Logicismo

Programa de filosofía de las matemáticas

En la filosofía de las matemáticas , el logicismo es un programa que comprende una o más de las tesis de que, para algún significado coherente de `` lógica '', las matemáticas son una extensión de la lógica, algunas o todas las matemáticas se pueden reducir a la lógica, o algunas o todas las las matemáticas pueden modelarse en lógica. ^[1] Bertrand Russell y Alfred North Whitehead defendieron este programa, iniciado por Gottlob Frege y posteriormente desarrollado por Richard Dedekind y Giuseppe Peano .

Resumen

El camino de Dedekind hacia el logicismo tuvo un punto de inflexión cuando pudo construir un modelo que satisfacía los axiomas que caracterizan a los números reales utilizando ciertos conjuntos de números racionales . Esta y otras ideas relacionadas lo convencieron de que la aritmética, el álgebra y el análisis eran reducibles a los números naturales más una "lógica" de clases. Además, en 1872 había llegado a la conclusión de que los naturales mismos eran reducibles a conjuntos y mapeos. Es probable que otros lógicos, sobre todo Frege, también se hayan guiado por las nuevas teorías de los números reales publicadas en el año 1872.

El ímpetu filosófico detrás del programa lógico de Frege desde el Grundlagen der Arithmetik en adelante fue en parte su insatisfacción con los compromisos epistemológicos y ontológicos de las explicaciones entonces existentes de los números naturales, y su convicción de que el uso de Kant de verdades sobre los números naturales como ejemplos de sintéticos la verdad a priori era incorrecta.

Esto inició un período de expansión para el logicismo, con Dedekind y Frege como sus principales exponentes. Sin embargo, esta fase inicial del programa logicista entró en crisis con el descubrimiento de las paradojas clásicas de la teoría de conjuntos (Cantor 1896, Zermelo y Russell 1900-1901). Frege abandonó el proyecto después de que Russell reconoció y comunicó su paradoja al identificar una inconsistencia en el sistema de Frege establecido en Grundgesetze der Arithmetik. Tenga en cuenta que la teoría de conjuntos ingenua también adolece de esta dificultad.

Por otro lado, Russell escribió Los principios de las matemáticas en 1903 utilizando la paradoja y los desarrollos de la escuela de geometría de Giuseppe Peano . Dado que trató el tema de las nociones primitivas en geometría y teoría de conjuntos, este texto es un hito en el desarrollo del logicismo. Russell y Whitehead recopilaron pruebas de la afirmación del logicismo en sus Principia Mathematica . ^[2]

Hoy en día, se cree que la mayor parte de las matemáticas existentes se pueden derivar lógicamente de un pequeño número de axiomas extralógicos, como los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (o su extensión ZFC ), de los que aún no se han derivado inconsistencias. Por lo tanto, los elementos de los programas lógicos han demostrado ser viables, pero en el proceso las teorías de clases, conjuntos y mapeos, y las lógicas de orden superior distintas de la semántica de Henkin , han llegado a considerarse de naturaleza extralógica, en parte bajo la influencia de Pensamiento posterior de Quine .

Kurt Gödel 's teoremas de incompletitud muestran que ningún sistema formal de la que el Peano axiomas de los números naturales se puede derivar - tales como los sistemas de Russell en PM - puede decidir todas las oraciones bien formadas de ese sistema. ^[3] Este resultado dañó el programa de Hilbert para los fundamentos de las matemáticas mediante el cual las teorías 'infinitarias', como la de PM, debían probarse congruentes a partir de las teorías finitarias, con el objetivo de que aquellos incómodos con los 'métodos infinitarios' pudieran estar seguros de que su uso no debería demostrarse. resultan en la derivación de una contradicción. El resultado de Gödel sugiere que para mantener una posición lógica, mientras se retiene tanto como sea posible de las matemáticas clásicas, uno debe aceptar algún axioma de infinito como parte de la lógica. A primera vista, esto daña también el programa logicista, aunque sólo para aquellos que ya tienen dudas sobre los "métodos infinitarios". No obstante, desde la publicación del resultado de Gödel se han seguido proponiendo posiciones derivadas tanto del logicismo como del finitismo hilbertiano.

Un argumento de que los programas derivados del logicismo siguen siendo válidos podría ser que los teoremas de incompletitud se "prueban con lógica como cualquier otro teorema". Sin embargo, ese argumento parece no reconocer la distinción entre teoremas de lógica de primer orden y teoremas de lógica de orden superior . El primero se puede probar utilizando métodos finistas, mientras que el segundo, en general, no. El teorema de indefinibilidad de Tarski muestra que la numeración de Gödel puede usarse para probar construcciones sintácticas, pero no afirmaciones semánticas. Por lo tanto, la afirmación de que el logicismo sigue siendo un programa válido puede comprometernos a sostener que un sistema de prueba basado en la existencia y propiedades de los números naturales es menos convincente que uno basado en algún sistema formal particular.^[4]

El logicismo, especialmente a través de la influencia de Frege en Russell y Wittgenstein ^[5] y más tarde en Dummett, fue un contribuyente significativo al desarrollo de la filosofía analítica durante el siglo XX.

Origen del nombre 'logicismo'

Ivor Grattan-Guinness afirma que la palabra francesa 'Logistique' fue "introducida por Couturat y otros en el Congreso Internacional de Filosofía de 1904 , y fue utilizada por Russell y otros desde entonces, en versiones apropiadas para varios idiomas". (GG 2000: 501).

Aparentemente, el primer (y único) uso de Russell apareció en su 1919: "Russell se refirió varias veces [sic] a Frege, presentándolo como uno 'que primero tuvo éxito en la" lógica "de las matemáticas' (p. 7). Aparte de la tergiversación (que Russell rectificó en parte al explicar su propia visión del papel de la aritmética en las matemáticas), el pasaje es notable por la palabra que puso entre comillas, pero su presencia sugiere nerviosismo, y nunca volvió a usar la palabra, de modo que ' El logicismo 'no surgió hasta finales de la década de 1920 ”(GG 2002: 434). ^[6]

Aproximadamente al mismo tiempo que Carnap (1929), pero aparentemente de forma independiente, Fraenkel (1928) usó la palabra: "Sin comentarios, usó el nombre 'logicismo' para caracterizar la posición de Whitehead / Russell (en el título de la sección en la p. 244). , explicación en la p. 263) "(GG 2002: 269). Carnap usó una palabra ligeramente diferente 'Logistik'; Behmann se quejó de su uso en el manuscrito de Carnap, por lo que Carnap propuso la palabra "Logizismus", pero finalmente se apegó a su elección de palabras "Logistik" (GG 2002: 501). En última instancia, "la propagación se debió principalmente a Carnap, desde 1930 en adelante". (GG 2000: 502).

Intención, o meta, del logicismo

Lógica simbólica : La intención manifiesta del Logicismo es derivar todas las matemáticas de la lógica simbólica (Frege, Dedekind, Peano, Russell). En contraste con la lógica algebraica ( lógica booleana ) que emplea conceptos aritméticos, la lógica simbólica comienza con un conjunto muy reducido de marcas (símbolos no aritméticos), algunos axiomas "lógicos" que encarnan las "leyes del pensamiento" y reglas de inferencia que dictan cómo se ensamblan y manipulan las marcas, por ejemplo, sustitución y modus ponens(es decir, de [1] A implica materialmente B y [2] A, se puede derivar B). El logicismo también adopta de la base de Frege la reducción de los enunciados del lenguaje natural de "sujeto | predicado" a "átomos" proposicionales o al "argumento | función" de "generalización": las nociones "todos", "algunos", "clase" ( colección, agregado) y "relación".

En una derivación lógica de los números naturales y sus propiedades, ninguna "intuición" del número debería "colarse" como axioma o por accidente. El objetivo es derivar todas las matemáticas, comenzando con los números de conteo y luego los números reales, a partir de algunas "leyes del pensamiento" elegidas únicamente, sin suposiciones tácitas de "antes" y "después" o "menos" y "más". o al grano: "sucesor" y "predecesor". Gödel 1944 resumió las "construcciones" lógicas de Russell, en comparación con las "construcciones" en los sistemas fundamentales del intuicionismo y el formalismo ("la escuela de Hilbert") de la siguiente manera: "Ambas escuelas basan sus construcciones en una intuición matemática cuya evitación es exactamente uno de los principales objetivos del constructivismo de Russell "(Gödel 1944 en Collected Works 1990: 119).

Historia : Gödel 1944 resumió los antecedentes históricos desde Leibniz en Characteristica universalis , pasando por Frege y Peano hasta Russell: "Frege estaba principalmente interesado en el análisis del pensamiento y utilizó su cálculo en primer lugar para derivar la aritmética de la lógica pura", mientras que Peano " estaba más interesado en sus aplicaciones dentro de las matemáticas ". Pero "fue sólo Principia Mathematica [de Russell] que se hizo pleno uso del nuevo método para derivar realmente gran parte de las matemáticas a partir de muy pocos conceptos lógicos y axiomas. Además, la ciencia joven se enriqueció con un nuevo instrumento, el resumen teoría de las relaciones "(p. 120-121).

