La inestabilidad magnetorrotacional (IRM) es una inestabilidad de fluidos que hace que un disco de acreción que orbita un objeto central masivo se vuelva turbulento . Surge cuando la velocidad angular de un fluido conductor en un campo magnético disminuye a medida que aumenta la distancia desde el centro de rotación. También se conoce como inestabilidad de Velikhov-Chandrasekhar o inestabilidad de Balbus-Hawley en la literatura, que no debe confundirse con la inestabilidad electrotérmica de Velikhov . La resonancia magnética es de particular relevancia en astrofísica donde es una parte importante de la dinámica en los discos de acreción..
Los gases o líquidos que contienen cargas eléctricas móviles están sujetos a la influencia de un campo magnético. Además de las fuerzas hidrodinámicas como la presión y la gravedad, un elemento de fluido magnetizado también siente la fuerza de Lorentz. dónde es la densidad de corriente y es el vector de campo magnético. Si el fluido está en un estado de rotación diferencial alrededor de un origen fijo, esta fuerza de Lorentz puede ser sorprendentemente disruptiva, incluso si el campo magnético es muy débil. En particular, si la velocidad angular de rotación disminuye con la distancia radial el movimiento es inestable: un elemento fluido que experimenta un pequeño desplazamiento desde el movimiento circular experimenta una fuerza desestabilizadora que aumenta a una velocidad que es proporcional al desplazamiento. Este proceso se conoce como Inestabilidad Magnetorrotacional o "MRI".
En entornos astrofísicos, los sistemas de rotación diferencial son muy comunes y los campos magnéticos son omnipresentes. En particular, los discos delgados de gas se encuentran a menudo alrededor de estrellas en formación o en sistemas estelares binarios , donde se conocen como discos de acreción. Los discos de acreción también están comúnmente presentes en el centro de las galaxias y, en algunos casos, pueden ser extremadamente luminosos: se cree que los cuásares , por ejemplo, se originan en un disco gaseoso que rodea un agujero negro muy masivo . Nuestra comprensión moderna de la resonancia magnética surgió de los intentos de comprender el comportamiento de los discos de acreción en presencia de campos magnéticos; ahora se entiende que es probable que la resonancia magnética se produzca en una amplia variedad de sistemas diferentes.
Historia
La resonancia magnética fue notada por primera vez en un contexto no astrofísico por Evgeny Velikhov en 1959 al considerar la estabilidad del flujo de Couette de un fluido hidromagnético ideal . [1] Su resultado fue luego generalizado por S. Chandrasekhar en 1960. [2] Este mecanismo fue propuesto por Acheson & Hide (1973) para quizás jugar un papel en el contexto del problema geodinamo de la Tierra. [3] Aunque hubo algún trabajo de seguimiento en décadas posteriores (Fricke, 1969; Acheson y Hide 1972; Acheson y Gibbons 1978), la generalidad y el poder de la inestabilidad no se apreciaron plenamente hasta 1991, cuando Balbus y Hawley dieron una elucidación relativamente simple y la explicación física de este importante proceso. [4]
¿Qué causa la resonancia magnética?
En un fluido magnetizado y perfectamente conductor, las fuerzas magnéticas se comportan en algunos aspectos muy importantes como si los elementos del fluido estuvieran conectados con bandas elásticas: tratar de desplazar dicho elemento perpendicular a una línea de fuerza magnética provoca una fuerza de atracción proporcional al desplazamiento. , como un resorte bajo tensión. Normalmente, tal fuerza se está restaurando, una influencia fuertemente estabilizadora que permitiría que se propague un tipo de onda magnética. Sin embargo, si el medio fluido no es estacionario sino giratorio, las fuerzas de atracción pueden ser desestabilizadoras. La resonancia magnética es una consecuencia de este comportamiento sorprendente.
