En matemáticas , la categoría Lyusternik-Schnirelmann (o, Categoría de Lusternik-Schnirelmann , LS-categoría ) de un espacio topológico es el invariante de homotopía definido como el número entero más pequeñotal que haya una cubierta abierta de con la propiedad de que cada mapa de inclusión es nulomotópico . Por ejemplo, si es una esfera, esto toma el valor dos.
A veces se adopta una normalización diferente del invariante, que es uno menos que la definición anterior. Esta normalización ha sido adoptada en la monografía definitiva de Cornea, Lupton, Oprea y Tanré (ver más abajo).
En general, no es fácil calcular este invariante, que fue introducido inicialmente por Lazar Lyusternik y Lev Schnirelmann en relación con problemas variacionales . Tiene una estrecha conexión con la topología algebraica , en particular la longitud de la copa . En la normalización moderna, la longitud de la copa es un límite inferior para la categoría LS.
Fue, como se definió originalmente para el caso de una variedad , el límite inferior para el número de puntos críticos que una función de valor real enpodría poseer (esto debería compararse con el resultado en la teoría de Morse que muestra que la suma de los números de Betti es un límite inferior para el número de puntos críticos de una función de Morse).
El invariante se ha generalizado en varias direcciones diferentes (acciones grupales, foliaciones , complejos simpliciales , etc.).
Ver también
Referencias
- Ralph H. Fox , Sobre la categoría Lusternik-Schnirelmann , Annals of Mathematics 42 (1941), 333–370.
- Floris Takens , El número mínimo de puntos críticos de una función en variedades compactas y la categoría de Lusternik-Schnirelmann , Inventiones Mathematicae 6 (1968), 197–244.
- Tudor Ganea , Algunos problemas sobre invariantes de homotopía numérica , Lecture Notes in Math. 249 (Springer, Berlín, 1971), págs. 13-22 MR 0339147
- Ioan James , Sobre la categoría, en el sentido de Lusternik-Schnirelmann , Topology 17 (1978), 331–348.
- Mónica Clapp y Dieter Puppe, Invariantes del tipo Lusternik-Schnirelmann y la topología de conjuntos críticos , Transactions of the American Mathematical Society 298 (1986), no. 2, 603–620.
- Octav Cornea, Gregory Lupton, John Oprea, Daniel Tanré, categoría Lusternik -Schnirelmann , Mathematical Surveys and Monographs, 103. American Mathematical Society , Providence, RI, 2003 ISBN 0-8218-3404-5