Kleene 1952 lo expresa de esta manera: "Leibniz (1666) concibió por primera vez la lógica como una ciencia que contiene las ideas y principios subyacentes a todas las demás ciencias. Dedekind (1888) y Frege (1884, 1893, 1903) se dedicaron a definir las nociones matemáticas en términos de los lógicos, y Peano (1889, 1894-1908) al expresar teoremas matemáticos en un simbolismo lógico "(p. 43); en el párrafo anterior incluye a Russell y Whitehead como ejemplos de la "escuela lógica", siendo las otras dos escuelas "fundamentales" la intuicionista y la "formalista o axiomática" (p. 43).

Frege 1879 describe su intención en el Prefacio de su Begriffsschrift de 1879 : Comenzó con una consideración de la aritmética: ¿se deriva de la "lógica" o de los "hechos de la experiencia"?

"Primero tuve que determinar hasta dónde se podía avanzar en aritmética mediante inferencias únicamente, con el único apoyo de esas leyes del pensamiento que trascienden todos los detalles. Mi paso inicial fue intentar reducir el concepto de ordenar en una secuencia a ese de lógicaconsecuencia, para pasar de allí al concepto de número. Para evitar que algo intuitivo penetrara aquí sin ser advertido, tuve que hacer todos los esfuerzos posibles para mantener la cadena de inferencias libre de huecos. . . Encontré la insuficiencia del lenguaje como un obstáculo; por muy difíciles de manejar que estuviese dispuesto a aceptar, era cada vez menos capaz, a medida que las relaciones se volvían cada vez más complejas, de alcanzar la precisión que requería mi propósito. Esta deficiencia me llevó a la idea de la ideografía actual. Su primer propósito, por lo tanto, es proporcionarnos la prueba más confiable de la validez de una cadena de inferencias y señalar cada presuposición que intente pasar desapercibida "(Frege 1879 en van Heijenoort 1967: 5).

Dedekind 1887 describe su intención en el Prefacio de 1887 a la Primera Edición de Su Naturaleza y Significado de los Números . Creía que en "los fundamentos de la ciencia más simple, es decir, la parte de la lógica que se ocupa de la teoría de los números" no se había argumentado correctamente: "nada que pueda ser probado debe aceptarse sin prueba":

Al hablar de aritmética (álgebra, análisis) como parte de la lógica, quiero dar a entender que considero el concepto de número enteramente independiente de las nociones de intuiciones de espacio y tiempo, que lo considero un resultado inmediato de las leyes del pensamiento. . . los números son creaciones libres de la mente humana. . . [y] sólo a través del proceso puramente lógico de construir la ciencia de los números. . . ¿Estamos preparados para investigar con precisión nuestras nociones de espacio y tiempo poniéndolas en relación con este dominio numérico creado en nuestra mente? ”(Dedekind, 1887, publicación de Dover, 1963: 31).

Peano 1889 declara su intención en su Prefacio a sus Principios de aritmética de 1889 :

Las cuestiones que pertenecen a los fundamentos de las matemáticas, aunque han sido tratadas por muchos en los últimos tiempos, aún carecen de una solución satisfactoria. La dificultad tiene su fuente principal en la ambigüedad del lenguaje. ¶ Por eso es de suma importancia examinar atentamente las mismas palabras que usamos. Mi objetivo ha sido realizar este examen "(Peano 1889 en van Heijenoort 1967: 85).

Russell 1903 describe su intención en el Prefacio de sus Principios de matemáticas de 1903 :

"EL presente trabajo tiene dos objetos principales. Uno de ellos, la prueba de que toda la matemática pura trata exclusivamente con conceptos definibles en términos de un número muy pequeño de conceptos lógicos fundamentales, y que todas sus proposiciones son deducibles de un número muy pequeño de conceptos lógicos fundamentales. principios lógicos "(Prefacio 1903: vi).

"Unas pocas palabras sobre el origen del presente trabajo pueden servir para mostrar la importancia de las cuestiones discutidas. Hace unos seis años, comencé una investigación sobre la filosofía de la dinámica ... [A partir de dos preguntas: aceleración y movimiento absoluto en una "teoría relacional del espacio"] fui conducido a un reexamen de los principios de la Geometría, de allí a la filosofía de la continuidad y el infinito, y luego, con miras a descubrir el significado de la palabra cualquiera , a la Lógica Simbólica "(Prefacio 1903: vi-vii).

Epistemología, ontología y logicismo

Dedekind y Frege : Las epistemologías de Dedekind y de Frege parecen menos definidas que la de Russell, pero ambas parecen aceptar a priori las "leyes del pensamiento" habituales relativas a enunciados proposicionales simples (generalmente de creencias); estas leyes serían suficientes en sí mismas si aumentada con la teoría de las clases y las relaciones (por ejemplo, x R Y ) entre individuos x y y unidos por la R. generalización

Las "formaciones libres de la mente humana" de Dedekind en contraste con las "restricciones" de Kronecker : el argumento de Dedekind comienza con "1. En lo que sigue, entiendo por cosa cada objeto de nuestro pensamiento"; los humanos usamos símbolos para discutir estas "cosas" de nuestra mente; "Una cosa está completamente determinada por todo lo que se pueda afirmar o pensar acerca de ella" (p. 44). En un párrafo posterior, Dedekind analiza qué es un "sistema S : es un agregado, una variedad, una totalidad de elementos asociados (cosas) a , b , c "; afirma que "tal sistema S ... como objeto de nuestro pensamiento es igualmente una cosa(1); está completamente determinado cuando con respecto a cada cosa se determina si es un elemento de S o no. * "(p. 45, cursiva agregada). El * indica una nota a pie de página donde dice que:

“Kronecker no hace mucho tiempo ( Crelle's Journal , Vol. 99, págs. 334-336) se ha esforzado por imponer ciertas limitaciones a la libre formación de conceptos en matemáticas que no creo que estén justificadas” (pág. 45).

De hecho, espera que Kronecker "publique sus razones de la necesidad o simplemente la conveniencia de estas limitaciones" (p. 45).

Leopold Kronecker , famoso por su afirmación de que "Dios hizo los números enteros, todo lo demás es obra del hombre" ^[7] tenía sus enemigos, entre ellos Hilbert. Hilbert calificó a Kronecker de " dogmático , en la medida en que acepta el número entero con sus propiedades esenciales como dogma y no mira hacia atrás" ^[8] y equiparó su postura constructivista extrema con la del intuicionismo de Brouwer , acusando a ambos de "subjetivismo": "Es parte de la tarea de la ciencia liberarnos de la arbitrariedad, el sentimiento y la costumbre y protegernos del subjetivismo que ya se hizo sentir en las opiniones de Kronecker y, me parece, encuentra su culminación en el intuicionismo". ^[9]Hilbert luego afirma que "las matemáticas son una ciencia sin presuposiciones. Para fundarlas no necesito a Dios, como Kronecker ...". (pág.479).

Russell como realista : el realismo de Russell le sirvió como antídoto al idealismo británico , ^[10] con porciones tomadas del racionalismo europeo y el empirismo británico . ^[11] Para empezar, "Russell era realista sobre dos cuestiones clave: universales y objetos materiales" (Russell 1912: xi). Para Russell, las tablas son cosas reales que existen independientemente de Russell, el observador. El racionalismo contribuiría con la noción de conocimiento a priori , ^[12] mientras que el empirismo contribuiría con el papel del conocimiento experiencial (inducción a partir de la experiencia). ^[13]Russell acreditaría a Kant con la idea de conocimiento "a priori", pero ofrece una objeción a Kant que considera "fatal": "Los hechos [del mundo] siempre deben ajustarse a la lógica y la aritmética. Decir que la lógica y la aritmética son contribuido por nosotros no tiene en cuenta esto "(1912: 87); Russell concluye que el conocimiento a priori que poseemos es "sobre cosas, y no meramente sobre pensamientos" (1912: 89). Y en esto, la epistemología de Russell parece diferente de la de la creencia de Dedekind de que "los números son creaciones libres de la mente humana" (Dedekind 1887: 31) ^[14].

Pero su epistemología sobre lo innato (prefiere la palabra a priori cuando se aplica a principios lógicos, cf. 1912: 74) es intrincada. Expresaría fuerte e inequívocamente su apoyo a los "universales" platónicos (cf. 1912: 91-118) y concluiría que la verdad y la falsedad están "ahí fuera"; las mentes crean creencias y lo que hace que una creencia sea verdadera es un hecho, "y este hecho no involucra (excepto en casos excepcionales) la mente de la persona que tiene la creencia" (1912: 130).

