Las matemáticas de la lotería se utilizan para calcular las probabilidades de ganar o perder un juego de lotería . Se basa principalmente en la combinatoria , en particular la forma de doce y combinaciones sin reemplazo .
Escogiendo 6 de 49
En un juego típico de 6/49, cada jugador elige seis números distintos de un rango del 1 al 49. Si los seis números de un boleto coinciden con los números extraídos por la lotería, el poseedor del boleto es el ganador del premio mayor, independientemente del orden de los números. La probabilidad de que esto suceda es de 1 en 13,983,816.
La posibilidad de ganar se puede demostrar de la siguiente manera: El primer número extraído tiene una probabilidad de 1 en 49 de coincidir. Cuando el sorteo llega al segundo número, ahora solo quedan 48 bolas en la bolsa, porque las bolas se extraen sin reemplazo . Así que ahora hay una probabilidad de 1 en 48 de predecir este número.
Por lo tanto, para cada una de las 49 formas de elegir el primer número, hay 48 formas diferentes de elegir el segundo. Esto significa que la probabilidad de predecir correctamente 2 números extraídos de 49 en el orden correcto se calcula como 1 en 49 × 48. Al extraer el tercer número solo hay 47 formas de elegir el número; pero, por supuesto, podríamos haber llegado a este punto en cualquiera de las 49 × 48 formas, por lo que las posibilidades de predecir correctamente 3 números extraídos de 49, nuevamente en el orden correcto, es de 1 en 49 × 48 × 47. Esto continúa hasta el sexto Se ha dibujado el número, dando el cálculo final, 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44, que también se puede escribir comoo 49 factorial dividido por 43 factorial. Esto equivale a 10,068,347,520, que es mucho más grande que los ~ 14 millones indicados anteriormente.
Sin emabargo; el orden de los 6 números no es significativo. Es decir, si un boleto tiene los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6, gana siempre que se extraigan todos los números del 1 al 6, sin importar en qué orden salgan. En consecuencia, dado cualquier conjunto de 6 números, hay 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6 ! o 720 pedidos en los que se podrían extraer. Dividiendo 10,068,347,520 por 720 da 13,983,816, también escrito como, o más generalmente como
- , donde n es el número de alternativas y k es el número de opciones. Más información está disponible en coeficiente binomial y coeficiente multinomial .
Esta función se llama función de combinación . Para el resto de este artículo, usaremos la notación. "Combinación" significa el grupo de números seleccionados, independientemente del orden en que se extraigan.
Un método alternativo para calcular las probabilidades es tener en cuenta que la probabilidad de que la primera bola corresponda a una de las seis elegidas es 6/49; la probabilidad de que la segunda bola corresponda a una de las cinco restantes elegidas es 5/48; y así. Esto produce una fórmula final de
El rango de combinaciones posibles para una lotería determinada puede denominarse "espacio numérico". La "cobertura" es el porcentaje del espacio numérico de una lotería que está en juego para un sorteo determinado.
Probabilidades de obtener otras posibilidades al elegir 6 de 49
Uno debe dividir el número de combinaciones que producen el resultado dado por el número total de combinaciones posibles (por ejemplo, ). El numerador equivale al número de formas de seleccionar los números ganadores multiplicado por el número de formas de seleccionar los números perdedores.
Para una puntuación de n (por ejemplo, si 3 opciones coinciden con tres de las 6 bolas extraídas, entonces n = 3),describe las probabilidades de seleccionar n números ganadores de los 6 números ganadores. Esto significa que hay 6 - n números perdedores, que se eligen de los 43 números perdedores enformas. El número total de combinaciones que dan ese resultado es, como se indicó anteriormente, el primer número multiplicado por el segundo. Por tanto, la expresión es.
Esto se puede escribir en forma general para todas las loterías como:
dónde es el número de bolas en la lotería, es el número de bolas en un solo boleto, y es el número de bolas coincidentes para un boleto ganador.
La generalización de esta fórmula se llama distribución hipergeométrica .
