En estadística , la prueba U de Mann-Whitney (también llamada prueba de Mann-Whitney-Wilcoxon ( MWW ), prueba de suma de rangos de Wilcoxon o prueba de Wilcoxon-Mann-Whitney ) es una prueba no paramétrica de la hipótesis nula de que, para valores seleccionados al azar X y y de dos poblaciones, la probabilidad de X es mayor que y es igual a la probabilidad de y que es mayor que X .
Una prueba no paramétrica similar que se usa en muestras dependientes es la prueba de rango con signo de Wilcoxon .
Supuestos y enunciado formal de hipótesis
Aunque Mann y Whitney [1] desarrollaron la prueba U de Mann-Whitney bajo el supuesto de respuestas continuas con la hipótesis alternativa de que una distribución es estocásticamente mayor que la otra, hay muchas otras formas de formular las hipótesis nula y alternativa de manera que la La prueba U de Mann-Whitney dará una prueba válida. [2]
Una formulación muy general es asumir que:
- Todas las observaciones de ambos grupos son independientes entre sí,
- Las respuestas son al menos ordinales (es decir, al menos se puede decir, de dos observaciones cualesquiera, cuál es la mayor),
- Bajo la hipótesis nula H 0 , las distribuciones de ambas poblaciones son iguales. [3]
- La hipótesis alternativa H 1 es que las distribuciones no son iguales.
Bajo la formulación general, la prueba solo es consistente cuando ocurre lo siguiente bajo H 1 :
- La probabilidad de que una observación de la población X exceda una observación de la población Y es diferente (mayor o menor) que la probabilidad de que una observación de Y exceda una observación de X; es decir, P ( X > Y ) ≠ P ( Y > X ) o P ( X > Y ) + 0.5 · P ( X = Y ) ≠ 0.5 .
Bajo supuestos más estrictos que la formulación general anterior, p. Ej., Si se supone que las respuestas son continuas y la alternativa está restringida a un cambio de ubicación, es decir, F 1 ( x ) = F 2 ( x + δ ) , podemos interpretar una prueba U de Mann-Whitney significativa que muestra una diferencia en las medianas. Bajo este supuesto de cambio de ubicación, también podemos interpretar que la prueba U de Mann-Whitney evalúa si la estimación de Hodges-Lehmann de la diferencia en la tendencia central entre las dos poblaciones difiere de cero. La estimación de Hodges-Lehmann para este problema de dos muestras es la mediana de todas las posibles diferencias entre una observación en la primera muestra y una observación en la segunda muestra.
De lo contrario, si tanto las dispersiones como las formas de la distribución de ambas muestras difieren, la prueba U de Mann-Whitney falla en una prueba de medianas. Es posible mostrar ejemplos, donde las medianas son numéricamente iguales, mientras que la prueba rechaza la hipótesis nula con un valor p pequeño. [4] [5]
La prueba U de Mann-Whitney / prueba de suma de rangos de Wilcoxon no es lo mismo que la prueba de rangos con signo de Wilcoxon , aunque ambas son no paramétricas e implican la suma de rangos. La prueba U de Mann-Whitney se aplica a muestras independientes. La prueba de rango con signo de Wilcoxon se aplica a muestras emparejadas o dependientes.
Estadística U
Dejar ser una muestra de iid de, y una muestra de iid de , y ambas muestras independientes entre sí. El estadístico U de Mann-Whitney correspondiente se define como:
con
Cálculos
La prueba implica el cálculo de un estadístico , generalmente llamado U , cuya distribución bajo la hipótesis nula se conoce. En el caso de muestras pequeñas, la distribución se tabula, pero para tamaños de muestra superiores a ~ 20, la aproximación utilizando la distribución normal es bastante buena. Algunos libros tabulan estadísticas equivalentes a U , como la suma de rangos en una de las muestras, en lugar de la U misma.
La prueba U de Mann-Whitney se incluye en la mayoría de los paquetes estadísticos modernos . También se calcula fácilmente a mano, especialmente para muestras pequeñas. Hay dos formas de hacer esto.