¿De dónde derivó Russell estas nociones epistémicas? Nos lo dice en el Prefacio a sus Principios de Matemáticas de 1903 . Nótese que afirma que la creencia: "Emily es un conejo" no existe y, sin embargo, la verdad de esta proposición inexistente es independiente de cualquier mente conocedora; si Emily es realmente un conejo, el hecho de esta verdad existe tanto si Russell o cualquier otra mente está viva o muerta como si no, y la relación de Emily con la capucha del conejo es "última":

"Sobre las cuestiones fundamentales de la filosofía, mi posición, en todas sus características principales, se deriva del Sr. GE Moore. He aceptado de él la naturaleza no existencial de las proposiciones (excepto las que afirman la existencia) y su independencia de cualquier conocimiento mente; también el pluralismo que considera el mundo, tanto el de los existentes como el de las entidades, como compuesto por un número infinito de entidades mutuamente independientes, con relaciones que son últimas y no reducibles a adjetivos de sus términos o del todo que estas componer ... Las doctrinas que acabo de mencionar son, en mi opinión, bastante indispensables para cualquier filosofía de las matemáticas incluso tolerablemente satisfactoria, como espero que las páginas siguientes muestren ... Formalmente, mis premisas simplemente se asumen; pero el hecho de que permiten que las matemáticas sean verdaderas,que la mayoría de las filosofías actuales no lo hacen, es sin duda un poderoso argumento a su favor ". (Prefacio 1903: viii)

La paradoja de Russell : En 1902 Russell descubrió un "círculo vicioso" ( la paradoja de Russell ) en el Grundgesetze der Arithmetik de Frege, derivado de la Ley Básica V de Frege y estaba decidido a no repetirlo en sus Principios de Matemáticas de 1903 . En dos apéndices añadidos en el último minuto, dedicó 28 páginas tanto a un análisis detallado de la teoría de Frege en contraste con la suya propia, como a corregir la paradoja. Pero no se mostró optimista sobre el resultado:

"En el caso de las clases, debo confesar, no he podido percibir ningún concepto que cumpla con las condiciones requeridas para la noción de clase. Y la contradicción discutida en el Capítulo X. prueba que algo anda mal, pero lo que es esto lo he fallado hasta ahora. para descubrir. (Prefacio a Russell 1903: vi) "

"Ficcionalismo" y la teoría sin clases de Russell : Gödel en su 1944 estaría en desacuerdo con el joven Russell de 1903 ("[mis premisas] permiten que las matemáticas sean verdaderas") pero probablemente estaría de acuerdo con la afirmación de Russell citada anteriormente ("algo anda mal" ); La teoría de Russell no había logrado llegar a una base satisfactoria de las matemáticas: el resultado fue "esencialmente negativo; es decir, las clases y conceptos introducidos de esta manera no tienen todas las propiedades requeridas para el uso de las matemáticas" (Gödel 1944: 132).

¿Cómo llegó Russell a esta situación? Gödel observa que Russell es un sorprendente "realista" con un giro: cita a Russell de 1919: 169 "La lógica se preocupa por el mundo real tan verdaderamente como la zoología" (Gödel 1944: 120). Pero observa que "cuando comenzó con un problema concreto, los objetos a analizar (por ejemplo, las clases o proposiciones) pronto en su mayor parte se convirtieron en" ficciones lógicas "... [lo que significa] sólo que no tenemos una percepción directa de ellos." (Gödel 1944: 120)

En una observación pertinente al tipo de lógica de Russell, Perry comenta que Russell atravesó tres fases de realismo: extremo, moderado y constructivo (Perry 1997: xxv). En 1903 se encontraba en su fase extrema; en 1905 estaría en su fase moderada. En unos pocos años "prescindiría de los objetos físicos o materiales como partes básicas del mobiliario del mundo. Intentaría construirlos a partir de datos sensoriales" en su próximo libro Nuestro conocimiento del mundo externo [1914] "( Perry 1997: xxvi).

Estas construcciones en lo que Gödel 1944 llamaría " constructivismo nominalista ... que mejor podría llamarse ficcionalismo " derivan de la "idea más radical de Russell, la teoría sin clases" (p. 125):

"según las cuales las clases o los conceptos nunca existen como objetos reales, y las oraciones que contienen estos términos sólo tienen sentido en la medida en que pueden interpretarse como ... una manera de hablar sobre otras cosas" (pág. 125).

Vea más en las secciones de Crítica, a continuación.

Un ejemplo de una construcción lógica de los números naturales: la construcción de Russell en los Principia

El logicismo de Frege y Dedekind es similar al de Russell, pero con diferencias en los detalles (ver Críticas, más adelante). En general, las derivaciones lógicas de los números naturales son diferentes de las derivaciones de, por ejemplo, los axiomas de Zermelo para la teoría de conjuntos ('Z'). Considerando que, en las derivaciones de Z, una definición de "número" utiliza un axioma de ese sistema - el axioma de emparejamiento - que conduce a la definición de "par ordenado" - no abiertoEl axioma de números existe en los diversos sistemas de axiomas lógicos que permiten la derivación de los números naturales. Tenga en cuenta que los axiomas necesarios para derivar la definición de un número pueden diferir entre los sistemas de axiomas para la teoría de conjuntos en cualquier caso. Por ejemplo, en ZF y ZFC, el axioma de emparejamiento, y por lo tanto, en última instancia, la noción de un par ordenado se deriva del Axioma de Infinito y el Axioma de Reemplazo y se requiere en la definición de los numerales de Von Neumann (pero no del Zermelo numerales), mientras que en NFU los numerales de Frege pueden derivarse de forma análoga a su derivación en Grundgesetze.

Los Principia , como su antecesor el Grundgesetze , comienza su construcción de los números a partir de proposiciones primitivas como "clase", "función proposicional" y, en particular, relaciones de "similitud" ("equinumerosidad": colocar los elementos de las colecciones en una -a-una correspondencia) y "ordenar" (usando "el sucesor de" relación para ordenar las colecciones de las clases equinumeras) ". ^[15] La derivación lógica iguala los números cardinales construidosde esta manera a los números naturales, y estos números terminan todos del mismo "tipo", como clases de clases, mientras que en algunas construcciones teóricas establecidas, por ejemplo, los números de von Neumman y Zermelo, cada número tiene su predecesor como un subconjunto. . Kleene observa lo siguiente. (Los supuestos de Kleene (1) y (2) establecen que 0 tiene la propiedad P y n +1 tiene la propiedad P siempre que n tiene la propiedad P ).

"El punto de vista aquí es muy diferente al de la máxima [de Kronecker] de que 'Dios hizo los enteros' más los axiomas de número e inducción matemática de Peano ], donde presuponemos una concepción intuitiva de la secuencia de números naturales, y de ella obtuvimos el principio de que, siempre que se dé una propiedad particular P de los números naturales tal que (1) y (2), cualquier número natural dado debe tener la propiedad P ". (Kleene 1952: 44).

La importancia para el programa lógico de la construcción de los números naturales se deriva del argumento de Russell de que "que todas las matemáticas puras tradicionales pueden derivarse de los números naturales es un descubrimiento bastante reciente, aunque se sospechaba desde hacía mucho tiempo" (1919: 4). Una derivación de los números reales se deriva de la teoría de los cortes de Dedekind sobre los números racionales, y los números racionales a su vez se derivan de los naturales. Si bien es útil un ejemplo de cómo se hace esto, se basa primero en la derivación de los números naturales. Entonces, si aparecen dificultades filosóficas en una derivación lógica de los números naturales, estos problemas deberían ser suficientes para detener el programa hasta que se resuelvan (ver Críticas, más adelante).

Bernays 1930-1931 resume un intento de construir los números naturales. ^[16] Pero en lugar de utilizar el resumen de Bernays, que está incompleto en algunos detalles, a continuación se presenta un intento de paráfrasis de la construcción de Russell, incorporando algunas ilustraciones finitas:

Preliminares

Para Russell, las colecciones (clases) son agregados de "cosas" especificadas por nombres propios, que surgen como resultado de proposiciones (afirmaciones de hecho sobre una cosa o cosas). Russell analizó esta noción general. Comienza con "términos" en las oraciones, que analizó de la siguiente manera:

Términos : Para Russell, los "términos" son "cosas" o "conceptos": "Cualquier cosa que pueda ser un objeto de pensamiento, o que pueda ocurrir en cualquier proposición verdadera o falsa, o que pueda contarse como una, lo llamo un término . , entonces, es la palabra más amplia en el vocabulario filosófico. Usaré como sinónimo de ella las palabras, unidad, individuo y entidad. Los dos primeros enfatizan el hecho de que cada término es uno, mientras que el tercero se deriva del hecho de que todo término tiene ser, es decir, es en algún sentido. Un hombre, un momento, un número, una clase, una relación, una quimera, o cualquier otra cosa que pueda mencionarse, seguramente será un término; y negar que tal y tal cosa es un término siempre debe ser falso "(Russell 1903: 43)

Las cosas se indican con nombres propios; los conceptos se indican mediante adjetivos o verbos : "Entre los términos, es posible distinguir dos clases, que llamaré respectivamente cosas y conceptos ; los primeros son los términos indicados por los nombres propios, los segundos los indicados por todas las demás palabras.... Entre los conceptos, nuevamente, deben distinguirse al menos dos tipos, a saber, los indicados por adjetivos y los indicados por verbos "(1903: 44).

Los adjetivos conceptuales son "predicados"; los verbos-concepto son "relaciones" : "El primer tipo a menudo se llamará predicados o conceptos de clase; los segundos son siempre o casi siempre relaciones". (1903: 44)

La noción de un sujeto "variable" que aparece en una proposición : "Hablaré de los términos de una proposición como aquellos términos, por numerosos que sean, que aparecen en una proposición y pueden considerarse como sujetos sobre los que se trata la proposición. La característica de los términos de una proposición es que cualquiera de ellos puede ser reemplazado por cualquier otra entidad sin que dejemos de tener una proposición. Así diremos que "Sócrates es humano" es una proposición que tiene un solo término; del componente restante del proposición, uno es el verbo, el otro es un predicado ... Los predicados, entonces, son conceptos, distintos de los verbos, que aparecen en proposiciones que tienen un solo término o sujeto ". (1903: 45)

Verdad y falsedad : supongamos que uno apunta a un objeto y dice: "Este objeto que tengo delante de mí llamado 'Emily' es una mujer". Ésta es una proposición, una afirmación de la creencia del hablante, que debe contrastarse con los "hechos" del mundo exterior: "Las mentes no crean verdad o falsedad. Crean creencias ... lo que hace que una creencia sea verdadera es un hecho". , y este hecho no involucra (excepto en casos excepcionales) de ninguna manera la mente de la persona que tiene la creencia "(1912: 130). Si mediante la investigación del enunciado y la correspondencia con "hecho", Russell descubre que Emily es un conejo, entonces su enunciado se considera "falso"; si Emily es una mujer humana (una mujer "bípeda sin plumas" como a Russell le gusta llamar a los humanos,siguiendo a Diogenes Laërtiusanécdota sobre Platón), entonces su enunciado se considera "verdadero".

