En matemáticas , un semigrupo C 0 , también conocido como semigrupo de un parámetro fuertemente continuo , es una generalización de la función exponencial . Así como las funciones exponenciales proporcionan soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de coeficiente constante lineal escalar , los semigrupos fuertemente continuos proporcionan soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de coeficiente constante lineal en espacios de Banach . Tales ecuaciones diferenciales en espacios de Banach surgen, por ejemplo , de ecuaciones diferenciales de retardo y ecuaciones diferenciales parciales .
Formalmente, un semigrupo fuertemente continuo es una representación del semigrupo ( R + , +) en algún espacio de Banach X que es continuo en la topología de operador fuerte . Así, estrictamente hablando, un semigrupo fuertemente continuo no es un semigrupo, sino más bien una representación continua de un semigrupo muy particular.
Definicion formal
Un semigrupo fuertemente continuo en un espacio de Banach es un mapa tal que
- , ( operador de identidad en)
- , como .
Los dos primeros axiomas son algebraicos y establecen que es una representación del semigrupo ; el último es topológico y establece que el mapaes continuo en la topología de operador fuerte .
Generador infinitesimal
El generador infinitesimal A de un semigrupo T fuertemente continuo está definido por
siempre que exista el límite. El dominio de A , D ( A ), es el conjunto de x∈X para el que existe este límite; D ( A ) es un subespacio lineal y A es lineal en este dominio. [1] El operador A está cerrado , aunque no necesariamente limitado , y el dominio es denso en X . [2]
El semigrupo T fuertemente continuo con generador A a menudo se denota con el símbolo e At . Esta notación es compatible con la notación para matrices exponenciales y para funciones de un operador definido mediante cálculo funcional (por ejemplo, mediante el teorema espectral ).
Semigrupo uniformemente continuo
Un semigrupo uniformemente continuo es un semigrupo T fuertemente continuo tal que
sostiene. En este caso, el generador infinitesimal A de T está acotado y tenemos
y
Por el contrario, cualquier operador acotado
es el generador infinitesimal de un semigrupo uniformemente continuo dado por
- .
Por lo tanto, un operador lineal A es el generador infinitesimal de un semigrupo uniformemente continuo si y solo si A es un operador lineal acotado. [3] Si X es un espacio de Banach de dimensión finita, entonces cualquier semigrupo fuertemente continuo es un semigrupo uniformemente continuo. Para un semigrupo fuertemente continuo que no es un semigrupo uniformemente continuo, el generador infinitesimal A no está acotado. En este caso, no necesita converger.
Problemas abstractos de Cauchy
Considere el problema abstracto de Cauchy :
donde A es un operador cerrado en un espacio de Banach X y x ∈ X . Hay dos conceptos de solución de este problema:
- una función continuamente diferenciable u : [0, ∞) → X se llama solución clásica del problema de Cauchy si u ( t ) ∈ D ( A ) para todo t > 0 y satisface el problema de valor inicial,
- una función continua u : [0, ∞) → X se llama una solución leve del problema de Cauchy si
Cualquier solución clásica es una solución suave. Una solución suave es una solución clásica si y solo si es continuamente diferenciable. [4]
El siguiente teorema conecta problemas abstractos de Cauchy y semigrupos fuertemente continuos.
Teorema [5] Let A ser un operador de cerrado en un espacio de Banach X . Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
- para todo x ∈ X existe una única solución suave del problema abstracto de Cauchy,
- el operador A genera un semigrupo fuertemente continuo,
- el conjunto resolutivo de A no está vacío y para todo x ∈ D ( A ) existe una solución clásica única del problema de Cauchy.
Cuando tienen estas afirmaciones, la solución del problema de Cauchy está dada por u ( t ) = T ( t ) x con T semigrupo fuertemente continuo generado por A .
Teoremas de generación
En relación con los problemas de Cauchy, generalmente se da un operador lineal A y la pregunta es si este es el generador de un semigrupo fuertemente continuo. Los teoremas que responden a esta pregunta se denominan teoremas de generación . El teorema de Hille-Yosida da una caracterización completa de los operadores que generan semigrupos fuertemente continuos . Sin embargo, son de mayor importancia práctica las condiciones mucho más fáciles de verificar dadas por el teorema de Lumer-Phillips .