Método uno:
Para comparar dos pequeños conjuntos de observaciones, un método directo es rápido y da una idea del significado de la estadística U , que corresponde al número de victorias de todos los concursos por parejas (consulte el ejemplo de la tortuga y la liebre en Ejemplos a continuación). Para cada observación en un conjunto, cuente el número de veces que este primer valor gana sobre cualquier observación en el otro conjunto (el otro valor pierde si el primero es mayor). Cuente 0.5 para cualquier empate. La suma de victorias y empates es U (es decir:) para el primer juego. U para el otro conjunto es el inverso (es decir:).
Método dos:
Para muestras más grandes:
- Asigne rangos numéricos a todas las observaciones (coloque las observaciones de ambos grupos en un conjunto), comenzando con 1 para el valor más pequeño. Donde haya grupos de valores empatados, asigne una clasificación igual al punto medio de las clasificaciones no ajustadas. Por ejemplo, los rangos de (3, 5, 5, 5, 5, 8) son (1, 3.5, 3.5, 3.5, 3.5, 6) (el rango sin ajustar sería (1, 2, 3, 4, 5, 6 ) ).
- Ahora, sume los rangos de las observaciones que provienen de la muestra 1. Ahora se determina la suma de rangos en la muestra 2, ya que la suma de todos los rangos es igual a N ( N + 1) / 2 donde N es el número total de observaciones .
- Entonces U viene dado por: [6]
- donde n 1 es el tamaño de la muestra para la muestra 1 y R 1 es la suma de los rangos en la muestra 1.
- Tenga en cuenta que no importa cuál de las dos muestras se considera muestra 1. Una fórmula igualmente válida para U es
- El valor menor de U 1 y U 2 es el que se utiliza al consultar las tablas de significación. La suma de los dos valores viene dada por
- El valor menor de U 1 y U 2 es el que se utiliza al consultar las tablas de significación. La suma de los dos valores viene dada por
- Sabiendo que R 1 + R 2 = N ( N + 1) / 2 y N = n 1 + n 2 , y haciendo algo de álgebra , encontramos que la suma es
- U 1 + U 2 = norte 1 norte 2 .
- Sabiendo que R 1 + R 2 = N ( N + 1) / 2 y N = n 1 + n 2 , y haciendo algo de álgebra , encontramos que la suma es
Propiedades
El valor máximo de U es el producto de los tamaños de muestra para las dos muestras (es decir:). En tal caso, la "otra" U sería 0.
Ejemplos de
Ilustración de métodos de cálculo
Supongamos que Esopo no está satisfecho con su experimento clásico en el que se encontró que una tortuga vence a una liebre en una carrera y decide realizar una prueba de significancia para descubrir si los resultados podrían extenderse a las tortugas y liebres en general. Recoge una muestra de 6 tortugas y 6 liebres, y hace que todas corran su carrera a la vez. El orden en el que llegan al puesto de llegada (su orden de clasificación, desde el primero al último que cruza la línea de meta) es el siguiente, escribiendo T para una tortuga y H para una liebre:
- THHHHHTTTTTH
¿Cuál es el valor de U ?
- Usando el método directo, tomamos cada tortuga por turno y contamos el número de liebres que golpea, obteniendo 6, 1, 1, 1, 1, 1, lo que significa que U = 11 . Alternativamente, podríamos tomar cada liebre por turno y contar el número de tortugas que golpea. En este caso, obtenemos 5, 5, 5, 5, 5, 0, entonces U = 25. Note que la suma de estos dos valores para U = 36 , que es 6 × 6 .
- Usando el método indirecto:
- clasifique a los animales según el tiempo que tardan en completar el curso, así que asigne al primer animal el rango 12, al segundo rango 11, y así sucesivamente.
- la suma de los rangos alcanzados por las tortugas es 12 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 32 .
- Por lo tanto, U = 32 - (6 × 7) / 2 = 32 - 21 = 11 (igual que el método uno).
- la suma de los rangos alcanzados por las liebres es 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 1 = 46 , lo que lleva a U = 46 - 21 = 25 .
Ejemplo de declaración de resultados
Al informar los resultados de una prueba U de Mann-Whitney , es importante indicar:
- Una medida de las tendencias centrales de los dos grupos (medias o medianas; dado que la prueba U de Mann-Whitney es una prueba ordinal, generalmente se recomiendan las medianas)
- El valor de U (quizás con alguna medida del tamaño del efecto, como el tamaño del efecto del lenguaje común o la correlación biserial de rango ).
- Los tamaños de muestra
- El nivel de significancia.
