposición dice que para cualquier conjunto el conjunto de poder deordenada por inclusión, es un retículo acotado y, por lo tanto, junto con las leyes distributivas y complementarias anteriores, muestra que es un álgebra booleana .
Existencia de un elemento mínimo y un elemento mayor :
Existencia de uniones : [4]
Si y luego
Existencia de encuentros : [4]
Si y luego
Otras propiedades
Si y luego [4]
Si luego
Operaciones de conjuntos múltiples
Expresando operaciones de conjuntos básicos
Identidades que involucran la resta de conjuntos y otra operación de conjuntos
En el lado izquierdo de las siguientes identidades, es el L eft más establecido,es el conjunto M iddle, yes el R ight más set.
Establecer resta que aparece a la izquierda de otra operación de conjunto
Así que si luego
[5]
Establecer resta que aparece a la derecha de otra operación de conjunto
[5]
Si luego [5]
Identidades que involucran dos operaciones de conjuntos distintas de la resta de conjuntos
Familias arbitrarias de conjuntos
Dejar y ser familias de conjuntos . Siempre que se necesite la suposición, todos los conjuntos de indexación, como y se supone que no están vacíos.
Definiciones
Uniones arbitrarias definidas
[4]
( Def.1 )
Si luego que es algo llamado la convención de unión nulary (a pesar de ser llamada una convención, esta igualdad se deriva de la definición).
Intersecciones arbitrarias definidas
Si luego [4]
( Def.2 )
Intersecciones nulares
Si luego
donde todo lo posible en el universo vacuosamente satisfecho la condición: "si luego ". Como consecuencia, consta de todo en el universo.
Así que si y:
si está trabajando en un modelo en el que existe un conjunto de universos luego
de lo contrario, si trabaja en un modelo en el que "la clase de todas las cosas"no es un conjunto (con mucho, la situación más común), entonces no está definido . Esto es porqueconsta de todo , lo que haceuna clase adecuada y no un conjunto.
Supuesto : de ahora en adelante, siempre que una fórmula requiera que algún conjunto de indexación no esté vacío para que una intersección arbitraria esté bien definida, esto se asumirá automáticamente sin mencionarlo.
Una consecuencia de esto es la siguiente suposición / definición:
Una intersección finita de conjuntos o una intersección de un número finito de conjuntos se refiere a la intersección de una colección finita de uno o más conjuntos.
Algunos autores adoptan la llamada convención de intersección nular , que es la convención de que una intersección vacía de conjuntos es igual a algún conjunto canónico. En particular, si todos los conjuntos son subconjuntos de algún conjunto entonces algún autor puede declarar que la intersección vacía de estos conjuntos es igual a Sin embargo, la convención de intersección nulary no es tan comúnmente aceptada y este artículo no la adoptará (esto se debe al hecho de que, a diferencia de la unión vacía, el valor de la intersección vacía depende de X, por lo que si hay varios conjuntos en consideración, que suele ser el caso, entonces el valor de la intersección vacía corre el riesgo de volverse ambiguo).
Conmutatividad y asociatividad
[4]
[4]
Sindicatos de sindicatos e intersecciones de intersecciones
[4]
[4]
[4]
( Ecuación 2a )
[4]
( Ecuación 2b )
y si luego también: [nota 3]
[4]
( Ecuación 2c )
[4]
( Ecuación 2d )
Distribuir uniones e intersecciones
Intersección binaria de uniones arbitrarias
( Ecuación 3a )
[5]
( Ecuación 3b )
Es importante destacar que si entonces en general, (ver esta nota a pie de página [nota 4] para ver un ejemplo). La unión única en el lado derecho debe estar sobre todos los pares : Lo mismo suele ser cierto para otras igualdades y relaciones de conjuntos no triviales similares que dependen de dos conjuntos de indexación (potencialmente no relacionados) y (como la ecuación 4b o la ecuación 7g [5] ). Dos excepciones son la Ec. 2c (uniones de sindicatos) y Eq. 2d (intersecciones de intersecciones), pero ambos se encuentran entre los conjuntos de igualdad más triviales y, además, incluso para estas igualdades todavía hay algo que debe probarse. [nota 3]
Unión binaria de intersecciones arbitrarias
( Ecuación 4a )
[5]
( Ecuación 4b )
Intersecciones arbitrarias y uniones arbitrarias
Intercambio ingenuo y puede producir un conjunto diferente
La siguiente inclusión siempre es válida:
(La inclusión 1 ∪∩ es un subconjunto de ∩∪ )
En general, la igualdad no tiene por qué ser válida y, además, el lado derecho depende de cómo, para cada los conjuntos están etiquetados (consulte esta nota al pie [nota 5] para ver un ejemplo) y la declaración análoga también es válida para el lado izquierdo. La igualdad puede darse en determinadas circunstancias, como en 7e y 7f , que son, respectivamente, los casos especiales en los que y (para 7f , y se intercambian).