Clases especiales de semigrupos
Semigrupos uniformemente continuos
El semigrupo T fuertemente continuo se llama uniformemente continuo si el mapa t → T ( t ) es continuo desde [0, ∞) a L ( X ).
El generador de un semigrupo uniformemente continuo es un operador acotado .
Semigrupos analíticos
Semigrupos de contracción
Semigrupos diferenciables
Un semigrupo T fuertemente continuo se denomina eventualmente diferenciable si existe un t 0 > 0 tal que T ( t 0 ) X ⊂ D ( A ) (equivalentemente: T ( t ) X ⊂ D ( A ) para todo t ≥ t 0 ) y T es inmediatamente diferenciable si T ( t ) X ⊂ D ( A ) para todo t > 0 .
Cada semigrupo analítico es inmediatamente diferenciable.
Una caracterización equivalente en términos de problemas de Cauchy es la siguiente: el semigrupo fuertemente continuo generado por A es eventualmente diferenciable si y solo si existe un t 1 ≥ 0 tal que para todo x ∈ X la solución u del problema abstracto de Cauchy es diferenciable en ( t 1 , ∞) . El semigrupo es inmediatamente diferenciable si t 1 puede elegirse como cero.
Semigrupos compactos
Un semigrupo T fuertemente continuo se llama eventualmente compacto si existe un t 0 > 0 tal que T ( t 0 ) es un operador compacto (equivalentemente [6] si T ( t ) es un operador compacto para todo t ≥ t 0 ). El semigrupo se llama inmediatamente compacto si T ( t ) es un operador compacto para todo t > 0.
Norma semigrupos continuos
Un semigrupo fuertemente continuo se denomina eventualmente norma continua si existe un t 0 ≥ 0 tal que el mapa t → T ( t ) es continuo desde ( t 0 , ∞) a L ( X ). El semigrupo se llama inmediatamente norma continua si t 0 puede elegirse como cero.
Tenga en cuenta que para un semigrupo continuo de norma inmediata, el mapa t → T ( t ) puede no ser continuo en t = 0 (eso haría que el semigrupo sea uniformemente continuo).
Los semigrupos analíticos, los semigrupos diferenciables (eventualmente) y los semigrupos compactos (eventualmente) son todos eventualmente continuos en la norma. [7]
Estabilidad
Estabilidad exponencial
El límite de crecimiento de un semigrupo T es la constante
Se llama así porque este número es también el mínimo de todos los números reales ω tal que existe una constante M (≥ 1) con
para todo t ≥ 0.
Los siguientes son equivalentes: [8]
- Existen M , ω > 0 tal que para todo t ≥ 0:
- El límite de crecimiento es negativo: ω 0 <0,
- El semigrupo converge a cero en la topología de operador uniforme :,
- Existe un t 0 > 0 tal que,
- Existe un t 1 > 0 tal que el radio espectral de T ( t 1 ) es estrictamente menor que 1,
- Existe una p ∈ [1, ∞) tal que para todo x ∈ X :,
- Para todo p ∈ [1, ∞) y todo x ∈ X :
Un semigrupo que satisface estas condiciones equivalentes se denomina exponencialmente estable o uniformemente estable (cualquiera de las tres primeras declaraciones anteriores se toma como definición en ciertas partes de la literatura). Que las condiciones L p sean equivalentes a la estabilidad exponencial se denomina teorema de Datko-Pazy .
En caso de que X sea un espacio de Hilbert, existe otra condición que es equivalente a la estabilidad exponencial en términos del operador resolutivo del generador: [9] todas las λ con parte real positiva pertenecen al conjunto resolutivo de A y el operador resolutivo está acotado uniformemente en el semiplano derecho, es decir, ( λI - A ) −1 pertenece al espacio de Hardy . Esto se llama teorema de Gearhart-Pruss .
El límite espectral de un operador A es la constante
- ,
con la convención de que s ( A ) = −∞ si el espectro de A está vacío.