Clases (agregados, complejos) : "La clase, a diferencia del concepto de clase, es la suma o conjunción de todos los términos que tienen el predicado dado" (1903 p. 55). Las clases se pueden especificar por extensión (enumerando sus miembros) o por intensión, es decir, por una "función proposicional" como "x es una u" o "x es v". Pero "si tomamos la extensión pura, nuestra clase se define mediante la enumeración de sus términos, y este método no nos permitirá tratar, como lo hace la lógica simbólica, con clases infinitas. Por lo tanto, nuestras clases deben considerarse en general como objetos denotados por conceptos , y en esta medida el punto de vista de la intensión es esencial ". (1909 pág.66)

Funciones proposicionales : "La característica de un concepto de clase, a diferencia de los términos en general, es que" x es una u "es una función proposicional cuando, y sólo cuando, u es un concepto de clase". (1903: 56)

Definición extensional versus intensional de una clase : "71. La clase puede definirse extensional o intensionalmente. Es decir, podemos definir el tipo de objeto que es una clase, o el tipo de concepto que denota una clase: este es el significado preciso de la oposición de extensión e intensión a este respecto. Pero aunque la noción general puede definirse de esta manera doble, las clases particulares, excepto cuando resultan ser finitas, sólo pueden definirse intensionalmente, es decir, como los objetos denotados por tales y tales conceptos ... lógicamente; la definición extensional parece ser igualmente aplicable a clases infinitas, pero en la práctica, si tuviéramos que intentarlo, la Muerte interrumpiría nuestro loable esfuerzo antes de haber alcanzado su objetivo. "(1903: 69)

La definición de los números naturales

En la Prinicipia, los números naturales derivan de todas las proposiciones que se pueden afirmar sobre cualquier colección de entidades. Russell deja esto claro en la segunda oración (en cursiva) a continuación.

"En primer lugar, los números en sí forman una colección infinita y, por lo tanto, no pueden definirse por enumeración. En segundo lugar, las colecciones que tienen un número determinado de términos forman presumiblemente una colección infinita: se presume, por ejemplo, que hay una colección infinita de tríos en el mundo , porque si este no fuera el caso, el número total de cosas en el mundo sería finito, lo cual, aunque posible, parece improbable. En tercer lugar, deseamos definir "número "de tal manera que sea posible un número infinito; así debemos poder hablar del número de términos en una colección infinita, y tal colección debe estar definida por intensión, es decir, por una propiedad común a todos sus miembros y peculiar a ellos ". (1919: 13)

Para ilustrarlo, considere el siguiente ejemplo finito: Suponga que hay 12 familias en una calle. Algunos tienen hijos, otros no. Para discutir los nombres de los niños en estos hogares se requieren 12 proposiciones que afirmen que " childname es el nombre de un niño en la familia Fn" aplicadas a esta colección de hogares en la calle particular de familias con los nombres F1, F2,. . . F12. Cada una de las 12 proposiciones se refiere a si el "argumento" nombre del niño se aplica o no a un niño en un hogar en particular. Los nombres de los niños ( childname ) se pueden considerar como la x en una función proposicional f (x), donde la función es "nombre de un niño en la familia con el nombre Fn". ^{[17] [ investigación original? ]}

Paso 1: Reúna todas las clases : mientras que el ejemplo anterior es finito sobre la función proposicional finita " nombres de los niños de la familia Fn '" en la calle finita de un número finito de familias, Russell aparentemente pretendía que lo siguiente se extendiera a todas las proposiciones. funciones que se extienden sobre un dominio infinito para permitir la creación de todos los números.

Kleene considera que Russell ha establecido una definición impredicativa que tendrá que resolver, o se arriesgará a derivar algo como la paradoja de Russell . "Aquí, en cambio, presuponemos la totalidad de todas las propiedades de los números cardinales, como existentes en la lógica, antes de la definición de la secuencia de números naturales" (Kleene 1952: 44). El problema aparecerá, incluso en el ejemplo finito presentado aquí, cuando Russell trate con la clase de unidad (cf. Russell 1903: 517).

Surge la pregunta de qué es o debería ser precisamente una "clase" . Para Dedekind y Frege, una clase es una entidad distinta por derecho propio, una 'unidad' que puede identificarse con todas aquellas entidades x que satisfacen alguna función proposicional F. (Este simbolismo aparece en Russell, atribuido allí a Frege: "El la esencia de una función es lo que queda cuando se quita la x , es decir, en el caso anterior, 2 () ³ + (). El argumento x no pertenece a la función, pero los dos juntos forman un todo (ib. p . 6 [es decir, la Función und Begriff de Frege de 1891 ] "(Russell 1903: 505).) Por ejemplo, a una" unidad "particular se le podría dar un nombre; supongamos que una familia Fα tiene hijos con los nombres Annie, Barbie y Charles:

{a, b, c} _Fα

Esta noción de colección o clase como objeto, cuando se usa sin restricción, da como resultado la paradoja de Russell ; ver más abajo sobre definiciones impredicativas . La solución de Russell fue definir la noción de clase como solo aquellos elementos que satisfacen la proposición, su argumento es que, de hecho, los argumentos x no pertenecen a la función proposicional también conocida como "clase" creada por la función. La clase misma no debe ser considerada como un objeto unitario por derecho propio, existe sólo como una especie de ficción útil: "Hemos evitado la decisión de si una clase de cosas tiene en algún sentido una existencia como un objeto. Una decisión de esta cuestión de cualquier manera es indiferente a nuestra lógica "(Primera edición de Principia Mathematica 1927: 24).

Russell sigue manteniendo esta opinión en su 1919; observe las palabras "ficciones simbólicas": ^{[ investigación original? ]}

"Cuando hemos decidido que las clases no pueden ser cosas del mismo tipo que sus miembros, que no pueden ser simplemente montones o agregados, y también que no pueden identificarse con funciones proposicionales, se vuelve muy difícil ver qué pueden ser, si han de ser más que ficciones simbólicas . Y si podemos encontrar alguna forma de tratarlas como ficciones simbólicas , aumentamos la seguridad lógica de nuestra posición, ya que evitamos la necesidad de asumir que hay clases sin estar obligados a hacer el Supuesto opuesto de que no hay clases. Simplemente nos abstenemos de ambos supuestos ... Pero cuando nos negamos a afirmar que hay clases, no se debe suponer que estamos afirmando dogmáticamente que no hay ninguna. Somos meramente agnósticos en cuanto a ellos ... "(1919: 184)

Y en la segunda edición de PM (1927) Russell sostiene que "las funciones ocurren sólo a través de sus valores, ... todas las funciones de funciones son extensionales ... [y] en consecuencia, no hay razón para distinguir entre funciones y clases ... Así, las clases, a diferencia de las funciones, pierden incluso ese ser sombrío que retienen en * 20 "(p. Xxxix). En otras palabras, las clases como una noción separada se han desvanecido por completo.

Paso 2: Reúna clases "similares" en 'paquetes' : Estas colecciones anteriores se pueden poner en una "relación binaria" (comparando) similitud por "equinumerosidad", simbolizada aquí por ≈ , es decir, correspondencia uno-uno de los elementos, ^{[ 18]} y por lo tanto crear clases de clases Russellianas o lo que Russell llamó "paquetes". "Podemos suponer todas las parejas en un paquete, todos los tríos en otro, y así sucesivamente. De esta manera obtenemos varios paquetes de colecciones, cada paquete está formado por todas las colecciones que tienen un cierto número de términos. Cada paquete es una clase cuyo los miembros son colecciones, es decir, clases; por tanto, cada una es una clase de clases "(Russell 1919: 14).

Paso 3: Defina la clase nula : observe que cierta clase de clases es especial porque sus clases no contienen elementos, es decir, ningún elemento satisface los predicados cuya aserción definió esta clase / colección en particular.

La entidad resultante puede denominarse "la clase nula" o "la clase vacía". Russell simbolizó la clase nula / vacía con Λ. Entonces, ¿qué es exactamente la clase nula Russelliana? En PM Russell dice que "Se dice que una clase existe cuando tiene al menos un miembro ... la clase que no tiene miembros se llama la" clase nula "..." α es la clase nula "es equivalente a" α no existe ". La pregunta surge naturalmente si la clase nula en sí 'existe'? Las dificultades relacionadas con esta pregunta ocurren en el trabajo de Russell de 1903. ^[19] Después de que descubrió la paradoja en el Grundgesetze de Fregeañadió el Apéndice A a su 1903, donde a través del análisis de la naturaleza de las clases nula y unitaria, descubrió la necesidad de una "doctrina de tipos"; ver más sobre la clase de unidad, el problema de las definiciones impredicativas y el "principio del círculo vicioso" de Russell a continuación. ^[19]

Paso 4: Asigne un "número" a cada paquete : para fines de abreviatura e identificación, asigne a cada paquete un símbolo único (también conocido como "número"). Estos símbolos son arbitrarios.