En la práctica, es posible que parte de esta información ya se haya proporcionado y se debe utilizar el sentido común para decidir si se debe repetir. Se puede ejecutar un informe típico,
- "Las latencias medias en los grupos E y C fueron 153 y 247 ms; las distribuciones en los dos grupos difirieron significativamente (Mann-Whitney U = 10.5 , n 1 = n 2 = 8 , P <0.05 de dos colas)".
Podría ejecutarse una declaración que haga plena justicia al estado estadístico de la prueba,
- "Los resultados de los dos tratamientos se compararon mediante la prueba de suma de rangos de dos muestras de Wilcoxon-Mann-Whitney. El efecto del tratamiento (diferencia entre tratamientos) se cuantificó mediante el estimador de Hodges-Lehmann (HL), que es consistente con la prueba de Wilcoxon . [7] Este estimador (HLΔ) es la mediana de todas las posibles diferencias en los resultados entre un sujeto en el grupo B y un sujeto en el grupo A. a no paramétrico intervalo de 0,95 de confianza para HLΔ acompaña a estas estimaciones como lo hace ρ, una estimación de la probabilidad de que un sujeto elegido al azar de la población B tenga un peso mayor que un sujeto elegido al azar de la población A. El peso medio [cuartiles] para los sujetos en tratamiento A y B, respectivamente, es 147 [121, 177] y 151 [130, 180 ] kg. Tratamiento A peso reducido en HLΔ = 5 kg (0,95 CL [2, 9] kg, 2 P = 0,02 , ρ = 0,58 ) ".
Sin embargo, sería raro encontrar un informe tan extenso en un documento cuyo tema principal no fuera la inferencia estadística.
Aproximación normal y corrección de ataduras
Para muestras grandes, U tiene una distribución aproximadamente normal . En ese caso, el valor estandarizado
donde m U y σ U son la media y la desviación estándar de U , es aproximadamente una desviación normal estándar cuyo significado se puede verificar en las tablas de la distribución normal. m U y σ U están dados por
- [8] y
La fórmula para la desviación estándar es más complicada en presencia de rangos empatados. Si hay empates en los rangos, σ debe corregirse de la siguiente manera:
donde n = n 1 + n 2 , t i es el número de sujetos que comparten el rango i , y k es el número de rangos (distintos).
Si el número de ataduras es pequeño (y especialmente si no hay bandas de corbata grandes) se pueden ignorar las ataduras al hacer cálculos a mano. Los paquetes estadísticos informáticos utilizarán la fórmula correctamente ajustada de forma rutinaria.
Nota que desde T 1 + T 2 = n 1 n 2 , la media n 1 n 2 /2 utilizado en la aproximación normal es la media de los dos valores de U . Por lo tanto, el valor absoluto del estadístico z calculado será el mismo cualquiera que sea el valor de U que se utilice.
Tamaños de efecto
Es una práctica ampliamente recomendada para los científicos informar el tamaño del efecto para una prueba inferencial. [9] [10]
Proporción de concordancia de todos los pares
Las siguientes tres medidas son equivalentes.
Tamaño del efecto del lenguaje común
Un método para informar el tamaño del efecto de la prueba U de Mann-Whitney es con f , el tamaño del efecto del lenguaje común. [11] [12] Como estadística de muestra, el tamaño del efecto del lenguaje común se calcula formando todos los pares posibles entre los dos grupos y luego encontrando la proporción de pares que apoyan una dirección (digamos, que los elementos del grupo 1 son más grandes que los elementos del grupo 2). [12] Para ilustrar, en un estudio con una muestra de diez liebres y diez tortugas, el número total de pares ordenados es diez veces diez o 100 pares de liebres y tortugas. Suponga que los resultados muestran que la liebre corrió más rápido que la tortuga en 90 de los 100 pares de muestras; en ese caso, el tamaño del efecto del lenguaje común de la muestra es del 90%. Este valor de muestra es un estimador insesgado del valor de la población, por lo que la muestra sugiere que la mejor estimación del tamaño del efecto del lenguaje común en la población es del 90%. [13]
La relación entre f y la U de Mann-Whitney (específicamente) es como sigue:
Es lo mismo que el área bajo la curva (AUC) de la curva ROC a continuación.