Considere, por ejemplo, dos masas, m i ("interior") y m o ("exterior") conectadas por un resorte bajo tensión, ambas masas en órbita alrededor de un cuerpo central, M c . En tal sistema, la velocidad angular de las órbitas circulares cerca del centro es mayor que la velocidad angular de las órbitas más alejadas del centro, pero el momento angular de las órbitas internas es menor que el de las órbitas externas. Si se permite que m i orbite un poco más cerca del centro que m o , tendrá una velocidad angular ligeramente mayor. El muelle de conexión se tire hacia atrás de m i , y arrastre m o hacia adelante. Esto significa que m i experimenta un momento de torsión retardador, pierde momento angular y debe caer hacia adentro a una órbita de radio más pequeño, correspondiente a un momento angular más pequeño. m o , por otro lado, experimenta un par positivo, adquiere más momento angular y se mueve hacia afuera a una órbita más alta. El resorte se estira aún más, los pares se vuelven aún más grandes y el movimiento es inestable. Debido a que las fuerzas magnéticas actúan como un resorte bajo tensión que conecta los elementos del fluido, el comportamiento de un fluido magnetizado es casi exactamente análogo a este simple sistema mecánico. Ésta es la esencia de la resonancia magnética.
Una explicación más detallada
Para ver este comportamiento inestable de manera más cuantitativa, considere las ecuaciones de movimiento para una masa de elemento fluido en movimiento circular con una velocidad angular En general será una función de la distancia desde el eje de rotación y asumimos que el radio orbital es La aceleración centrípeta requerida para mantener la masa en órbita es el signo menos indica una dirección hacia el centro. Si esta fuerza es la gravedad de una masa puntual en el centro, entonces la aceleración centrípeta es simplemente dónde es la constante gravitacional yes la masa central. Consideremos ahora las pequeñas desviaciones del movimiento circular del elemento de masa en órbita causadas por alguna fuerza perturbadora. Transformamos variables en un marco giratorio que se mueve con el elemento de masa en órbita a velocidad angularcon origen ubicado en la ubicación en órbita no perturbada del elemento de masa. Como es habitual cuando se trabaja en un marco giratorio, debemos agregar a las ecuaciones de movimiento una fuerza de Coriolis más una fuerza centrífuga La velocidad es la velocidad medida en el marco giratorio. Además, restringimos nuestra atención a un pequeño vecindario cerca decir con mucho más pequeño que Entonces la suma de las fuerzas centrífuga y centrípeta es
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al orden lineal en Con nuestro eje que apunta radialmente hacia afuera desde la ubicación no perturbada del elemento fluido y nuestro eje apuntando en la dirección del ángulo azimutal creciente (la dirección de la órbita no perturbada), el y ecuaciones de movimiento para una pequeña desviación de una órbita circular están:
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dónde y son las fuerzas por unidad de masa en el y direcciones, y un punto indica una derivada del tiempo (es decir, es el velocidad, es el aceleración, etc.). Siempre que y son 0 o lineales en xey, este es un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden acopladas que se pueden resolver analíticamente. En ausencia de fuerzas externas, y , las ecuaciones de movimiento tienen soluciones con la dependencia del tiempo donde la frecuencia angular satisface la ecuación
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dónde se conoce como frecuencia epicíclica . En nuestro sistema solar, por ejemplo, las desviaciones de una órbita circular centrada en el sol que son elipses familiares cuando son vistas por un observador externo en reposo, aparecen en cambio como pequeñas oscilaciones radiales y azimutales del elemento en órbita cuando las ve un observador que se mueve sin perturbaciones. movimiento circular. Estas oscilaciones trazan una pequeña elipse retrógrada (es decir, que gira en el sentido opuesto de la gran órbita circular), centrada en la ubicación orbital inalterada del elemento de masa.
La frecuencia epicíclica se puede escribir de manera equivalente lo que muestra que es proporcional a la derivada radial del momento angular por unidad de masa, o momento angular específico. El momento angular específico debe aumentar hacia afuera para que existan oscilaciones epicíclicas estables; de lo contrario, los desplazamientos crecerían exponencialmente, lo que corresponde a la inestabilidad. Este es un resultado muy general conocido como el criterio de Rayleigh (Chandrasekhar 1961) para la estabilidad. Para órbitas alrededor de una masa puntual, el momento angular específico es proporcional a por lo que el criterio de Rayleigh está bien satisfecho.