Paso 5: Defina "0" Siguiendo a Frege, Russell eligió la clase de clases vacía o nula como la clase apropiada para llenar este rol, siendo esta la clase de clases que no tiene miembros. Esta clase nula de clases puede etiquetarse como "0".

Paso 6: Definir la noción de "sucesor" : Russell definió una nueva característica "hereditaria" (cf. "ancestral" de Frege), una propiedad de ciertas clases con la capacidad de "heredar" una característica de otra clase (que puede ser una clase de clases) es decir, "Se dice que una propiedad es" hereditaria "en la serie de números naturales si, siempre que pertenece a un número n , también pertenece a n +1, el sucesor de n ". (1903: 21). Afirma que "los números naturales son la posteridad - los" hijos ", los herederos del" sucesor "- de 0 con respecto a la relación" el predecesor inmediato de (que es el inverso de "sucesor") (1919: 23 ).

Tenga en cuenta que Russell ha utilizado aquí algunas palabras sin definición, en particular "serie de números", "número n" y "sucesor". Los definirá a su debido tiempo. Observe en particular que Russell no usa la clase de unidad de clases "1" para construir el sucesor . La razón es que, en el análisis detallado de Russell, ^[20]si una clase de unidad se convierte en una entidad por derecho propio, entonces también puede ser un elemento en su propia proposición; esto hace que la proposición se vuelva "impredicativa" y resulte en un "círculo vicioso". Más bien, afirma: "Vimos en el Capítulo II que un número cardinal debe definirse como una clase de clases, y en el Capítulo III que el número 1 debe definirse como la clase de todas las clases de unidades, de todas las que acaban de un miembro, como deberíamos decir, pero para el círculo vicioso. Por supuesto, cuando el número 1 se define como la clase de todas las clases de unidad , las clases de unidad deben definirse para no asumir que sabemos lo que se entiende por uno (1919 : 181).

Para su definición de sucesor, Russell usará para su "unidad" una sola entidad o "término" de la siguiente manera:

"Queda por definir" sucesor ". Dado cualquier número n, sea α una clase que tenga n miembros, y sea x un término que no sea miembro de α . Entonces, la clase que consiste en α con x agregado tendrá + 1 miembros. Así tenemos la siguiente definición:

el sucesor del número de términos en la clase α es el número de términos en la clase que consta de α junto con x, donde x no es ningún término que pertenezca a la clase ". (1919: 23)

La definición de Russell requiere un nuevo "término" que se "agrega" a las colecciones dentro de los paquetes.

Paso 7: construya el sucesor de la clase nula .

Paso 8: Para cada clase de clases equinumeras, cree su sucesor .

Paso 9: Ordene los números : El proceso de creación de un sucesor requiere la relación "... Es el sucesor de ...", que puede denominarse "S", entre los distintos "numerales". "Ahora debemos considerar el carácter serial de los números naturales en el orden 0, 1, 2, 3, ... Normalmente pensamos en los números como en este orden, y es una parte esencial del trabajo de analizar nuestros datos. buscar una definición de "orden" o "serie" en términos lógicos ... El orden no se encuentra en la clase de términos, sino en una relación entre los miembros de la clase, respecto de los cuales algunos aparecen como anteriores y algunos como más tarde ". (1919: 31)

Russell aplica a la noción de "relación de ordenamiento" tres criterios: Primero, define la noción de "asimetría", es decir, dada la relación como S ("... Es el sucesor de...") Entre dos términos x, y y: x S y ≠ y S x. En segundo lugar, define la noción de "transitividad" para tres números x, y y z: si x S y e y S z entonces x S z. En tercer lugar, define la noción de "conectado": "Dados dos términos cualesquiera de la clase que se va a ordenar, debe haber uno que precede y el otro que sigue ... Una relación está conectada cuando, dados dos términos diferentes términos de su campo [tanto el dominio como el dominio inverso de una relación, p. ej.maridos versus esposas en la relación de casados] la relación se mantiene entre el primero y el segundo o entre el segundo y el primero (sin excluir la posibilidad de que ambos puedan suceder, aunque ambos no pueden suceder si la relación es asimétrica). (1919: 32 )

Concluye: "... se dice que el número [natural] m es menor que otro número n cuando n posee todas las propiedades hereditarias que posee el sucesor de m . Es fácil de ver, y no difícil de probar, que la relación" menor que ", así definido, es asimétrico, transitivo y conectado, y tiene los números [naturales] para su campo [es decir, tanto el dominio como el dominio inverso son los números]". (1919: 35)

Crítica

La presunción de una noción 'extralógica' de iteración : Kleene señala que "la tesis lógica se puede cuestionar finalmente sobre la base de que la lógica ya presupone ideas matemáticas en su formulación. En la visión intuicionista, un núcleo matemático esencial está contenido en la idea de iteración "(Kleene 1952: 46)

Bernays 1930-1931 observa que esta noción de "dos cosas" ya presupone algo, incluso sin la pretensión de existencia de dos cosas, y también sin referencia a un predicado, que se aplica a las dos cosas; significa, simplemente, "una cosa y una cosa más ... Con respecto a esta simple definición, el concepto de Número resulta ser un concepto estructural elemental ... resulta la afirmación de los lógicos de que las matemáticas son conocimiento puramente lógico ser borroso y engañoso tras una observación más cercana de la lógica teórica ... [se puede ampliar la definición de "lógico"] sin embargo, a través de esta definición se oculta lo que es epistemológicamente esencial, y se pasa por alto lo que es peculiar de las matemáticas "(en Mancosu 1998: 243).

Hilbert 1931: 266-7, al igual que Bernays, considera que hay "algo extra-lógico" en las matemáticas: "Además de la experiencia y el pensamiento, hay una tercera fuente de conocimiento. Incluso si hoy ya no podemos estar de acuerdo con Kant en los detalles. Sin embargo, la idea más general y fundamental de la epistemología kantiana conserva su significado: conocer el modo de pensamiento intuitivo a priori , y así investigar la condición de posibilidad de todo conocimiento. En mi opinión, esto es esencialmente lo que ocurre en mis investigaciones. El a priori es aquí nada más y nada menos que un modo fundamental de pensamiento, al que también llamo modo finito de pensamiento: algo ya se nos ha dado de antemano en nuestra facultad de representación: ciertoObjetos concretos extralógicos que existen intuitivamente como una experiencia inmediata ante todo pensamiento. Para que la inferencia lógica sea cierta, entonces estos objetos deben ser completamente inspeccionables en todas sus partes, y su presentación, sus diferencias, su sucesión o su disposición uno al lado del otro se nos da de manera inmediata e intuitiva, junto con el los objetos, como algo que no puede reducirse a otra cosa, ni necesita tal reducción "(Hilbert 1931 en Mancosu 1998: 266, 267).

En resumen, según Hilbert y Bernays, la noción de "secuencia" o "sucesor" es una noción a priori que se encuentra fuera de la lógica simbólica.

Hilbert descartó el logicismo como un "camino falso": "Algunos trataron de definir los números de forma puramente lógica; otros simplemente tomaron los modos habituales de inferencia de la teoría de los números como evidentes. En ambos caminos encontraron obstáculos que resultaron ser insuperables". (Hilbert 1931 en Mancoso 1998: 267). Podría decirse que los teoremas de la incompletitud constituyen un obstáculo similar para el finitismo de Hilbert.

Mancosu afirma que Brouwer concluyó que: "las leyes o principios clásicos de la lógica son parte de [la] regularidad percibida [en la representación simbólica]; se derivan del registro post factum de construcciones matemáticas ... Lógica teórica ... [ es] una ciencia empírica y una aplicación de las matemáticas "(Brouwer citado por Mancosu 1998: 9).

Gödel 1944 : Con respecto a los aspectos técnicos del logicismo Russelliano tal como aparece en Principia Mathematica (cualquiera de las dos ediciones), Gödel se sintió decepcionado:

"Es de lamentar que esta primera presentación completa y exhaustiva de una lógica matemática y la derivación de las matemáticas a partir de ella [¿carece?] De una precisión formal en los fundamentos (contenida en * 1– * 21 de Principia ) que presenta a este respecto un considerable retroceso en comparación con Frege. Lo que falta, sobre todo, es una declaración precisa de la sintaxis del formalismo "(cf. nota 1 en Gödel 1944 Collected Works 1990: 120).

En particular, señaló que "El asunto es especialmente dudoso para la regla de sustitución y de reemplazar símbolos definidos por sus definiens " (Russell 1944: 120)

Con respecto a la filosofía que podría subyacer a estos fundamentos, Gödel consideró que la "teoría sin clases" de Russell encarnaba un "tipo nominalista de constructivismo ... que podría llamarse mejor ficcionalismo" (cf. nota al pie 1 en Gödel 1944: 119) - ser defectuoso. Vea más en "Críticas y sugerencias de Gödel" a continuación.

