En matemáticas , el teorema de Lumer-Phillips, llamado así por Günter Lumer y Ralph Phillips , es un resultado de la teoría de semigrupos fuertemente continuos que da una condición necesaria y suficiente para que un operador lineal en un espacio de Banach genere un semigrupo de contracción .
Declaración del teorema
Deje que A sea un operador lineal definida en un subespacio lineal D ( A ) del espacio de Banach X . Entonces A genera un semigrupo de contracción si y solo si [1]
- D ( A ) es denso en X ,
- A está cerrado ,
- A es disipativo y
- A - λ 0 I es sobreyectiva para algún λ 0 > 0, donde I denota el operador de identidad .
Un operador que satisface las dos últimas condiciones se denomina máxima disipación.
Variantes del teorema
Espacios reflexivos
Deje que A sea un operador lineal definida en un subespacio lineal D ( A ) de la reflexiva Banach espacio X . Entonces A genera un semigrupo de contracción si y solo si [2]
- A es disipativo y
- A - λ 0 I es sobreyectiva para algún λ 0 > 0 , donde I denota el operador de identidad .
Tenga en cuenta que las condiciones de que D ( A ) es densa y que A está cerrada se eliminan en comparación con el caso no reflexivo. Esto se debe a que en el caso reflexivo se siguen de las otras dos condiciones.
Disipatividad del contiguo
Deje que A sea un operador lineal definido en una densa lineal subespacio D ( A ) de la reflexiva Banach espacio X . Entonces A genera un semigrupo de contracción si y solo si [3]
- A es cerrado y tanto A como su operador adjunto A ∗ son disipativos .
En caso de que X no sea reflexivo, entonces esta condición para que A genere un semigrupo de contracción sigue siendo suficiente, pero no necesaria. [4]
Semigrupos de cuasicontracción
Deje que A sea un operador lineal definida en un subespacio lineal D ( A ) del espacio de Banach X . Entonces A genera un semigrupo de cuasi contracción si y solo si
- D ( A ) es denso en X ,
- A está cerrado ,
- A es cuasidisipativo , es decir, existe un ω ≥ 0 tal que A - ωI es disipativo , y
- A - λ 0 I es sobreyectiva para algún λ 0 > ω , donde I denota el operador de identidad .
Ejemplos de
- Considere H = L 2 ([0, 1]; R ) con su producto interno habitual, y sea Au = u ′ con dominio D ( A ) igual a esas funciones u en el espacio de Sobolev H 1 ([0, 1]; R ) con u (1) = 0. D ( A ) es denso. Además, para cada u en D ( A ),
- de modo que A es disipativo. La ecuación diferencial ordinaria u ' - λu = f , u (1) = 0 tiene una solución única u en H 1 ([0, 1]; R ) para cualquier f en L 2 ([0, 1]; R ), a saber
- de modo que se satisfaga la condición de sobrejetividad. Por tanto, según la versión reflexiva del teorema de Lumer-Phillips, A genera un semigrupo de contracción.
Hay muchos más ejemplos en los que una aplicación directa del teorema de Lumer-Phillips da el resultado deseado.
Junto con la teoría de la traducción, la escala y la perturbación, el teorema de Lumer-Phillips es la principal herramienta para demostrar que ciertos operadores generan semigrupos fuertemente continuos . El siguiente es un ejemplo al respecto.
- Un operador normal (un operador que conmuta con su adjunto) en un espacio de Hilbert genera un semigrupo fuertemente continuo si y solo si su espectro está acotado desde arriba. [5]
Notas
- ^ Teorema de Engel y Nagel II.3.15, Arent et al. Teorema 3.4.5, Teorema de Staffans 3.4.8
- ^ Corolario de Engel y Nagel II.3.20
- ^ Teorema de Engel y Nagel II.3.17, Teorema de Staffans 3.4.8
- ↑ Aparecen afirmaciones en la literatura que afirman equivalencia también en el caso no reflexivo (por ejemplo, Luo, Guo, Corolario de Morgul 2.28), pero son erróneas.
- ^ Ejercicio II.3.25 (ii) de Engel y Nagel
Referencias
- Lumer, Günter y Phillips, RS (1961). "Operadores disipadores en un espacio de Banach" . Pacific J. Math . 11 : 679–698. doi : 10.2140 / pjm.1961.11.679 . ISSN 0030-8730 .
- Renardy, Michael y Rogers, Robert C. (2004). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos en Matemática Aplicada 13 (Segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 356. ISBN 0-387-00444-0.
- Engel, Klaus-Jochen; Nagel, Rainer (2000), semigrupos de un parámetro para ecuaciones de evolución lineal , Springer
- Arendt, Wolfgang; Batty, Charles; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank (2001), Transformadas de Laplace con valores vectoriales y problemas de Cauchy , Birkhauser
- Staffans, Olof (2005), Sistemas lineales bien planteados , Cambridge University Press
- Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer (1999), Estabilidad y estabilización de sistemas dimensionales infinitos con aplicaciones , Springer