Teorema de la mansedumbre

En matemáticas , el teorema de la mansedumbre establece que cada triple variedad hiperbólica completa con un grupo fundamental finitamente generado es topológicamente dócil , en otras palabras, homeomórfico al interior de una triple variedad compacta .

El teorema de la mansedumbre fue conjeturado por Marden (1974) . Fue probado por Agol (2004) y, de forma independiente, por Danny Calegari y David Gabai . Es una de las propiedades fundamentales de las variedades 3 hiperbólicas geométricamente infinitas, junto con el teorema de la densidad para los grupos kleinianos y el teorema de la laminación final . También implica la conjetura de la medida de Ahlfors .

Historia

La mansedumbre topológica puede verse como una propiedad de los extremos del colector, es decir, que tienen una estructura de producto local. Una declaración análoga es bien conocida en dos dimensiones, es decir, para superficies . Sin embargo, como muestra el ejemplo de la esfera con cuernos de Alexander , hay incrustaciones salvajes entre 3 variedades, por lo que esta propiedad no es automática.

La conjetura fue planteada en forma de pregunta por Albert Marden , quien demostró que cualquier triple variedad hiperbólica geométricamente finita es topológicamente dócil. La conjetura también se llamó la conjetura de Marden o la conjetura de mansos extremos .

Había habido un progreso constante en la comprensión de la mansedumbre antes de que se resolviera la conjetura. Thurston , Brock, Bromberg, Canary, Evans, Minsky y Ohshika habían obtenido resultados parciales . ^{[ Citación necesaria ]} Una condición suficiente importante para docilidad en términos de splittings del grupo fundamental había sido obtenido por Bonahon . ^{[ cita requerida ]}

La conjetura fue probada en 2004 por Ian Agol , e independientemente, por Danny Calegari y David Gabai. La prueba de Agol se basa en el uso de múltiples de curvatura negativa pellizcada y en el truco de Canary de "diskbusting" que permite sustituir un final comprimible por uno incompresible, para lo cual la conjetura ya ha sido probada. La prueba de Calegari-Gabai se centra en la existencia de ciertas superficies cerradas, no curvadas positivamente que ellos denominan "retractiladas".

Referencias

• Agol, Ian (2004), Tameness of hyperbolic 3-manifolds , arXiv : math.GT/0405568.
• Calegari, Danny ; Gabai, David (2006), "Shrinkwrapping and the taming of hyperbolic 3-manifolds", Journal of the American Mathematical Society , 19 (2): 385–446, arXiv : math / 0407161 , doi : 10.1090 / S0894-0347-05 -00,513-8 , MR  2188131.
• Gabai, David (2009), "Geometría hiperbólica y topología de tres variedades" , en Mrowka, Tomasz S .; Ozsváth, Peter S. (eds.), Topología de baja dimensión , IAS / Park City Math. Ser., 15 , Providence, RI: American Mathematical Society, págs. 73-103, MR  2503493
• Mackenzie, Dana (2004), "Domando la jungla hiperbólica podando sus bordes rebeldes", Science , 306 (5705): 2182-2183, doi : 10.1126 / science.306.5705.2182 , PMID  15618501.
• Marden, Albert (1974), "La geometría de grupos kleinianos generados finitamente", Annals of Mathematics , Second Series, 99 : 383–462, doi : 10.2307 / 1971059 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1971059 , MR  0349992 , Zbl  0282.30014
• Marden, Albert (2007), Outer Circles: Una introducción a los 3 colectores hiperbólicos , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83974-7, MR  2355387.