Grattan-Guinness : Una teoría complicada de las relaciones continuó estrangulando la explicativa Introducción a la Filosofía Matemática de 1919 de Russell y su segunda edición de Principia de 1927 . Mientras tanto, la teoría de conjuntos había avanzado con su reducción de la relación con el par ordenado de conjuntos. Grattan-Guinness observa que en la segunda edición de Principia Russell ignoró esta reducción que había logrado su propio alumno Norbert Wiener (1914). Quizás debido a "la molestia residual, Russell no reaccionó en absoluto". ^[21] En 1914, Hausdorff proporcionaría otra definición equivalente, y Kuratowski en 1921 proporcionaría la que se usa hoy en día. ^[22]

La clase de unidad, la impredicatividad y el principio del círculo vicioso

Una definición impredicativa benigna : Supongamos que un bibliotecario quiere indexar su colección en un solo libro (llámelo Ι para "índice"). Su índice enumerará todos los libros y sus ubicaciones en la biblioteca. Resulta que solo hay tres libros, y estos tienen títulos Ά, β y Γ. Para formar su índice I, sale y compra un libro de 200 páginas en blanco y lo etiqueta "I". Ahora tiene cuatro libros: I, Ά, β y Γ. Su tarea no es difícil. Cuando se completa, el contenido de su índice I son 4 páginas, cada una con un título único y una ubicación única (cada entrada abreviada como Título, Ubicación _T ):

Yo ← {IL _I , Ά.L _Ά , β.L _β , Γ.L _Γ }.

Poincaré consideró que este tipo de definición de yo era " impredicativa ". Parece haber considerado que solo se pueden permitir definiciones predicativas en matemáticas:

"una definición es 'predicativa' y lógicamente admisible sólo si excluye todos los objetos que dependen de la noción definida, es decir, que pueden ser determinados de alguna manera por ella". ^[23]

Según la definición de Poincaré, el libro índice del bibliotecario es "impredicativo" porque la definición de I depende de la definición de la totalidad I, Ά, β y Γ. Como se indica a continuación, algunos comentaristas insisten en que la impredicatividad en las versiones de sentido común es inofensiva, pero como muestran los ejemplos a continuación, hay versiones que no son inofensivas. En respuesta a estas dificultades, Russell abogó por una prohibición fuerte, su "principio del círculo vicioso":

"Ninguna totalidad puede contener miembros definibles sólo en términos de esta totalidad, o miembros que involucren o presupongan esta totalidad" (principio del círculo vicioso) "(Gödel 1944 que aparece en Collected Works Vol. II 1990: 125). ^[24]

Una impredicatividad perniciosa: α = NOT-α : Para ilustrar lo que podría ser una instancia perniciosa de impredicatividad, considere la consecuencia de ingresar el argumento α en la función f con salida ω = 1 - α. Esto puede verse como la expresión de 'lógica algebraica' equivalente a la expresión de 'lógica simbólica' ω = NOT-α, con valores de verdad 1 y 0. Cuando la entrada α = 0, la salida ω = 1; cuando la entrada α = 1, la salida ω = 0.

Para hacer que la función sea "impredicativa", identifica la entrada con la salida, obteniendo α = 1-α

Dentro del álgebra de, digamos, números racionales, la ecuación se satisface cuando α = 0.5. Pero dentro, por ejemplo, de un álgebra booleana, donde sólo se permiten "valores de verdad" 0 y 1, la igualdad no puede satisfacerse.

Impredicatividad fatal en la definición de la clase de unidad : algunas de las dificultades en el programa lógico pueden derivar de la paradoja α = NOT-α ^[25] Russell descubrió en la Begriffsschrift de Frege de 1879 ^[26] que Frege había permitido que una función derivara su entrada "funcional" (valor de su variable) no sólo de un objeto (cosa, término), sino también de la propia salida de la función. ^[27]

Como se describió anteriormente, las construcciones de los números naturales, tanto de Frege como de Russell, comienzan con la formación de clases equinumeras de clases ("paquetes"), seguidas de una asignación de un "número" único a cada paquete, y luego de la colocación de los paquetes. en un orden a través de una relación S que es asimétrica: x S y ≠ y S x . Pero Frege, a diferencia de Russell, permitió que la clase de clases de unidades se identificara como una unidad en sí misma:

Pero, dado que la clase con el número 1 es un solo objeto o unidad por derecho propio, también debe incluirse en la clase de clases de unidades. Esta inclusión da como resultado una "regresión infinita" (como la llamó Gödel) de "tipo" creciente y contenido creciente.

Russell evitó este problema al declarar que una clase era más o una "ficción". Con esto quería decir que una clase podía designar solo aquellos elementos que satisfacían su función proposicional y nada más. Como "ficción" una clase no puede considerarse una cosa: una entidad, un "término", una singularidad, una "unidad". Es un ensamblaje, pero, en opinión de Russell, no es "digno de ser un objeto":

"La clase como muchos ... es inobjetable, pero es muchos y no uno. Si lo deseamos, podemos representar esto con un solo símbolo: así x ε u significará" x es una de las u ". Esto no debe tomarse como una relación de dos términos, x y u , porque u como la conjunción numérica no es un término único ... Así, una clase de clases será de muchos muchos; sus constituyentes serán cada uno solo muchos, y por lo tanto no pueden en cualquier sentido, uno podría suponer, ser constituyentes únicos. [etc] "(1903: 516).

Esto supone que "en la parte inferior" cada "término" solitario se puede enumerar (especificado por un predicado "predicativo") para cualquier clase, para cualquier clase de clases, para la clase de clases de clases, etc., pero introduce un nuevo problema: una jerarquía de "tipos" de clases.

Una solución a la impredicatividad: una jerarquía de tipos

Clases como no objetos, como ficciones útiles : Gödel 1944: 131 observa que "Russell aduce dos razones en contra de la visión extensional de las clases, a saber, la existencia de (1) la clase nula, que no puede ser muy bien una colección, y (2 ) las clases de unidades, que tendrían que ser idénticas a sus elementos individuales ". Sugiere que Russell debería haberlos considerado ficticios, pero no derivar la conclusión adicional de que todas las clases (como la clase de clases que definen los números 2, 3, etc.) son ficciones.

Pero Russell no hizo esto. Después de un análisis detallado en el Apéndice A: Las doctrinas lógicas y aritméticas de Frege en su 1903, Russell concluye:

"La doctrina lógica que se nos impone así es la siguiente: el sujeto de una proposición puede no ser un solo término, sino esencialmente muchos términos; este es el caso de todas las proposiciones que afirman números distintos de 0 y 1" (1903: 516) .

En la siguiente nota, la expresión "la clase como muchos": una clase es un agregado de esos términos (cosas) que satisfacen la función proposicional, pero una clase no es una cosa en sí misma :

"Así, la conclusión final es que la teoría correcta de clases es incluso más extensiva que la del Capítulo VI; que la clase como muchos es el único objeto siempre definido por una función proposicional, y que esto es adecuado para propósitos formales" (1903 : 518).

Es como si un ganadero reuniera todo su ganado (ovejas, vacas y caballos) en tres corrales ficticios (uno para las ovejas, otro para las vacas y otro para los caballos) que se ubican en su rancho ficticio. Lo que realmente existe son las ovejas, las vacas y los caballos (las extensiones), pero no los "conceptos" ficticios de corrales y rancho. ^{[ investigación original? ]}

Teoría ramificada de tipos: órdenes de función y tipos de argumento, funciones predicativas : cuando Russell proclamó que todas las clases son ficciones útiles, resolvió el problema de la clase "unidad", pero el problema general no desapareció; más bien, llegó en una nueva forma: "Ahora será necesario distinguir (1) términos, (2) clases, (3) clases de clases, y así sucesivamente hasta el infinito ; tendremos que sostener que ningún miembro de una conjunto es miembro de cualquier otro conjunto, y que x ε u requiere que x sea ​​de un conjunto de un grado menor en uno que el conjunto al que pertenece u . Por lo tanto, x ε x se convertirá en una proposición sin sentido; y así se evita la contradicción ”(1903: 517).

Esta es la "doctrina de los tipos" de Russell. Para garantizar que expresiones impredicativas como x ε x puedan ser tratadas en su lógica, Russell propuso, como una especie de hipótesis de trabajo, que todas esas definiciones impredicativas tienen definiciones predicativas. Esta suposición requiere las nociones de función- "órdenes" y argumento- "tipos". Primero, las funciones (y sus clases como extensiones, es decir, "matrices") deben clasificarse por su "orden", donde las funciones de los individuos son de orden 1, las funciones de funciones (clases de clases) son de orden 2, y así sucesivamente. A continuación, se define el "tipo" de los argumentos de una función ( "entradas" de la función) para ser su "rango de significación", es decir cuáles son esas entradas alpha(¿individuos? ¿clases? ¿clases-de-clases? etc.) que, cuando se conectan a f (x), producen una salida significativa ω. Tenga en cuenta que esto significa que un "tipo" puede ser de orden mixto, como muestra el siguiente ejemplo:

"Joe DiMaggio y los Yankees ganaron la Serie Mundial de 1947".

Esta oración se puede descomponer en dos cláusulas: " x ganó la Serie Mundial de 1947" + " y ganó la Serie Mundial de 1947". La primera oración toma para x un individuo "Joe DiMaggio" como entrada, la otra toma para y un agregado "Yankees" como entrada. Así, la oración compuesta tiene un tipo (mixto) de 2, mixto en el orden (1 y 2).

Por "predicativo", Russell quiso decir que la función debe ser de un orden superior al "tipo" de su (s) variable (s). Por lo tanto, una función (de orden 2) que crea una clase de clases solo puede considerar argumentos para su (s) variable (s) que son clases (tipo 1) e individuos (tipo 0), ya que estos son tipos inferiores. El tipo 3 solo puede entretener a los tipos 2, 1 o 0, etc. Pero estos tipos se pueden mezclar (por ejemplo, para que esta oración sea (más o menos) verdadera: " z ganó la Serie Mundial de 1947" podría aceptar al individuo (tipo 0) "Joe DiMaggio" y / o los nombres de sus otros compañeros de equipo , y podría aceptar la clase (tipo 1) de jugadores individuales "Los Yankees".

