Los teoremas de rigidez local en la teoría de subgrupos discretos de grupos de Lie son resultados que muestran que las pequeñas deformaciones de ciertos subgrupos de este tipo son siempre triviales. Es diferente de la rigidez de Mostow y más débil (pero se mantiene con más frecuencia) que la superrigidez .
Historia
El primer teorema de este tipo fue probado por Atle Selberg para subgrupos discretos co-compactos de los grupos unimodulares. [1] Poco después, Eugenio Calabi demostró una afirmación similar en el marco de grupos fundamentales de variedades hiperbólicas compactas. Finalmente, André Weil extendió el teorema a todos los subgrupos co-compactos de grupos de Lie semisimplejos . [2] [3] Howard Garland y Madabusi Santanam Raghunathan hicieron más tarde la extensión a celosías no compactas . [4] El resultado ahora se conoce como rigidez Calabi-Weil (o simplemente Weil).
Declaración
Deformaciones de subgrupos
Dejar ser un grupo generado por un número finito de elementos y un grupo de mentiras. Entonces el mapa definido por es inyectable y esto dota con una topología inducida por la de. Si es un subgrupo de luego una deformación de es cualquier elemento en . Dos representaciones se dice que están conjugados si existe un tal que para todos . Véase también variedad de personajes .
Celosías en grupos simples que no sean de tipo A1 o A1 × A1
La declaración más simple es cuando es una celosía en un grupo de Lie simple y este último no es localmente isomorfo a o y (esto significa que su álgebra de Lie no es la de uno de estos dos grupos).
- Existe un barrio en de la inclusión tal que cualquiera se conjuga a .
Siempre que tal afirmación sea válida para un par diremos que la rigidez local se mantiene.
Celosías en
La rigidez local se mantiene para celosías cocompactas en . Una celosía en lo que no es cocompacto tiene deformaciones no triviales provenientes de la teoría de la cirugía de Dehn hiperbólica de Thurston . Sin embargo, si se agrega la restricción de que una representación debe enviar elementos parabólicos en a los elementos parabólicos, entonces se mantiene la rigidez local.
Celosías en
En este caso, la rigidez local nunca se mantiene. Para las celosías cocompactas, una pequeña deformación sigue siendo una celosía cocompacta, pero puede no estar conjugada con la original (ver espacio de Teichmüller para más detalles). Las celosías no compactas son prácticamente libres y, por lo tanto, tienen deformaciones sin celosía.
Grupos de Semisimple Lie
La rigidez local se mantiene para las celosías en grupos de Lie semisimple siempre que estos últimos no tengan un factor de tipo A1 (es decir, localmente isomorfo a o ) o el primero es irreductible.
Otros resultados
También hay resultados de rigidez local donde se cambia el grupo ambiental, incluso en el caso de que falle la superrigidez. Por ejemplo, sies una celosía en el grupo unitario y luego la inclusión es localmente rígido. [5]
Una celosía uniforme en cualquier grupo topológico generado de forma compacta es topológicamente localmente rígido , en el sentido de que cualquier deformación suficientemente pequeña de la inclusión es inyectable y es una celosía uniforme en . Una celosía uniforme irreductible en el grupo de isometría de cualquier geodésico completo apropiado-espacio no isométrico al plano hiperbólico y sin factores euclidianos es localmente rígido. [6]
Pruebas del teorema
La prueba original de Weil es relacionar las deformaciones de un subgrupo en al primer grupo de cohomología de con coeficientes en el álgebra de Lie de , y luego mostrar que esta cohomología se desvanece para las celosías cocompactas cuando no tiene un factor simple de tipo absoluto A1. Una demostración más geométrica que también funciona en los casos no compactos utiliza la teoría de Charles Ehresmann (y William Thurston ) deestructuras. [7]
Referencias
- ^ Selberg, Atle (1960). "Sobre grupos discontinuos en espacios simétricos de mayor dimensión". Contribuciones a la teoría funcional . Tata Institut, Bombay. págs. 100-110.
- ^ Weil, André (1960), "Sobre subgrupos discretos de grupos de Lie", Annals of Mathematics , Second Series, 72 : 369–384, doi : 10.2307 / 1970140 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970140 , MR 0137792
- ^ Weil, André (1962), "Sobre subgrupos discretos de grupos de Lie. II", Annals of Mathematics , Second Series, 75 : 578–602, doi : 10.2307 / 1970212 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970212 , MR 0137793
- ^ Garland, Howard; Raghunathan, M. ~ S. (1970). "Dominios fundamentales para celosías en grupos R -rank 1 Lie". Annals of Mathematics . 92 : 279–326. doi : 10.2307 / 1970838 .
- ^ Goldman, William; Millson, John (1987), "Rigidez local de grupos discretos que actúan en un espacio hiperbólico complejo", Inventiones Mathematicae , 88 : 495–520, Bibcode : 1987InMat..88..495G , doi : 10.1007 / bf01391829
- ^ Gelander, Tsachik; Levit, Arie (2017), "Rigidez local de celosías uniformes", Commentarii Mathematici Helvetici , arXiv : 1605.01693
- ^ Bergeron, Nicolas; Gelander, Tsachik (2004). "Una nota sobre la rigidez local". Geometriae Dedicata . Kluwer. 107 : 111-131. arXiv : 1702.00342 . doi : 10.1023 / b: geom.0000049122.75284.06 .