El límite de crecimiento de un semigrupo y el límite espectral de su generador están relacionados por: [10] s (A) ≤ω 0 (T) . Hay ejemplos [11] donde s ( A ) < ω 0 ( T ). Si s ( A ) = ω 0 ( T ), entonces se dice que T satisface la condición de crecimiento espectral determinada . Finalmente, los semigrupos continuos de la norma satisfacen la condición de crecimiento espectral determinada. [12] Esto da otra caracterización equivalente de estabilidad exponencial para estos semigrupos:
- Un semigrupo eventualmente norma-continuo es exponencialmente estable si y solo si s ( A ) <0.
Tenga en cuenta que los semigrupos eventualmente compactos, eventualmente diferenciables, analíticos y uniformemente continuos son eventualmente continuos en la norma, de modo que la condición de crecimiento espectral determinada se cumple en particular para esos semigrupos.
Fuerte estabilidad
Un semigrupo T fuertemente continuo se llama fuertemente estable o asintóticamente estable si para todo x ∈ X :.
La estabilidad exponencial implica una fuerte estabilidad, pero lo contrario no es generalmente cierto si X es de dimensión infinita (es cierto para X de dimensión finita).
La siguiente condición suficiente para una fuerte estabilidad se llama teorema de Arendt-Batty-Lyubich-Phong : [13] [14] Suponga que
- T está acotado: existe un M ≥ 1 tal que,
- A no tiene espectro residual en el eje imaginario, y
- El espectro de A ubicado en el eje imaginario es contable.
Entonces T es fuertemente estable.
Si X es reflexivo, entonces las condiciones se simplifican: si T está acotado, A no tiene valores propios en el eje imaginario y el espectro de A ubicado en el eje imaginario es contable, entonces T es fuertemente estable.
Ver también
- Teorema de Hille-Yosida
- Teorema de Lumer-Phillips
- Teorema de Trotter-Kato
- Semigrupo analítico
- Semigrupo de contracción
- Matriz exponencial
- Familia de operadores fuertemente continua
- Ecuación diferencial abstracta
Notas
- ^ Partington (2004) página 23
- ^ Partington (2004) página 24
- ^ Pazy, A. (1983), Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations , Nueva York: Springer-Verlag, p. 2, ISBN 0-387-90845-5
- ^ Arendt y col. Proposición 3.1.2
- ^ Arendt y col. Teorema 3.1.12
- ^ Engel y Nagel Lemma II.4.22
- ^ Engel y Nagel (diagrama II.4.26)
- ^ Engel y Nagel Sección V.1.b
- ^ Teorema de Engel y Nagel V.1.11
- ^ Proposición IV2.2 de Engel y Nagel
- ^ Engel y Nagel Sección IV.2.7, Luo et al. Ejemplo 3.6
- ^ Corolario de Engel y Nagel 4.3.11
- ^ Arendt, Wolfgang; Batty, Charles (1988), "Teoremas de Tauberian y estabilidad de semigrupos de un parámetro", Transactions of the American Mathematical Society , 306 (2): 837–852, doi : 10.1090 / S0002-9947-1988-0933321-3
- ^ Lyubich, Yu; Phong, Vu Quoc (1988), "Estabilidad asintótica de ecuaciones diferenciales lineales en espacios de Banach", Studia Mathematica , 88 (1): 37-42, doi : 10.4064 / sm-88-1-37-42
Referencias
- E Hille, RS Phillips: Análisis funcional y semigrupos . Sociedad Americana de Matemáticas, 1975.
- Cortina de RF , HJ Zwart: Introducción a la teoría de sistemas lineales de dimensión infinita . Springer Verlag, 1995.
- EB Davies : semigrupos de un parámetro (monografías de LMS), Academic Press, 1980, ISBN 0-12-206280-9 .
- Engel, Klaus-Jochen; Nagel, Rainer (2000), semigrupos de un parámetro para ecuaciones de evolución lineal , Springer
- Arendt, Wolfgang; Batty, Charles; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank (2001), Transformadas de Laplace con valores vectoriales y problemas de Cauchy , Birkhauser
- Staffans, Olof (2005), Sistemas lineales bien planteados , Cambridge University Press
- Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer (1999), Estabilidad y estabilización de sistemas dimensionales infinitos con aplicaciones , Springer
- Partington, Jonathan R. (2004), Operadores lineales y sistemas lineales , Textos estudiantiles de la London Mathematical Society , Cambridge University Press , ISBN 0-521-54619-2