El axioma de reducibilidad : El axioma de reducibilidad es la hipótesis de que cualquier función de cualquier orden puede reducirse (o sustituirse por) una función predicativa equivalente del orden apropiado. ^[28] Una lectura cuidadosa de la primera edición indica que una función predicativa de ^enésimo orden no necesita expresarse "completamente hacia abajo" como una enorme "matriz" o agregado de proposiciones atómicas individuales. "Porque en la práctica sólo los tipos relativos de variables son relevantes; así, el tipo más bajo que ocurre en un contexto dado puede llamarse el de los individuos" (p. 161). Pero el axioma de reducibilidad propone que en teoría es posible una reducción "completamente hacia abajo".

Russell 1927 abandona el axioma de reducibilidad : en la segunda edición de PM de 1927, sin embargo, Russell había renunciado al axioma de reducibilidad y concluyó que de hecho forzaría cualquier orden de función "hasta el final" a sus proposiciones elementales, vinculadas junto con operadores lógicos:

"Todas las proposiciones, de cualquier orden, se derivan de una matriz compuesta de proposiciones elementales combinadas por medio del trazo" ( PM 1927 Apéndice A, p. 385)

(El "trazo" es el trazo de Sheffer, adoptado para la segunda edición de PM, una función lógica de dos argumentos a partir de la cual se pueden definir todas las demás funciones lógicas).

Sin embargo, el resultado neto fue un colapso de su teoría. Russell llegó a esta descorazonadora conclusión: que "la teoría de los ordinales y cardinales sobrevive ... pero los irracionales, y los números reales en general, ya no pueden tratarse adecuadamente ... Quizás algún otro axioma, menos objetable que el axioma de reducibilidad". , podría dar estos resultados, pero no hemos logrado encontrar tal axioma "( PM 1927: xiv).

Gödel 1944 está de acuerdo en que el proyecto lógico de Russell fue bloqueado; parece no estar de acuerdo con que incluso los números enteros sobrevivieron:

"[En la segunda edición] Se descarta el axioma de reducibilidad, y se afirma explícitamente que todos los predicados primitivos pertenecen al tipo más bajo y que el único propósito de las variables (y evidentemente también de las constantes) de órdenes y tipos superiores es hacer es posible afirmar funciones de verdad más complicadas de proposiciones atómicas "(Gödel 1944 en Collected Works : 134).

Gödel afirma, sin embargo, que este procedimiento parece presuponer la aritmética de una forma u otra (p. 134). Deduce que "se obtienen números enteros de diferentes órdenes" (p. 134-135); la prueba en el Apéndice B de Russell 1927 PM de que "los números enteros de cualquier orden superior a 5 son los mismos que los de orden 5" es "no concluyente" y "la cuestión de si (o en qué medida) se puede obtener la teoría de los números enteros sobre la base de la jerarquía ramificada [clases más tipos] debe considerarse como no resuelto en el momento actual ". Gödel concluyó que de todos modos no importaría porque las funciones proposicionales de orden n (cualquier n ) deben describirse mediante combinaciones finitas de símbolos (todas las citas y el contenido derivado de la página 135).

Críticas y sugerencias de Gödel

Gödel, en su obra de 1944, identifica el lugar donde considera que el logicismo de Russell falla y ofrece sugerencias para rectificar los problemas. Somete a un nuevo examen el "principio del círculo vicioso", dividiéndolo en tres partes "definibles sólo en términos de", "implicar" y "presuponer". Es la primera parte la que "imposibilita las definiciones impredicativas y, por lo tanto, destruye la derivación de la matemática de la lógica, efectuada por Dedekind y Frege, y una buena parte de la matemática misma". Dado que, argumenta, las matemáticas se basan en sus impredicatividades inherentes (por ejemplo, "números reales definidos por referencia a todos los números reales"), concluye que lo que ha ofrecido es "una prueba de que el principio del círculo vicioso es falso [en lugar de] que la matemática clásica es falsa "(todas las citas de Gödel 1944: 127).

La teoría sin clases de Russell es la raíz del problema : Gödel cree que la impredicatividad no es "absurda", como aparece en las matemáticas. El problema de Russell deriva de su punto de vista "constructivista (o nominalista" ^[29] ) hacia los objetos de la lógica y las matemáticas, en particular hacia las proposiciones, clases y nociones. . . una noción es un símbolo. . . de modo que un objeto separado denotado por el símbolo aparece como una mera ficción ”(p. 128).

De hecho, la teoría de la "no clase" de Russell, Gödel concluye:

"es de gran interés como uno de los pocos ejemplos, llevados a cabo en detalle, de la tendencia a eliminar los supuestos sobre la existencia de objetos fuera de los" datos "y reemplazarlos por construcciones a partir de estos datos ³³ . "han de entenderse en un sentido relativo aquí; es decir, en nuestro caso como lógica sin el supuesto de la existencia de clases y conceptos]. El resultado ha sido en este caso esencialmente negativo; es decir, las clases y conceptos introducidos de esta manera no tienen todas las propiedades requeridas de su uso en matemáticas ... Todo esto es solo una verificación de la visión defendida anteriormente de que la lógica y las matemáticas (al igual que la física) se construyen sobre axiomas con un contenido real que no puede explicarse "(p. .132)

Concluye su ensayo con las siguientes sugerencias y observaciones:

"Uno debería tomar un curso más conservador, como por ejemplo, tratar de aclarar el significado de los términos" clase "y" concepto ", y establecer una teoría coherente de clases y conceptos como entidades objetivamente existentes. Este es el curso que ha estado tomando el desarrollo real de la lógica matemática y que el propio Russell se ha visto obligado a abordar en las partes más constructivas de su trabajo. Los principales intentos en esta dirección ... son la teoría simple de tipos ... y axiomática teoría de conjuntos, ambas de las cuales han tenido éxito al menos en esta medida, que permiten la derivación de las matemáticas modernas y al mismo tiempo evitan todas las paradojas conocidas.¶ Parece razonable sospechar que es esta comprensión incompleta de los fundamentos la responsable del hecho de que la lógica matemática hasta ahora se haya quedado tan atrás de las altas expectativas de Peano y otros. . .. "(pág. 140)

Neo-logicismo

El neo-logicismo describe una gama de puntos de vista considerados por sus proponentes como sucesores del programa lógico original. ^[30] En términos más estrictos, el neologismo puede verse como el intento de salvar algunos o todos los elementos del programa de Frege mediante el uso de una versión modificada del sistema de Frege en el Grundgesetze (que puede verse como una especie de lógica de segundo orden ).

Por ejemplo, uno podría reemplazar la Ley Básica V (análoga al esquema de axioma de comprensión sin restricciones en la teoría de conjuntos ingenua ) con algún axioma "más seguro" para evitar la derivación de las paradojas conocidas. El candidato más citado para reemplazar BLV es el principio de Hume , la definición contextual de '#' dada por '#F = #G si y solo si hay una biyección entre F y G'. ^[31] Este tipo de neo-logicismo a menudo se conoce como neofregeanismo . ^[32] Los defensores del neofregeanismo incluyen Crispin Wright y Bob Hale , a veces también llamados la Escuela Escocesa oPlatonismo abstraccionista , ^[33] que defiende una forma de fundacionalismo epistémico . ^[34]

Otros grandes defensores del neo-logicismo incluyen a Bernard Linsky y Edward N. Zalta , a veces llamados la Escuela Stanford-Edmonton , estructuralismo abstracto o neo-logicismo modal que defienden una forma de metafísica axiomática . ^{[34] [32]} El neo-logicismo modal deriva los axiomas de Peano dentro de la teoría del objeto modal de segundo orden . ^{[35] [36]}

M. Randall Holmes ha sugerido otro enfoque cuasi-neo-logicista. En este tipo de enmienda al Grundgesetze , BLV permanece intacto, salvo por una restricción a fórmulas estratificables a la manera de NF de Quine y sistemas relacionados. Esencialmente todo el Grundgesetze "pasa". El sistema resultante tiene la misma fuerza de consistencia que el Axioma de conteo de NFU + Rosser de Jensen . ^[37]