ρ estadística
Una estadística llamada ρ que se relaciona linealmente con U y se usa ampliamente en estudios de categorización ( aprendizaje de discriminación que involucra conceptos ), y en otros lugares, [14] se calcula dividiendo U por su valor máximo para los tamaños de muestra dados, que es simplemente n 1 × n 2 . ρ es, por tanto, una medida no paramétrica de la superposición entre dos distribuciones; puede tomar valores entre 0 y 1, y es una estimación de P ( Y > X ) + 0.5 P ( Y = X ) , donde X e Y son observaciones elegidas al azar de las dos distribuciones. Ambos valores extremos representan una separación completa de las distribuciones, mientras que un ρ de 0,5 representa una superposición completa. La utilidad del estadístico ρ se puede ver en el caso del extraño ejemplo utilizado anteriormente, donde dos distribuciones que eran significativamente diferentes en una prueba U de Mann-Whitney tenían, sin embargo, medianas casi idénticas: el valor de ρ en este caso es aproximadamente 0,723 a favor de las liebres, reflejando correctamente el hecho de que aunque la tortuga mediana venció a la liebre mediana, las liebres colectivamente lo hicieron mejor que las tortugas colectivamente. [ cita requerida ]
Estadístico de área bajo curva (AUC) para curvas ROC
La estadística U es equivalente al área bajo la curva característica de funcionamiento del receptor ( AUC ) que se puede calcular fácilmente. [15] [16]
Tenga en cuenta que esta es la misma definición que el tamaño del efecto del lenguaje común de la sección anterior. es decir, la probabilidad de que un clasificador clasifique una instancia positiva elegida al azar más alta que una negativa elegida aleatoriamente (asumiendo que 'positivo' clasifica más alto que 'negativo'). [17]
Debido a su forma probabilística, el estadístico U se puede generalizar a una medida del poder de separación de un clasificador para más de dos clases: [18]
Donde c es el número de clases, y el R k , ℓ plazo de AUC k , ℓ sólo considera la clasificación de los elementos que pertenecen a las clases de k y ℓ (es decir, elementos que pertenecen a todas las demás clases se ignoran) de acuerdo con las estimaciones del clasificador de la probabilidad de aquellos ítems pertenecientes a la clase k . AUC k , k siempre será cero pero, a diferencia del caso de dos clases, generalmente AUC k , ℓ ≠ AUC ℓ , k , por lo que la medida M suma todos los pares ( k , ℓ ), de hecho utilizando el promedio de AUC k , ℓ y AUC ℓ , k .
Correlación de rango-biserial
Un método para informar el tamaño del efecto de la prueba U de Mann-Whitney es con una medida de correlación de rango conocida como correlación biserial de rango. Edward Cureton presentó y nombró la medida. [19] Al igual que otras medidas correlacionales, la correlación biserial de rango puede variar de menos uno a más uno, con un valor de cero que indica que no hay relación.
Existe una fórmula de diferencia simple para calcular la correlación biserial de rango a partir del tamaño del efecto del lenguaje común: la correlación es la diferencia entre la proporción de pares favorables a la hipótesis ( f ) menos su complemento (es decir, la proporción que es desfavorable ( u )). Esta fórmula de diferencia simple es solo la diferencia del tamaño del efecto del lenguaje común de cada grupo, y es la siguiente: [11]
Por ejemplo, considere el ejemplo donde las liebres corren más rápido que las tortugas en 90 de 100 parejas. El tamaño del efecto del lenguaje común es del 90%, por lo que la correlación de rango biserial es 90% menos 10%, y el rango biserial r = 0,80 .
Se puede usar una fórmula alternativa para el rango biserial para calcularlo a partir de la U de Mann-Whitney (ya sea o ) y los tamaños de muestra de cada grupo: [20]
Esta fórmula es útil cuando los datos no están disponibles, pero cuando hay un informe publicado, porque U y los tamaños de las muestras se informan de forma rutinaria. Usando el ejemplo anterior con 90 pares que favorecen a las liebres y 10 pares que favorecen a la tortuga, U 2 es el más pequeño de los dos, entonces U 2 = 10 . Luego, esta fórmula da r = 1 - (2 × 10) / (10 × 10) = 0.80 , que es el mismo resultado que con la fórmula de diferencia simple anterior.