Considere a continuación las soluciones a las ecuaciones de movimiento si el elemento de masa está sujeto a una fuerza restauradora externa, dónde es una constante arbitraria (la "constante de resorte"). Si ahora buscamos soluciones para los desplazamientos modales en y con dependencia del tiempo encontramos una ecuación mucho más compleja para
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Aunque el resorte ejerza una fuerza atractiva, puede desestabilizarse. Por ejemplo, si la constante del resortees suficientemente débil, el equilibrio dominante estará entre los dos últimos términos en el lado izquierdo de la ecuación. Entonces, un perfil de velocidad angular hacia afuera decreciente producirá valores negativos para y valores imaginarios positivos y negativos para La raíz imaginaria negativa no da como resultado oscilaciones, sino un crecimiento exponencial de desplazamientos muy pequeños. Por tanto, un resorte débil provoca el tipo de inestabilidad que se describe cualitativamente al final de la sección anterior. Por otro lado, un resorte fuerte producirá oscilaciones, como se espera intuitivamente.
La naturaleza primaveral de los campos magnéticos
Para comprender cómo funciona la resonancia magnética, primero debemos comprender las condiciones dentro de un fluido perfectamente conductor en movimiento. Suele ser una buena aproximación a los gases astrofísicos. En presencia de un campo magnéticoun conductor en movimiento responde tratando de eliminar la fuerza de Lorentz en las cargas libres. La fuerza magnética actúa de tal manera que reordena localmente estas cargas para producir un campo eléctrico interno de De esta forma, la fuerza de Lorentz directa sobre las cargas desaparece. (Alternativamente, el campo eléctrico en el marco de reposo local de las cargas en movimiento desaparece). Este campo eléctrico inducido ahora puede inducir cambios adicionales en el campo magnético.según la ley de Faraday ,
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Otra forma de escribir esta ecuación es que si en el tiempo el fluido hace un desplazamiento entonces el campo magnético cambia por
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La ecuación de un campo magnético en un conductor perfecto en movimiento tiene una propiedad especial: la combinación de inducción de Faraday y fuerza de Lorentz cero hace que las líneas de campo se comporten como si estuvieran pintadas o "congeladas" en el fluido. En particular, si es inicialmente casi constante y es un desplazamiento libre de divergencia , entonces nuestra ecuación se reduce a
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debido a la identidad del cálculo vectorial De estos 4 términos, es una de las ecuaciones de Maxwell . Por el supuesto libre de divergencia,. porque se supone que B es casi constante. La ecuación 8 muestra quecambia solo cuando hay un desplazamiento de cizallamiento a lo largo de la línea de campo. Para comprender la resonancia magnética, es suficiente considerar el caso en el que es uniforme en vertical dirección, y varía como Luego
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donde se entiende que la parte real de esta ecuación expresa su contenido físico. (Si es proporcional a por ejemplo, entonces es proporcional a )
Un campo magnético ejerce una fuerza por unidad de volumen sobre un fluido conductor eléctricamente neutro igual a La ley circuital de Ampere daporque la corrección de Maxwell se descuida en la aproximación MHD. La fuerza por unidad de volumen se convierte en
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donde hemos utilizado la misma identidad de cálculo vectorial. Esta ecuación es completamente general y no hace suposiciones sobre la fuerza o la dirección del campo magnético. El primer término de la derecha es análogo a un gradiente de presión. En nuestro problema se puede descuidar porque no ejerce fuerza en el plano del disco, perpendicular aEl segundo término actúa como una fuerza de tensión magnética, análoga a una cuerda tensa. Por una pequeña molestia ejerce una aceleración dada por la fuerza dividida por la masa, o equivalentemente, la fuerza por unidad de volumen dividida por la masa por unidad de volumen:
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Por tanto, una fuerza de tensión magnética da lugar a una fuerza de retorno que es directamente proporcional al desplazamiento. Esto significa que la frecuencia de oscilaciónpara pequeños desplazamientos en el plano de rotación de un disco con un campo magnético uniforme en la dirección vertical satisface una ecuación ("relación de dispersión") exactamente análoga a la ecuación 5 , con la "constante de resorte"
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Como antes, si hay una raíz de esta ecuación que crece exponencialmente para los números de onda satisfactorio Esto corresponde a la resonancia magnética. Observe que el campo magnético aparece en la ecuación 12 solo como el producto Por lo tanto, incluso si es muy pequeño, para números de onda muy grandes esta tensión magnética puede ser importante. Esta es la razón por la que la resonancia magnética es tan sensible incluso a campos magnéticos muy débiles: su efecto se amplifica mediante la multiplicación por Además, se puede demostrar que la resonancia magnética está presente independientemente de la geometría del campo magnético, siempre que el campo no sea demasiado fuerte.