Fórmula para la igualdad
Para una igualdad de conjuntos que amplíe las leyes distributivas, un enfoque diferente al de simplemente cambiar y es necesario. Supongamos que para cada hay un conjunto de índices no vacío y para cada dejar ser cualquier conjunto (por ejemplo, con usar para todos y use para todos y todo ). Dejar
ser el producto cartesiano , que puede interpretarse como el conjunto de todas las funciones tal que para cada Luego
( Ecuación 5 ∩∪ a ∪∩ )
( Ec. 6 ∪∩ a ∩∪ )
dónde
Aplicación de ejemplo : en el caso particular donde todos son iguales (es decir, para todos que es el caso de la familia por ejemplo), luego dejando denotar este conjunto común, este conjunto estarán ; es decir será el conjunto de todas las funciones del formulario Lo anterior establece igualdades Eq. 5 ∩∪ a ∪∩ y Eq. 6 ∪∩ a ∩∪ , respectivamente se convierten en:
[4]
[4]
que cuando se combina con la Inclusión 1 ∪∩ es un subconjunto de ∩∪ implica:
donde los índices y (por ) se utilizan en el lado derecho mientras y (por ) se utilizan en el lado izquierdo.
Aplicación de ejemplo : Aplicar la fórmula general al caso de y usar y deja para todos y deja para todos Cada mapa puede identificarse biyectivamente con el par (lo inverso envía al mapa definido por y ; esto es técnicamente solo un cambio de notación). Expandiendo y simplificando el lado izquierdo de la Ec. 5 ∩∪ a ∪∩ , cuyo recuerdo fue
da
y haciendo lo mismo en el lado derecho da:
Por lo tanto, la identidad general Eq. 5 ∩∪ a ∪∩ se reduce a la igualdad establecida previamente dada Eq. 3b :
Distribuir resta
( Ecuación 7a )
( Ecuación 7b )
(Ley de De Morgan) [5]
( Ecuación 7c )
(Ley de De Morgan) [5]
( Ecuación 7d )
Las siguientes igualdades de conjuntos se pueden deducir de las igualdades 7a - 7d anteriores (consulte esta nota sobre por qué las siguientes igualdades son atípicas):
( Ecuación 7e )
( Ecuación 7f )
( Ecuación 7g )
( Ecuación 7h )
Distribuir productos
Si luego
Si luego en general (es decir, a menos que y como se identifica de alguna manera como el mismo conjunto a través de alguna biyección o uno de estos productos se identifica como un subconjunto del otro a través de algún mapa inyectivo ), por lo que solo el caso es útil.
Por ejemplo, si y con todos los conjuntos iguales a luego y dónde a menos que , por ejemplo, se identifica como un subconjunto de a través de alguna inyección , como tal vezpor ejemplo; sin embargo, en este caso particular el producto en realidad representa el -producto indexado dónde
De manera más general, si es una familia de conjuntos entonces
Además, una tupla pertenece al conjunto anterior si y solo si para todos y todo
Mapas y decorados
Definiciones
Dejar ser cualquier función, donde denotamos su dominio por y denotar su codominio por
Muchas de las identidades a continuación no requieren que los conjuntos estén relacionados de alguna manera con dominio o codominio de o ) por lo que cuando sea necesario algún tipo de relación se indicará claramente. Debido a esto, en este artículo, si S se declara como " cualquier conjunto ", y no se indica que debe estar relacionado de alguna manera con o (digamos, por ejemplo, que sea un subconjunto o ) entonces significa que es verdaderamente arbitrario. [nota 6] Esta generalidad es útil en situaciones en las que es un mapa entre dos subconjuntos y de algunos conjuntos más grandes y y donde el set podría no estar completamente contenido en y / o (por ejemplo, si todo lo que se sabe sobre es eso ); En tal situación, puede ser útil saber qué se puede y qué no se puede decir sobre y / o sin tener que introducir una intersección (potencialmente innecesaria) como: y / o
Imágenes y preimágenes de decorados
Si es cualquier conjunto, entonces la preimagen de debajo se define como el conjunto:
y la imagen de debajo es:
Denote la imagen o rango de cual es el set por o :
Conjuntos saturados
Un conjunto se ha dicho - saturado o simplemente saturado si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
Existe un conjunto tal que
Cualquiera de esos conjuntos necesariamente contiene como un subconjunto.
