En las matemáticas de la teoría de módulos , dado un algebraica , reductora , grupo de Lie y un grupo finitamente generado , la - variedad de caracteres de es un espacio de clases de equivalencia de homomorfismos grupales
Más precisamente, actúa sobre por conjugación , y dos homomorfismos se definen como equivalentes (denotados) si y solo si sus cierres de órbita se cruzan. Ésta es la relación de equivalencia más débil en el conjunto de órbitas de conjugación que produce un espacio de Hausdorff .
Formulación
Formalmente, y cuando el grupo algebraico se define sobre los números complejos , la -La variedad de caracteres es el espectro de ideales primos del anillo de invariantes (es decir, el cociente GIT ).
Aquí, de manera más general, se pueden considerar campos algebraicamente cerrados de característica principal. En esta generalidad, las variedades de caracteres son solo conjuntos algebraicos y no son variedades reales. Para evitar problemas técnicos, a menudo se considera el espacio reducido asociado dividiendo por el radical de 0 (eliminando nilpotentes ). Sin embargo, esto tampoco produce necesariamente un espacio irreductible. Además, si reemplazamos el grupo complejo por un grupo real, es posible que ni siquiera obtengamos un conjunto algebraico. En particular, un subgrupo compacto máximo generalmente da un conjunto semi-algebraico . Por otro lado, siempre quees gratis siempre obtenemos una variedad honesta; sin embargo, es singular.
Ejemplos de
Por ejemplo, si y está libre de rango dos, entonces la variedad de caracteres es , ya que por un teorema de Robert Fricke , Felix Klein y Henri G. Vogt, su anillo de coordenadas es isomorfo al anillo polinomial complejo en 3 variables,. Restringiendo a da una bola tridimensional real cerrada (semi-algebraica, pero no algebraica).
Otro ejemplo, también estudiado por Vogt y Fricke-Klein es el caso de y está libre de rango tres. Entonces la variedad de caracteres es isomorfa a la hipersuperficie en dado por la ecuación .
Variantes
Esta construcción de la variedad de caracteres no es necesariamente la misma que la de Marc Culler y Peter Shalen (generada por evaluaciones de rastros), aunque cuandoestán de acuerdo, ya que Claudio Procesi ha demostrado que en este caso el anillo de invariantes se genera de hecho solo por trazas. Dado que las funciones de traza son invariantes por todos los automorfismos internos, la construcción de Culler-Shalen esencialmente asume que estamos actuando por en incluso si . [ aclaración necesaria ]
Por ejemplo, cuando es un grupo libre de rango 2 y, la acción de conjugación es trivial y la -La variedad de caracteres es el toro
Pero el álgebra de trazas es una subálgebra estrictamente pequeña (hay menos invariantes). Esto proporciona una acción involutiva sobre el toro que debe tenerse en cuenta para producir la variedad de caracteres Culler-Shalen. La involución en este toro produce una 2-esfera. El punto es que hasta-conjugación todos los puntos son distintos, pero la traza identifica elementos con diferentes elementos anti-diagonal (la involución).
Conexión a la geometría
Hay una interacción entre estos espacios modulares y los espacios módulos de haces principales , paquetes del vector , haces de Higgs , y estructuras geométricas en espacios topológicos, dada en general por la observación de que, al menos localmente, los objetos equivalentes en estas categorías se parametrizan por clases de conjugación de homomorfismos de holonomía . En otras palabras, con respecto a un espacio base para los paquetes o un espacio topológico fijo para las estructuras geométricas, el homomorfismo de holonomía es un homomorfismo de grupo de al grupo de estructura del paquete.
Conexión a módulos de madejas
El anillo de coordenadas de la variedad de caracteres se ha relacionado con los módulos de madejas en la teoría de nudos . [1] [2] El módulo de madejas es aproximadamente una deformación (o cuantificación) de la variedad de caracteres. Está estrechamente relacionado con la teoría de campos cuánticos topológicos en la dimensión 2 + 1.
Ver también
Referencias
- ^ Doug Bullock, Anillos de-caracteres y el módulo de madeja de corchetes de Kauffman , Commentarii Mathematici Helvetici 72 (1997), no. 4, 521–542. Señor 1600138
- ^ Józef H. Przytycki , Adam S. Sikora, Sobre álgebras de madejas y-variedades de caracteres , Topología 39 (2000), no. 1, 115-148. SEÑOR1710996