En astrofísica, uno está generalmente interesado en el caso en el que el disco está soportado por rotación contra la atracción gravitacional de una masa central. Un equilibrio entre la fuerza gravitacional newtoniana y la fuerza centrípeta radial da inmediatamente
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dónde es la constante gravitacional newtoniana, es la masa central, y es la ubicación radial en el disco. Desdeeste llamado disco kepleriano es inestable para la resonancia magnética. Sin un campo magnético débil, el flujo sería estable.
Para un disco de Kepler, la tasa de crecimiento máxima es que ocurre en un número de onda que satisface es muy rápido, lo que corresponde a un factor de amplificación de más de 100 por período de rotación. El desarrollo no lineal de la resonancia magnética en turbulencia completamente desarrollada puede seguirse mediante cálculos numéricos a gran escala.
Aplicaciones y experimentos de laboratorio
El interés en la resonancia magnética se basa en el hecho de que parece dar una explicación del origen del flujo turbulento en los discos de acreción astrofísicos (Balbus y Hawley, 1991). Un modelo prometedor para las fuentes de rayos X compactas e intensas descubiertas en la década de 1960 fue el de una estrella de neutrones o un agujero negro que extrae ("acumula") gas de su entorno (Prendergast y Burbidge, 1968). Dicho gas siempre se acumula con una cantidad finita de momento angular en relación con el objeto central, por lo que primero debe formar un disco giratorio; no puede acumularse directamente sobre el objeto sin perder primero su momento angular. Pero cómo un elemento de fluido gaseoso logró perder su momento angular y girar en espiral hacia el objeto central no fue en absoluto obvio.
Una explicación involucró turbulencias impulsadas por cizallas (Shakura y Sunyaev, 1973). Habría un cizallamiento significativo en un disco de acreción (el gas más cercano al centro gira más rápidamente que las regiones del disco exterior), y las capas de cizallamiento a menudo se descomponen en un flujo turbulento. La presencia de turbulencia generada por cizallamiento, a su vez, produce los poderosos momentos de torsión necesarios para transportar el momento angular de un elemento fluido (interno) a otro (más alejado).
La descomposición de las capas de cizallamiento en turbulencia se observa de forma rutinaria en flujos con gradientes de velocidad, pero sin rotación sistemática. Este es un punto importante, porque la rotación produce fuerzas de Coriolis fuertemente estabilizadoras, y esto es precisamente lo que ocurre en los discos de acreción. Como se puede ver en la ecuación 5 , el límite K = 0 produce oscilaciones estabilizadas por Coriolis, no un crecimiento exponencial. Estas oscilaciones también están presentes en condiciones mucho más generales: un experimento de laboratorio reciente (Ji et al., 2006) ha demostrado la estabilidad del perfil de flujo esperado en los discos de acreción en condiciones en las que los efectos de disipación de otro modo molestos son (según una medida estándar conocida como el número de Reynolds) muy por debajo de una parte en un millón. Todos estos cambios, sin embargo, ocurren cuando incluso un campo magnético muy débil está presente. La resonancia magnética produce momentos de torsión que no son estabilizados por las fuerzas de Coriolis. Las simulaciones numéricas a gran escala de la resonancia magnética indican que el flujo del disco rotacional se descompone en turbulencia (Hawley et al., 1995), con propiedades de transporte de momento angular fuertemente mejoradas. Esto es justo lo que se necesita para que funcione el modelo de disco de acreción. La formación de estrellas (Stone et al., 2000), la producción de rayos X en sistemas de estrellas de neutrones y agujeros negros (Blaes, 2004), y la creación de núcleos galácticos activos (Krolik, 1999) y estallidos de rayos gamma (Wheeler , 2004) se cree que involucran el desarrollo de la resonancia magnética en algún nivel.