Para un juego ser - estar -saturada, es necesario que
Composiciones y restricciones de funciones
Si y son mapas entonces denota el mapa de composición
definido por
with and
The restriction of to denoted by is the map
with defined by sending to that is, Alternatively, where denotes the natural inclusion, which is defined by
Finitely many sets
Let be any function.
Let and be completely arbitrary sets. Assume and
Pulling set operations out of images or preimages
Image
Preimage
Additional assumptions on sets
[6]
[4]
None
Equality holds if any of the following are true:
is injective.[7]
The restriction is injective.
[note 7]
or is -saturated; that is, or .
or
or
[4]
None
Equality holds if any of the following are true:
is injective.
The restriction is injective.
[note 7]
is -saturated; that is, [note 7]
[8][4]
None
If is surjective then [note 8]
[note 9]
None
Equality holds if any of the following are true:
is injective.
The restriction is injective.
None
None
and are functions.
Counter-examples:
This example shows that the set containments listed in the leftmost column of the above table can be strict/proper: Let be constant with range and let be non-empty and disjoint subsets (i.e. and which implies and ).
The containment is strict:
The containment is strict:
The containment is strict:
where because so is not empty.
The containment is strict:
Other identities
Image
Preimage
Additional assumptions on sets
None
None
None
None
Equivalences and implications of images and preimages
Image
Preimage
Additional assumptions on sets
implies [8]
implies [8]
None
if and only if
None
if and only if
if and only if
None
if and only if
if and only if
and
The following are equivalent:
The following are equivalent:
If then if and only if
The following are equivalent when
for some
for some
The following are equivalent:
and
The following are equivalent when
and
The following are equivalent:
The following are equivalent:
and
Also:
if and only if [8]
Images of preimages and preimages of images
Let and be arbitrary sets, be any map, and let and .
Image of preimage
Preimage of image
Additional assumptions on sets
[8]
None
[8]
Equality holds if and only if the following is true:
[9][10]
Equality holds if any of the following are true:
and is surjective.
Equality holds if and only if the following is true:
is -saturated.
Equality holds if any of the following are true:
is injective.[9][10]
None
[11]
Equality holds if any of the following are true:
[8]
None
None
Arbitrarily many sets
Images and preimages of unions and intersections
Images and preimages of unions are always preserved. Inverse images preserve both unions and intersections. It is onlyimages of intersections that are not always preserved.
If is a family of arbitrary sets indexed by then:[8]
If all are -saturated then be will be -saturated and equality will hold in the last relation above. Explicitly, this means:
IF for all
(Conditional Equality 10a)
If is a family of arbitrary subsets of which means that for all then Conditional Equality 10a becomes:
IF for all
(Conditional Equality 10b)
Preimage from a Cartesian product
This subsection will discuss the preimage of a subset under a map of the form For every
let denote the canonical projection onto and
let
so that which is also the unique map satisfying: for all The map should not be confused with the Cartesian product of these maps, which is by definition the map
defined by sending to
Observation — If and then
If then equality will hold:
(Eq. 11a)
For equality to hold, it suffices for there to exist a family of subsets such that in which case:
(Eq. 11b)
and for all
Familias de conjuntos
Definitions
A family of sets or simply a family is a set whose elements are sets. A family over is a family of subsets of The power set of a set is the set of all subsets of :
If and are families of sets and if is any set then define:[12]
which are respectively called elementwiseunion, elementwiseintersection, elementwise (set) difference, elementwisesymmetric difference, and the trace/restriction of to The regular union, intersection, and set difference are all defined as usual and are denoted with their usual notation: and respectively. These elementwise operations on families of sets play an important role in, among other subjects, the theory of filters and prefilters on sets.
The upward closure in of a family is the family:
and the downward closure of is the family:
Categories of families of sets
A family is called isotone, ascending, or upward closed in if and [12] A family is called downward closed if
A family is said to be:
closed under finite intersections (resp. closed under finite unions) if whenever then (respectively, ).
closed under countable intersections (resp. closed under countable unions) if whenever are elements of then so is their intersections (resp. so is their union ).
closed under complementation in (or with respect to) if whenever then
A family of sets is called a/an:
π−system if and is closed under finite-intersections.