Relación con otras pruebas
Comparación con la prueba t de Student
La prueba U de Mann-Whitney prueba una hipótesis nula de que la probabilidad de que una observación extraída al azar de un grupo sea mayor que una observación extraída al azar del otro es igual a 0.5 frente a una alternativa de que esta probabilidad no es 0.5 (ver Mann-Whitney Prueba U # Supuestos y enunciado formal de hipótesis ). En contraste, una prueba t prueba una hipótesis nula de medias iguales en dos grupos contra una alternativa de medias desiguales. Por lo tanto, excepto en casos especiales, la prueba U de Mann-Whitney y la prueba t no prueban las mismas hipótesis y deben compararse con esto en mente.
- Datos ordinales
- La prueba U de Mann-Whitney es preferible a la prueba t cuando los datos son ordinales pero no en escala de intervalo, en cuyo caso no se puede suponer que el espaciado entre valores adyacentes de la escala sea constante.
- Robustez
- Al comparar las sumas de los rangos, [21] la prueba U de Mann-Whitney es menos probable que la prueba t de indicar falsamente significancia debido a la presencia de valores atípicos . Sin embargo, la prueba U de Mann-Whitney puede tener un peor control de errores de tipo I cuando los datos son heterocedásticos y no normales. [22]
- Eficiencia
- Cuando se mantiene la normalidad, la prueba U de Mann-Whitney tiene una eficiencia (asintótica) de 3 / π o aproximadamente 0,95 en comparación con la prueba t . [23] Para distribuciones suficientemente alejadas de lo normal y para tamaños de muestra suficientemente grandes, la prueba U de Mann-Whitney es considerablemente más eficiente que la t . [24] Sin embargo, esta comparación en eficiencia debe interpretarse con precaución, ya que Mann-Whitney y la prueba t no prueban las mismas cantidades. Si, por ejemplo, una diferencia de medias de grupo es de interés principal, Mann-Whitney no es una prueba adecuada. [25]
La prueba U de Mann-Whitney dará resultados muy similares a la realización de una prueba t paramétrica ordinaria de dos muestras en las clasificaciones de los datos. [26]
Diferentes distribuciones
Si se desea probar el orden estocástico de las dos poblaciones (es decir, la hipótesis alternativa ), sin asumir que las formas de las distribuciones son las mismas (es decir, usando la hipótesis nula en vez de ), hay mejores pruebas disponibles. Entre ellos se encuentran las pruebas de Brunner-Munzel y Fligner-Policello. [27] Específicamente, bajo la hipótesis nula más general, la prueba U de Mann-Whitney ha inflado las tasas de error de tipo incluso en muestras grandes, un problema que resuelven las mejores alternativas. [28] Como resultado, se ha sugerido utilizar una de las alternativas (específicamente la prueba de Brunner-Munzel) si no se puede suponer que las distribuciones son iguales bajo la hipótesis nula. [28]
Alternativas
Si se desea una interpretación de cambio simple, la prueba U de Mann-Whitney no debe usarse cuando las distribuciones de las dos muestras son muy diferentes, ya que puede dar una interpretación errónea de resultados significativos. [29] En esa situación, la versión de varianzas desiguales de la prueba t puede dar resultados más confiables.
De manera similar, algunos autores (p. Ej., Conover [ se necesita cita completa ] ) sugieren transformar los datos en rangos (si aún no son rangos) y luego realizar la prueba t en los datos transformados, la versión de la prueba t utilizada depende de si se sospecha que las variaciones de la población son diferentes o no. Las transformaciones de rango no conservan las variaciones, pero las variaciones se vuelven a calcular a partir de muestras después de las transformaciones de rango.
Se ha sugerido la prueba de Brown-Forsythe como un equivalente no paramétrico apropiado de la prueba F para varianzas iguales. [ cita requerida ]
Una prueba más poderosa es la prueba de Brunner-Munzel , que supera a la prueba U de Mann-Whitney en caso de incumplimiento del supuesto de intercambiabilidad. [30]
La prueba U de Mann-Whitney es un caso especial del modelo de probabilidades proporcionales , que permite el ajuste de covariables. [31]
Véase también la prueba de Kolmogorov-Smirnov .