Hasta ahora, nos hemos centrado de manera bastante exclusiva en la ruptura dinámica del flujo laminar en turbulencia provocada por un campo magnético débil, pero también es cierto que el flujo altamente agitado resultante puede actuar de nuevo sobre este mismo campo magnético. Las líneas de campo magnético incrustadas se estiran por el flujo turbulento y es posible que se produzca una amplificación sistemática del campo. El proceso por el cual los movimientos de los fluidos se convierten en energía de campo magnético se conoce como dínamo (Moffatt, 1978); los dos ejemplos mejor estudiados son el núcleo externo líquido de la Tierra y las capas cercanas a la superficie del Sol. Se cree que la actividad del dínamo en estas regiones es responsable del mantenimiento de los campos magnéticos terrestres y solares. En ambos casos, es probable que la convección térmica sea la fuente de energía primaria, aunque en el caso del Sol, la rotación diferencial también puede desempeñar un papel importante. Si la resonancia magnética es un proceso de dinamo eficiente en los discos de acreción es actualmente un área de investigación activa (Fromang y Papaloizou, 2007).
También puede haber aplicaciones de la resonancia magnética fuera del lugar del disco de acreción clásico. La rotación interna de las estrellas (Ogilvie, 2007) e incluso las dínamos planetarias (Petitdemange et al., 2008) pueden, en algunas circunstancias, ser vulnerables a la resonancia magnética en combinación con inestabilidades convectivas. Estos estudios también están en curso.
Finalmente, la resonancia magnética puede, en principio, estudiarse en el laboratorio (Ji et al., 2001), aunque estos experimentos son muy difíciles de implementar. Una configuración típica incluye carcasas esféricas concéntricas o carcasas cilíndricas coaxiales. Entre (y confinado por) las conchas, hay un metal líquido conductor como el sodio o el galio. Las carcasas interior y exterior se ponen en rotación a diferentes velocidades, y los pares viscosos obligan al metal líquido atrapado a rotar diferencialmente. Luego, el experimento investiga si el perfil de rotación diferencial es estable o no en presencia de un campo magnético aplicado.
Una supuesta detección de la resonancia magnética en un experimento de capa esférica (Sisan et al., 2004), en el que el estado subyacente era en sí mismo turbulento, espera confirmación en el momento de escribir este artículo (2009). Una inestabilidad magnética que tenga alguna similitud con la resonancia magnética puede excitarse si los campos magnéticos verticales y azimutales están presentes en el estado inalterado (Hollerbach y Rüdiger, 2005). Esto a veces se denomina resonancia magnética helicoidal (Liu et al., 2006), aunque su relación precisa con la resonancia magnética descrita anteriormente aún no se ha aclarado por completo. Debido a que es menos sensible a la estabilización de la resistencia óhmica que la resonancia magnética clásica, esta inestabilidad magnética helicoidal es más fácil de excitar en el laboratorio y hay indicios de que se pudo haber encontrado (Stefani et al., 2006). Sin embargo, la detección de la resonancia magnética clásica en un estado de fondo hidrodinámicamente inactivo aún no se ha logrado en el laboratorio.
El análogo de masa de resorte de la resonancia magnética estándar se ha demostrado en un flujo rotatorio tipo Taylor-Couette / Keplerian (Hung et al. 2019) .
Referencias
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