Every non-empty family is contained in a unique smallest (with respect to ) π−system that is denoted by and called the π−system generated by
filter subbase and is said to have the finite intersection property if and
filter on if is a family of subsets of that is a π−system, is upward closed in and is also proper, which by definition means that it does not contain the empty set as an element.
prefilter or filter base if it is a non-empty family of subsets of some set whose upward closure in is a filter on
algebra on X {\displaystyle X} is a non-empty family of subsets of that contains the empty set, forms a π−system, and is also closed under complementation with respect to
σ-algebra on is an algebra on that is closed under countable unions (or equivalently, closed under countable intersections).
Basic properties
Suppose and are families of sets over
Commutativity: [12]
Associativity: [12]
Identity:
Domination:
Ver también
Algebra of sets
Complement (set theory)
Image (mathematics)#Properties
Intersection (set theory)
Naive set theory
Set (mathematics)
Simple theorems in the algebra of sets
Symmetric difference (set theory)
Union (set theory)
Notas
^Here "smallest" means relative to subset containment. So if is any algebra of sets containing then
^Since there is some such that its complement also belongs to The intersection of these two sets implies that The union of these two sets is equal to which implies that
^ a bTo deduce Eq. 2c from Eq. 2a, it must still be shown that so Eq. 2c is not a completely immediate consequence of Eq. 2a. (Compare this to the commentary about Eq. 3b).
^Let and let Let and let Then
^To see why equality need not hold when and are swapped, let and let and Then If and are swapped while and are unchanged, which gives rise to the sets and then In particular, the left hand side is no longer which shows that the left hand side depends on how the sets are labelled. Had instead and been swapped (with and unchanged) then both the left hand side and right hand side would have been equal to which shows that both sides depend on how the sets are labeled.
^So, for instance, it's even possible that or that and (which happens, for instance, if ), etc.
^ a b cNote that this condition depends entirely on and not on
^ can be rewritten as:
^The conclusion can also be written as:
Citas
^Taylor, Courtney (March 31, 2019). "What Is Symmetric Difference in Math?". ThoughtCo. Retrieved 2020-09-05.
^Weisstein, Eric W. "Symmetric Difference". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-09-05.
^ a b c d"Algebra of sets". Encyclopediaofmath.org. 16 August 2013. Retrieved 8 November 2020.
^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z aa abMonk 1969, pp. 24-54.
^ a b c d e f g hCsászár 1978, pp. 15-26. sfn error: no target: CITEREFCsászár1978 (help)
^Kelley 1985, p. 85
^See Munkres 2000, p. 21
^ a b c d e f g hCsászár 1978, pp. 102-120. sfn error: no target: CITEREFCsászár1978 (help)
^ a bSee Halmos 1960, p. 39
^ a bSee Munkres 2000, p. 19
^See p.388 of Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed.
^ a b c dCsászár 1978, pp. 53-65. sfn error: no target: CITEREFCsászár1978 (help)
Referencias
Artin, Michael (1991). Algebra. Prentice Hall. ISBN 81-203-0871-9.
Blyth, T.S. (2005). Lattices and Ordered Algebraic Structures. Springer. ISBN 1-85233-905-5..
Courant, Richard, Herbert Robbins, Ian Stewart, What is mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press US, 1996. ISBN 978-0-19-510519-3. "SUPPLEMENT TO CHAPTER II THE ALGEBRA OF SETS".
Császár, Ákos (1978). General topology. Translated by Császár, Klára. Bristol England: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4. OCLC 4146011.
Dixmier, Jacques (1984). General Topology. Undergraduate Texts in Mathematics. Translated by Berberian, S. K. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303.
Dolecki, Szymon; Mynard, Frederic (2016). Convergence Foundations Of Topology. New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.
Dugundji, James (1966). Topology. Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403.
Joshi, K. D. (1983). Introduction to General Topology. New York: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC 9218750.
Kelley, John L. (1985). General Topology. Graduate Texts in Mathematics. 27 (2 ed.). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
Köthe, Gottfried (1969). Topological Vector Spaces I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 159. Translated by Garling, D.J.H. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704.
Monk, James Donald (1969). Introduction to Set Theory (PDF). International series in pure and applied mathematics. New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-042715-0. OCLC 1102.
Munkres, James R. (2000). Topology (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.
Stoll, Robert R.; Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4. "The Algebra of Sets", pp 16—23.
Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.
Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology. Dover Books on Mathematics (First ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.
Munkres, James R. (2000). Topology (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.