Simetría involutiva C s , (*) [] = | Simetría cíclica C nv , (* nn) [n] = | Simetría diedro D nh , (* n22) [n, 2] = | |
Grupo poliédrico , [n, 3], (* n32) | |||
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Simetría tetraédrica T d , (* 332) [3,3] = | Octaédrica simetría O h , (* 432) [4,3] = | Simetría icosaédrica I h , (* 532) [5,3] = |
En la geometría tridimensional , hay cuatro series infinitas de grupos de puntos en tres dimensiones ( n ≥1) con n- simetría rotacional o de reflexión alrededor de un eje (por un ángulo de 360 ° / n ) que no cambia el objeto.
Son los grupos de simetría finitos en un cono . Para n = ∞ corresponden a cuatro grupos de frisos . Se utiliza la notación de moscas de Schön . Los términos horizontal (h) y vertical (v) implican la existencia y dirección de reflejos con respecto a un eje de simetría vertical. También se muestran la notación de Coxeter entre paréntesis y, entre paréntesis, la notación orbifold .
Tipos
- Quiral
- C n , [n] + , ( nn ) de orden n - n- simetría rotacional - grupo acro-n-gonal (grupo abstracto Z n ); para n = 1: sin simetría ( grupo trivial )
- Achiral
- C nh , [n + , 2], ( n *) de orden 2 n - simetría prismática o grupo orto-n-gonal (grupo abstracto Z n × Dih 1 ); para n = 1 esto se denota por C s (1 *) y se llama simetría de reflexión , también simetría bilateral . Tiene simetría de reflexión con respecto a un plano perpendicular aleje de rotación n pliegues.
- C nv , [n], (* nn ) de orden 2 n - simetría piramidal o grupo acro-n-gonal completo (grupo abstracto Dih n ); en biología, C 2v se llama simetría birradial . Para n = 1 tenemos nuevamente C s (1 *). Tiene planos de espejo verticales. Este es el grupo de simetría de una pirámide regular de n lados.
- S 2n , [2 + , 2n + ], ( n ×) de orden 2 n - grupo giro-n-gonal (no confundir con grupos simétricos , para los cuales se usa la misma notación; grupo abstracto Z 2n ); Tiene un 2 n -fold rotoreflection eje, también llamado 2 n -fold eje de rotación inadecuada, es decir, el grupo de simetría contiene una combinación de una reflexión en el plano horizontal y una rotación en un ángulo 180 ° / n. Así, como D nd , contiene una serie de rotaciones impropias sin contener las rotaciones correspondientes.
- para n = 1 tenemos S 2 ( 1 × ), también denotado por C i ; esto es simetría de inversión .
C 2h , [2,2 + ] (2 *) y C 2v , [2], (* 22) de orden 4 son dos de los tres tipos de grupos de simetría 3D con el grupo de cuatro de Klein como grupo abstracto. C 2v se aplica, por ejemplo, a una loseta rectangular con su lado superior diferente del lado inferior.
Grupos de friso
En el límite, estos cuatro grupos representan grupos de frisos planos euclidianos como C ∞ , C ∞h , C ∞v y S ∞ . Las rotaciones se convierten en traslaciones en el límite. Las porciones del plano infinito también se pueden cortar y conectar en un cilindro infinito.
Notaciones | Ejemplos de | ||||
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IUC | Orbifold | Coxeter | Schönflies * | Plano euclidiano | Cilíndrico (n = 6) |
p1 | ∞∞ | [∞] + | C ∞ | ||
p1m1 | * ∞∞ | [∞] | C ∞v | ||
p11m | ∞ * | [∞ + , 2] | C ∞h | ||
p11g | ∞ × | [∞ + , 2 + ] | S ∞ |
Ejemplos de
S 2 / C i (1x): | C 4v (* 44): | C 5v (* 55): | |
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Paralelepípedo | Pirámide cuadrada | Pirámide cuadrada alargada | Pirámide pentagonal |
Ver también
Referencias
- Sands, Donald E. (1993). "Sistemas cristalinos y geometría". Introducción a la Cristalografía . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. p. 165 . ISBN 0-486-67839-3.
- Sobre cuaterniones y octoniones , 2003, John Horton Conway y Derek A. Smith ISBN 978-1-56881-134-5
- Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- NW Johnson : geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finitos , 11.5 Grupos esféricos de Coxeter