Estadísticas de prueba relacionadas
Tau de Kendall
La prueba U de Mann-Whitney está relacionada con varios otros procedimientos estadísticos no paramétricos. Por ejemplo, es equivalente al coeficiente de correlación tau de Kendall si una de las variables es binaria (es decir, solo puede tomar dos valores). [ cita requerida ]
Implementaciones de software
En muchos paquetes de software, la prueba U de Mann-Whitney (de la hipótesis de distribuciones iguales frente a alternativas apropiadas) ha sido pobremente documentada. Algunos paquetes tratan incorrectamente las ataduras o no documentan las técnicas asintóticas (por ejemplo, corrección por continuidad). Una revisión de 2000 examinó algunos de los siguientes paquetes: [32]
- MATLAB tiene una suma de clasificación en su Caja de herramientas de estadísticas.
- El paquete base de estadísticas de R implementa la prueba wilcox.test en su paquete "stats".
- El paquete R wilcoxonZ calculará el estadístico z para una prueba de Wilcoxon de dos muestras, pareada o de una muestra.
- SAS implementa la prueba en su procedimiento PROC NPAR1WAY.
- Python (lenguaje de programación) tiene una implementación de esta prueba proporcionada por SciPy [33]
- SigmaStat (SPSS Inc., Chicago, IL)
- SYSTAT (SPSS Inc., Chicago, IL)
- Java (lenguaje de programación) tiene una implementación de esta prueba proporcionada por Apache Commons [34]
- Julia (lenguaje de programación) tiene implementaciones de esta prueba a través de varios paquetes. En el paquete HypothesisTests.jl, esto se encuentra como pvalue (MannWhitneyUTest (X, Y)) [35]
- JMP (SAS Institute Inc., Cary, Carolina del Norte)
- S-Plus (MathSoft, Inc., Seattle, WA)
- ESTADÍSTICA (StatSoft, Inc., Tulsa, OK)
- UNISTAT (Unistat Ltd, Londres)
- SPSS (SPSS Inc, Chicago)
- StatsDirect (StatsDirect Ltd, Manchester, Reino Unido) implementa todas las variantes comunes .
- Stata (Stata Corporation, College Station, TX) implementa la prueba en su comando de suma .
- StatXact (Cytel Software Corporation, Cambridge, Massachusetts)
- PSPP implementa la prueba en su función WILCOXON .
Historia
La estadística apareció en un artículo de 1914 [36] del alemán Gustav Deuchler (con un término faltante en la varianza).
En un solo artículo en 1945, Frank Wilcoxon propuso [37] tanto la prueba de rango con signo de una muestra como la prueba de suma de rangos de dos muestras, en una prueba de significancia con una hipótesis nula de punto contra su alternativa complementaria (es decir, igual frente a no es igual). Sin embargo, solo tabuló unos pocos puntos para el caso de igual tamaño de muestra en ese artículo (aunque en un artículo posterior proporcionó tablas más grandes).
En el artículo de Henry Mann y su alumno Donald Ransom Whitney en 1947 apareció un análisis completo de la estadística, que incluía una recurrencia que permitía calcular las probabilidades de cola para tamaños de muestra arbitrarios y tablas para tamaños de muestra de ocho o menos . [1] Este El artículo discutió hipótesis alternativas, incluido un orden estocástico (donde las funciones de distribución acumuladas satisfacen la desigualdad puntual F X ( t ) < F Y ( t ) ). Este trabajo también calculó los primeros cuatro momentos y estableció la normalidad límite del estadístico bajo la hipótesis nula, estableciendo así que es asintóticamente libre de distribución.
Ver también
- Prueba de lepage
- Prueba de Cucconi
- Prueba de Kolmogorov-Smirnov
- Prueba de rango con signo de Wilcoxon
- Análisis de varianza unidireccional de Kruskal-Wallis
- Prueba de Brunner-Munzel
- Modelo de probabilidades proporcionales
Notas
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Por tanto, no podemos definir la hipótesis nula como Pr [X> Y] = Pr [Y - ^ Divine, George W .; Norton, H. James; Barón, Anna E .; Juárez-Colunga, Elizabeth (2018). "El procedimiento de Wilcoxon-Mann-Whitney falla como una prueba de medianas" . El estadístico estadounidense . 72 (3): 278–286. doi : 10.1080 / 00031305.2017.1305291 . Consultado el 24 de mayo de 2021 .
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Referencias
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enlaces externos
- Tabla de valores críticos de U (pdf)
- Calculadora interactiva para U y su significado.
- Breve guía del psicólogo experimental Karl L. Weunsch - Estimadores no paramétricos del tamaño del efecto (Copyright 2015 de Karl L. Weunsch)