Esto da los siguientes resultados:
Puntaje | Cálculo | Probabilidad exacta | Probabilidad decimal aproximada | Aproximada 1 / Probabilidad |
---|---|---|---|---|
0 | 435,461 / 998,844 | 0.436 | 2.2938 | |
1 | 68,757 / 166,474 | 0.413 | 2.4212 | |
2 | 44,075 / 332,948 | 0,132 | 7.5541 | |
3 | 8.815 / 499.422 | 0.0177 | 56,66 | |
4 | 645 / 665,896 | 0,000969 | 1.032,4 | |
5 | 43 / 2,330,636 | 0,0000184 | 54.200,8 | |
6 | 1 / 13,983,816 | 0,0000000715 | 13,983,816 |
Cuando se incluye un número de bonificación, las probabilidades ajustadas son: [1]
Puntaje | Cálculo | Probabilidad exacta | Probabilidad decimal aproximada | Aproximada 1 / Probabilidad |
---|---|---|---|---|
5, bono no ganado | 0,0000180208 | 55.491,33 | ||
5, bonificación ganada | 0,0000004291 | 2,330,636 |
Asegurarse de ganar el premio mayor
Solo hay una forma conocida de asegurarse de ganar el premio mayor. Es decir, comprar al menos un billete de lotería por cada combinación de números posible. Por ejemplo, uno tiene que comprar 13,983,816 boletos diferentes para asegurarse de ganar el premio mayor en un juego 6/49.
Las organizaciones de lotería tienen leyes, reglas y salvaguardas para evitar que los jugadores ejecuten una operación de este tipo. Además, el simple hecho de ganar el premio mayor comprando todas las combinaciones posibles no garantiza el punto de equilibrio ni la obtención de beneficios.
Si es la probabilidad de ganar; el costo de un boleto; el costo de obtener un boleto (por ejemplo, incluida la logística); costos únicos de la operación (como el establecimiento y la realización de la operación); luego el premio mayor debe contener al menos
tener la oportunidad de al menos alcanzar el punto de equilibrio.
El punto de "probabilidad de equilibrio" teórico anterior está ligeramente compensado por la suma de los premios menores también incluidos en todos los billetes de lotería:
Aún así, incluso si se satisface la relación anterior, no garantiza el punto de equilibrio. El pago depende de la cantidad de boletos ganadores para todos los premios., resultando en la relación
Probablemente en las únicas operaciones exitosas conocidas [2], el umbral para ejecutar una operación se estableció en tres veces el costo de los tickets por razones desconocidas.
Es decir
Sin embargo, esto no elimina todos los riesgos de no obtener ganancias. El éxito de las operaciones aún dependía de un poco de suerte. Además, en una operación falló la logística y no se pudieron obtener todas las combinaciones. Esto agregó el riesgo de ni siquiera ganar el premio mayor.
Powerballs y bolas de bonificación
Muchas loterías tienen una Powerball (o "bola de bonificación"). Si la bola de poder se extrae de un grupo de números diferentes de la lotería principal, las probabilidades se multiplican por el número de bolas de poder. Por ejemplo, en la lotería 6 de 49, dados 10 números de powerball, entonces las probabilidades de obtener un puntaje de 3 y el powerball serían 1 en 56.66 × 10, o 566.6 (la probabilidad se dividiría por 10, para dar un resultado exacto valor de). Otro ejemplo de un juego de este tipo es Mega Millions , aunque con diferentes probabilidades de premio mayor.
Cuando se extrae más de una bola de poder de un grupo de bolas separado para la lotería principal (por ejemplo, en el juego de Euromillones ), las probabilidades de las diferentes puntuaciones posibles de coincidencia de bolas de poder se calculan utilizando el método que se muestra en la sección " otras puntuaciones " anterior (en otras palabras, las powerballs son como una mini lotería por derecho propio), y luego se multiplican por las probabilidades de lograr el puntaje requerido de la lotería principal.