Notas

1. Logicism Archivado el 20 de febrero de 2008 en la Wayback Machine.
2. Zalta, Edward N. (ed.). "Principia Mathematica" . Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
3. "Sobre la relevancia filosófica de los teoremas de incompletitud de Gödel"
4. Gabbay, Dov M. (2009). Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas (volumen 153 ed.). Ámsterdam: Elsevier, inc. págs. 59–90. ISBN 978-0-444-52012-8. Consultado el 1 de septiembre de 2019 .
5. Reck, Erich (1997),La influencia de Frege en Wittgenstein: invertir la metafísica a través del principio de contexto (PDF)
6. La cita exacta de Russell 1919 es la siguiente: "Ha llegado el momento de pasar a las consideraciones que hacen necesario avanzar más allá del punto de vista de Peano, que representa la última perfección de la" aritmetización "de las matemáticas, al de Frege , quien primero logró "logicizar" las matemáticas, es decir, reducir a la lógica las nociones aritméticas que sus predecesores habían demostrado que eran suficientes para las matemáticas ". (Russell 1919/2005: 17).
7. Por ejemplo, von Neumann 1925 citaría a Kronecker de la siguiente manera: "El infinito numerable... No es más que la noción general del entero positivo, sobre el que descansan las matemáticas y del que incluso Kronecker y Brouwer admiten que fue" creado por Dios "" (von Neumann 1925 Una axiomatización de la teoría de conjuntos en van Heijenoort 1967: 413).
8. Hilbert 1904 Sobre los fundamentos de la lógica y la aritmética en van Heijenoort 1967: 130.
9. Páginas 474-5 en Hilbert 1927, The Foundations of Mathematics en: van Heijenoort 1967: 475.
10. Perry en su Introducción a Russell 1912 de 1997: ix)
11. Cf. Russell 1912: 74.
12. "Debe admitirse ... que los principios lógicos nos son conocidos, y no pueden ser probados por la experiencia, ya que toda prueba los presupone. En esto, por lo tanto ... los racionalistas tenían razón" (Russell 1912: 74 ).
13. "No se puede saber que nada existe excepto con la ayuda de la experiencia" (Russell 1912: 74).
14. Lleva el punto a casa (páginas 67-68) donde define cuatro condiciones que determinan lo que llamamos "los números" (cf. (71)). Definición, página 67: el conjunto sucesor N 'es parte de la colección N, hay un punto de partida "1 _o " [número base de la serie numérica N ], este "1" no está contenido en ningún sucesor, para cualquier n en la colección existe una φ transformación ( n ) a un único (distinguibles) n(cf. (26). Definición)). Observa que al establecer estas condiciones "descuidamos por completo el carácter especial de los elementos; simplemente reteniendo su distinguibilidad y teniendo en cuenta solo la relación entre sí ... por la transformación de establecimiento de órdenes φ .... Con referencia a esto liberando los elementos de cualquier otro contenido (abstracción) estamos justificados al llamar a los números una creación libre de la mente humana ". (pág.68)
15. En su 1903 y en PM, Russell se refiere a tales supuestos (hay otros) como "proposiciones primitivas" ("pp" en oposición a "axiomas" (también hay algunos). Pero el lector nunca está seguro de si estos pp son axiomas / esquemas de axiomas o dispositivos de construcción (como sustitución o modus ponens ), o qué, exactamente. Gödel 1944: 120 comenta sobre esta ausencia de sintaxis formal y la ausencia de un proceso de sustitución claramente especificado.
16. Cf. La filosofía de las matemáticas y la teoría de la prueba de Hilbert 1930: 1931 en Mancosu, p. 242.
17. Para ser precisos, tanto childname = variable x como el apellido Fn son variables. El dominio de Childname es "todos los childnames", y el apellido Fn tiene un dominio que consta de las 12 familias de la calle.
18. "Si los predicados se dividen en clases con respecto a la equinumerosidad de tal manera que todos los predicados de una clase son equinumerosos entre sí y los predicados de diferentes clases no son equinumeros, entonces cada una de esas clases representa el Número , que se aplica a los predicados que le pertenecen "(Bernays 1930-1 en Mancosu 1998: 240.
19. Cf. secciones 487 y siguientes (páginas 513 y siguientes en el Apéndice A).
20. 1909 Apéndice A
21. Russell consideró a Wiener "el fenómeno infantil ... más infantil que fenómeno"; ver la confrontación de Russell con Wiener en Grattan-Guinness 2000: 419ff.
22. Véase el comentario de van Heijenoort y la simplificación de la lógica de las relaciones de Norbert Wiener de 1914en van Heijenoort 1967: 224ff.
23. Zermelo 1908 en van Heijenoort 1967: 190. Véase la discusión de esta misma cita en Mancosu 1998: 68.
24. Esta misma definición aparece también en Kleene 1952: 42.
25. Una fuente para obtener más detalles es Fairouz Kamareddine, Twan Laan y Rob Nderpelt, 2004, Una perspectiva moderna sobre la teoría de tipos, desde sus orígenes hasta hoy , Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Países Bajos, ISBN. Dan una demostración de cómo crear la paradoja (páginas 1–2), de la siguiente manera: Defina un agregado / clase / conjunto y de esta manera: ∃y∀x [x ε y ↔ Φ (x)]. (Esto dice: existe una clase y tal que para CUALQUIERla entrada x, x es un elemento del conjunto y si y solo si x satisface la función dada Φ.) Tenga en cuenta que (i) la entrada x no tiene restricciones en cuanto al "tipo" de cosa que puede ser (puede ser una cosa, o una clase), y (ii) la función Φ tampoco está restringida. Elija la siguiente función complicada Φ (x) = ¬ (x ε x). (Esto dice: Φ (x) se satisface cuando x NO es un elemento de x)). Como y (una clase) también es "sin restricciones", podemos insertar "y" como entrada: ∃y [y ε y ↔ ¬ (y ε y)]. Esto dice que "existe una clase y que es un elemento de sí mismo sólo si NO lo es y un elemento de sí mismo. Esa es la paradoja.
26. La carta de Russell a Frege anunciando el "descubrimiento", y la carta de Frege a Russell en triste respuesta, junto con un comentario, se pueden encontrar en van Heijenoort 1967: 124-128. Zermelo en su 1908 reclamó la prioridad del descubrimiento; cf. nota a pie de página 9 en la página 191 en van Heijenoort.
27. van Heijenoort 1967: 3 y páginas 124-128
28. "El axioma de reducibilidad es la suposición de que, dada cualquier función φẑ, existe unafunción predicativa formalmente equivalente,es decir, hay una función predicativa que es verdadera cuando φz es verdadera y falsa cuando φz es falsa. En símbolos, el axioma es: ⊦: (∃ψ): φz. ≡ _z .ψ! z. " (Edición PM 1913/1962: 56, el original usa x con un circunflejo). Aquí φẑ indica la función con variable ẑ, es decir, φ (x) donde x es el argumento "z"; φz indica el valor de la función dado el argumento "z"; ≡ _z indica "equivalencia para todo z"; ψ! z indica una función predicativa, es decir, una sin variables excepto individuos.
29. Perry observa que Platón y Russell están "entusiasmados" con los "universales", luego en la siguiente oración escribe: "Los 'nominalistas' piensan que todo lo que los particulares tienen en común son las palabras que les aplicamos" (Perry en su Introducción de 1997 a Russell 1912: xi). Perry agrega que si bien tu sudadera y la mía son objetos diferentes generalizados por la palabra "sudadera", tú tienes una relación con la tuya y yo con la mía. Y Russell "trató las relaciones a la par con otros universales" (p. Xii). Pero Gödel está diciendo que la teoría de la "no clase" de Russell niega a los números el estatus de "universales".
30. Bernard Linsky y Edward N. Zalta , "¿Qué es el neologicismo?" , The Bulletin of Symbolic Logic , 12 (1) (2006): 60–99.
31. PHIL 30067: Logicism and Neo-Logicism Archivado el 17 de julio de 2011 en la Wayback Machine.
32. Zalta, Edward N. (ed.). "Logicismo y neologicismo" . Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
33. Bob Hale y Crispin Wright (2002), "Revisión del dilema de Benacerraf", European Journal of Philosophy 10 (1): 101-129, esp. "6. Objeciones y Calificaciones".
34. st-andrews.ac.uk Archivado el 24 de diciembre de 2006 en la Wayback Machine.
35. Edward N. Zalta , "Números naturales y cardenales naturales como objetos abstractos: una reconstrucción parcial de Grundgesetze de Fregeen la teoría de objetos", Journal of Philosophical Logic , 28 (6) (1999): 619-660 /
36. Edward N. Zalta , "¿Neo-logicismo? Una reducción ontológica de las matemáticas a la metafísica", Erkenntnis , 53 (1-2) (2000), 219-265.
37. M. Randall Holmes, "Reparando la lógica de Frege" , 5 de agosto de 2018.

Bibliografía

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• Jean van Heijenoort, 1967, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , tercera edición de 1976, Harvard University Press, Cambridge, MA, ISBN 0-674-32449-8 . Incluye la Begriffsschrift de Frege de 1879 con comentarios de van Heijenoort, la lógica matemática de Russell de 1908 basada en la teoría de tipos con comentarios de Willard V. Quine, una nueva prueba de la posibilidad de un buen ordenamiento de Zermelo de 1908 con comentarios de van Heijenoort, cartas a Frege de Russell y de Russell a Frege, etc. 
• Stephen C. Kleene, 1971, 1952, Introducción a las metamatemáticas 1991 décima impresión , North-Holland Publishing Company, Amsterdam, NY, ISBN 0-7204-2103-9 . 
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  • Amit Hagar 2005 Introducción a Bertrand Russell, 1919, Introducción a la filosofía matemática , Barnes & Noble, Inc, Nueva York, NY, ISBN 978-1-4114-2942-0 . 

• Alfred North Whitehead y Bertrand Russell, 1927 2ª edición, (primera edición 1910–1913), Principia Mathematica hasta * 56,1962 Edición , Cambridge en University Press, Cambridge Reino Unido, sin ISBN. Segunda edición, abreviada a * 56, con Introducción a la Segunda Edición, páginas Xiii-xlvi, y nuevo Apéndice A (* 8 Proposiciones que contienen variables aparentes ) para reemplazar * 9 Teoría de variables aparentes , y Apéndice C Funciones de verdad y otros .

Enlaces externos

• "Logicismo" en la Enciclopedia de Matemáticas