Si la bola de poder se extrae del mismo grupo de números que la lotería principal, entonces, para un puntaje objetivo dado, el número de combinaciones ganadoras incluye la bola de poder. Para los juegos basados en la lotería canadiense (como la lotería del Reino Unido ), después de que se extraen las 6 bolas principales, se extrae una bola adicional del mismo grupo de bolas, que se convierte en la bola de poder (o "bola de bonificación"). . Se otorga un premio extra por hacer coincidir 5 bolas y la bola de bonificación. Como se describe en la sección " otros puntajes " anterior, el número de formas en que se puede obtener un puntaje de 5 con un solo boleto es. Dado que el número de bolas restantes es 43, y al boleto le queda 1 número incomparable,1/43de estas 258 combinaciones coincidirán con la siguiente bola extraída (la powerball), quedando 258/43 = 6 formas de conseguirlo. Por lo tanto, las probabilidades de obtener una puntuación de 5 y el powerball son.
De las 258 combinaciones que coinciden con 5 de las 6 bolas principales, en 42/43 de ellas el número restante no coincidirá con el powerball, lo que da probabilidades de por obtener una puntuación de 5 sin igualar el powerball.
Usando el mismo principio, las probabilidades de obtener una puntuación de 2 y la bola de poder son para la puntuación de 2 multiplicada por la probabilidad de que uno de los cuatro números restantes coincida con la bola de bonificación, que es 4/43 . Desde, la probabilidad de obtener la puntuación de 2 y la bola de bonificación es , probabilidades decimales aproximadas de 1 en 81.2.
La fórmula general para hacer coincidir bolas en un escoger lotería con una bola de bonificación del piscina de bolas es:
La fórmula general para hacer coincidir bolas en un escoger lotería con bola de bonificación cero del piscina de bolas es:
La fórmula general para hacer coincidir bolas en un escoger lotería con una bola de bonificación de un grupo separado de bolas es:
La fórmula general para hacer coincidir bolas en un escoger lotería sin bola de bonificación de un grupo separado de bolas es:
Número mínimo de entradas para un partido
Es un problema difícil (y a menudo abierto) calcular la cantidad mínima de boletos que uno necesita comprar para garantizar que al menos uno de estos boletos coincida con al menos 2 números. En la lotería 5 de 90, el número mínimo de boletos que puede garantizar un boleto con al menos 2 partidos es 100. [3]
Resultados teóricos de la información
Como espacio de probabilidad discreto , la probabilidad de cualquier resultado de lotería en particular es atómica , lo que significa que es mayor que cero. Por lo tanto, la probabilidad de cualquier evento es la suma de probabilidades de los resultados del evento. Esto facilita el cálculo de cantidades de interés a partir de la teoría de la información . Por ejemplo, el contenido de información de cualquier evento es fácil de calcular, mediante la fórmula
En particular, el contenido de información del resultado de variable aleatoria discreta es
Por ejemplo, ganar en el ejemplo § Elegir 6 de 49 anteriores es una variable aleatoria distribuida por Bernoulli con un 1/13,983,816posibilidad de ganar (" éxito ") Escribimos con y . El contenido de información de ganar es
La entropía de la información de una distribución de probabilidad de lotería también es fácil de calcular como el valor esperado del contenido de la información.
A menudo, la variable aleatoria de interés en la lotería es un ensayo de Bernoulli . En este caso, se puede utilizar la función de entropía de Bernoulli . Utilizando que representa ganar la lotería 6 de 49, la entropía de Shannon de 6 de 49 anterior es
Referencias
- ↑ Zabrocki, Mike ( 1 de marzo de 2003). "Cálculo de las probabilidades de ganar Lotto 6/49, versión 3" (PDF) . Consultado el 14 de agosto de 2016 .
- ^ El hombre que ganó la lotería 14 veces [1]
- ^ Z. Füredi , GJ Székely y Z. Zubor (1996). "Sobre el problema de la lotería". Revista de diseños combinatorios . 4 (1): 5–10. doi : 10.1002 / (sici) 1520-6610 (1996) 4: 1 <5 :: aid-jcd2> 3.3.co; 2-w .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace ) [2]
enlaces externos
- Análisis de Euler de la lotería genovesa en convergencia
- Matemáticas de lotería
- 13,983,816 y la Lotería (James Clewett) - Numberphile, por Brady Haran ( Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas )