En física teórica , la gravedad masiva es una teoría de la gravedad que modifica la relatividad general dotando al gravitón de una masa distinta de cero . En la teoría clásica, esto significa que las ondas gravitacionales obedecen a una ecuación de onda masiva y, por tanto, viajan a velocidades inferiores a la de la luz .
La gravedad masiva tiene una historia larga y tortuosa, que se remonta a la década de 1930, cuando Wolfgang Pauli y Markus Fierz desarrollaron por primera vez una teoría de un campo masivo de espín-2 que se propaga sobre un fondo de espacio-tiempo plano. Más tarde se descubrió en la década de 1970 que las teorías de un gravitón masivo padecían patologías peligrosas, incluido un modo fantasma y una discontinuidad con la relatividad general en el límite donde la masa del gravitón llega a cero. Si bien las soluciones a estos problemas habían existido durante algún tiempo en tres dimensiones del espacio-tiempo, [1] [2] no se resolvieron en cuatro dimensiones y más hasta el trabajo de Claudia de Rham , Gregory Gabadadzey Andrew Tolley (modelo dRGT) en 2010.
Una de las primeras teorías de la gravedad masiva fue construida en 1965 por Ogievetsky y Polubarinov (OP). [3] A pesar de que el modelo OP coincide con los modelos de gravedad masiva libre de fantasmas redescubiertos en dRGT, el modelo OP ha sido casi desconocido entre los físicos contemporáneos que trabajan con gravedad masiva, quizás porque la estrategia seguida en ese modelo fue bastante diferente. de lo que se adopta generalmente en la actualidad. [4] La gravedad dual masiva para el modelo OP [5] se puede obtener acoplando el campo de gravitón dual al rizo de su propio tensor de energía-momento. [6] [7] Dado que la fuerza de campo simétrico mixto de la gravedad dual es comparable al tensor de curvatura extrínseco totalmente simétrico de la teoría de Galileon, el lagrangiano efectivo del modelo dual en 4-D se puede obtener a partir de la recursividad de Faddeev-LeVerrier , que es similar a la de la teoría de Galileon hasta los términos que contienen polinomios de la traza de la intensidad de campo. [8] [9] Esto también se manifiesta en la formulación dual de la teoría de Galileon. [10] [11]
El hecho de que la relatividad general se modifique a grandes distancias en gravedad masiva proporciona una posible explicación para la expansión acelerada del Universo que no requiere ninguna energía oscura . La gravedad masiva y sus extensiones, como la gravedad bimétrica , [12] pueden producir soluciones cosmológicas que de hecho muestran una aceleración tardía de acuerdo con las observaciones. [13] [14] [15]
Las observaciones de ondas gravitacionales han restringido la longitud de onda Compton del gravitón a λ g >1,6 × 10 16 m , que puede interpretarse como un límite en la masa del gravitón m g <7,7 × 10 −23 eV / c 2 . [16] Los límites competitivos de la masa del gravitón también se han obtenido a partir de las mediciones del sistema solar realizadas por misiones espaciales como Cassini y MESSENGER , que en cambio dan la restricción λ g >1,83 × 10 16 m o m g <6,76 × 10 −23 eV / c 2 . [17]
Gravedad masiva linealizada
A nivel lineal, se puede construir una teoría de un campo de espín -2 masivopropagándose en el espacio de Minkowski . Esto puede verse como una extensión de la gravedad linealizada de la siguiente manera. La gravedad linealizada se obtiene linealizando la relatividad general alrededor del espacio plano,, dónde es la masa de Planck conla constante gravitacional . Esto conduce a un término cinético en lagrangiano paraque es consistente con la invariancia de difeomorfismo , así como un acoplamiento a la materia de la forma
dónde es el tensor estrés-energía . Este término cinético y el acoplamiento de materia combinados no son más que la acción de Einstein-Hilbert linealizada sobre el espacio plano.
La gravedad masiva se obtiene agregando términos de interacción no derivados para . En el nivel lineal (es decir, de segundo orden en), solo hay dos términos de masa posibles:
Fierz y Pauli [18] demostraron en 1939 que esto solo propaga las cinco polarizaciones esperadas de un gravitón masivo (en comparación con dos para el caso sin masa) si los coeficientes se eligen de manera que. Cualquier otra opción desbloqueará un sexto grado de libertad fantasmal. Un fantasma es un modo con una energía cinética negativa. Su hamiltoniano no tiene límites desde abajo y, por lo tanto, es inestable que se descomponga en partículas de energías positivas y negativas arbitrariamente grandes. El término masivo de Fierz-Pauli ,
es por tanto la única teoría lineal consistente de un campo masivo de espín-2.
La discontinuidad de vDVZ
En la década de 1970, Hendrik van Dam y Martinus JG Veltman [19] e, independientemente, Valentin I. Zakharov [20] descubrieron una propiedad peculiar de la gravedad masiva de Fierz-Pauli: sus predicciones no se reducen uniformemente a las de la relatividad general en el límite.. En particular, mientras que a escalas pequeñas (más cortas que la longitud de onda de Compton de la masa del gravitón), se recupera la ley gravitacional de Newton , la curvatura de la luz es solo tres cuartas partes del resultado obtenido por Albert Einstein en relatividad general. Esto se conoce como discontinuidad vDVZ .
Podemos entender la curvatura de luz más pequeña de la siguiente manera. El gravitón masivo de Fierz-Pauli, debido a la invariancia de difeomorfismo roto , propaga tres grados adicionales de libertad en comparación con el gravitón sin masa de la relatividad general linealizada. Estos tres grados de libertad se empaquetan en un campo vectorial, que es irrelevante para nuestros propósitos, y un campo escalar. Este modo escalar ejerce una atracción adicional en el caso masivo en comparación con el caso sin masa. Por lo tanto, si uno quiere que las mediciones de la fuerza ejercida entre masas no relativistas concuerden, la constante de acoplamiento de la teoría masiva debería ser menor que la de la teoría sin masa. Pero la flexión de la luz es ciega al sector escalar, porque el tensor de tensión-energía de la luz no tiene trazas. Por lo tanto, siempre que las dos teorías coincidan en la fuerza entre sondas no relativistas, la teoría masiva predeciría una curvatura de la luz más pequeña que la sin masa.
Examen de Vainshtein
Vainshtein [21] argumentó dos años más tarde que la discontinuidad vDVZ es un artefacto de la teoría lineal, y que las predicciones de la relatividad general se recuperan de hecho a escalas pequeñas cuando se tienen en cuenta efectos no lineales, es decir, superiores a los cuadráticos. términos en. Hablando heurísticamente, dentro de una región conocida como radio de Vainshtein , las fluctuaciones del modo escalar se vuelven no lineales y sus términos derivados de orden superior se vuelven más grandes que el término cinético canónico. Por lo tanto, la normalización canónica del escalar alrededor de este fondo conduce a un término cinético muy suprimido, que amortigua las fluctuaciones del escalar dentro del radio de Vainshtein. Debido a que la fuerza adicional mediada por el escalar es proporcional a (menos) su gradiente, esto conduce a una fuerza adicional mucho menor de la que hubiéramos calculado usando la teoría lineal de Fierz-Pauli.
Este fenómeno, conocido como pantalla de Vainshtein , está en juego no solo en la gravedad masiva, sino también en las teorías relacionadas de la gravedad modificada como DGP y ciertas teorías del tensor escalar , donde es crucial para ocultar los efectos de la gravedad modificada en el sistema solar. . Esto permite que estas teorías coincidan con las pruebas de gravedad terrestres y del sistema solar, así como lo hace la relatividad general, mientras se mantienen grandes desviaciones a distancias mayores. De esta manera, estas teorías pueden conducir a la aceleración cósmica y tener huellas observables en la estructura a gran escala del Universo sin entrar en conflicto con otras restricciones mucho más estrictas de las observaciones más cercanas a casa.
El fantasma de Boulware-Deser
Como respuesta al modelo de gravedad de rango finito de Freund -Maheshwari-Schonberg , [22] y aproximadamente al mismo tiempo que se descubrieron la discontinuidad vDVZ y el mecanismo de Vainshtein, David Boulware y Stanley Deser encontraron en 1972 que las extensiones genéricas no lineales de Fierz-Pauli la teoría reintrodujo el peligroso modo fantasma; [23] la afinaciónlo que aseguraba que la ausencia de este modo en el orden cuadrático fuera, encontraron, generalmente roto en órdenes cúbicos y superiores, reintroduciendo el fantasma en esas órdenes. Como resultado, este fantasma Boulware-Deser estaría presente, por ejemplo, alrededor de fondos muy heterogéneos.
Esto es problemático porque una teoría linealizada de la gravedad, como Fierz-Pauli, está bien definida por sí sola, pero no puede interactuar con la materia, ya que el acoplamiento rompe la invariancia del difeomorfismo. Esto debe remediarse agregando nuevos términos en órdenes cada vez más altos, ad infinitum . Para un gravitón sin masa, este proceso converge y el resultado final es bien conocido: uno simplemente llega a la relatividad general. Este es el significado de la afirmación de que la relatividad general es la teoría única (hasta las condiciones de dimensionalidad, localidad, etc.) de un campo de espín 2 sin masa.
Para que la gravedad masiva realmente describa la gravedad, es decir, un campo masivo de espín-2 que se acopla a la materia y por lo tanto medie la fuerza gravitacional, se debe obtener de manera similar una terminación no lineal. El fantasma Boulware-Deser presenta un serio obstáculo para tal esfuerzo. La gran mayoría de las teorías de campos spin-2 masivos e interactivos sufrirán este fantasma y, por lo tanto, no serán viables. De hecho, hasta 2010 se creía ampliamente que todas las teorías de gravedad masiva invariantes de Lorentz poseían el fantasma Boulware-Deser. [24]
Gravedad masiva sin fantasmas
En 2010 se logró un gran avance cuando de Rham , Gabadadze y Tolley construyeron, orden por orden, una teoría de la gravedad masiva con coeficientes ajustados para evitar el fantasma Boulware-Deser al empaquetar todos los operadores fantasmales (es decir, de derivada superior) en derivadas totales. que no contribuyen a las ecuaciones de movimiento. [25] [26] La ausencia total del fantasma Boulware-Deser, a todas las órdenes y más allá del límite de desacoplamiento, fue posteriormente probada por Fawad Hassan y Rachel Rosen . [27] [28]
La acción de la gravedad masiva sin fantasmas de De Rham –Gabadadze – Tolley (dRGT) viene dada por [29]
o equivalente,
Los ingredientes requieren alguna explicación. Como en la relatividad general estándar, hay un término cinético de Einstein-Hilbert proporcional al escalar de Ricci y un acoplamiento mínimo a la materia lagrangiana , con que representan todos los campos de la materia, como los del modelo estándar . La nueva pieza es un término masivo, o potencial de interacción, construido cuidadosamente para evitar el fantasma Boulware-Deser, con una fuerza de interacción. que es (si el distinto de cero están ) estrechamente relacionado con la masa del gravitón.
El principio de invariancia de calibre hace que las expresiones sean redundantes en cualquier teoría de campo provista de sus calibres correspondientes. Por ejemplo, en la acción masiva de spin-1 Proca , la parte masiva en el Lagrangiano rompe el invariancia de calibre. Sin embargo, la invariancia se restaura introduciendo las transformaciones:
. Se puede hacer lo mismo para la gravedad masiva siguiendo la teoría de campo efectivo de Arkani-Hamed, Georgi y Schwartz para la gravedad masiva. [30] La ausencia de discontinuidad de vDVZ en este enfoque motivó el desarrollo de la teoría de la resumación de la gravedad masiva de dRGT de la siguiente manera. [26]
El potencial de interacción se construye a partir de polinomios simétricos elementales de los valores propios de las matrices o , parametrizado por constantes de acoplamiento adimensionales o , respectivamente. Aquíes la raíz cuadrada de la matriz de la matriz. Escrito en notación de índice, está definido por la relación Hemos introducido una métrica de referencia para construir el término de interacción. Hay una razón simple para esto: es imposible construir un término de interacción no trivial (es decir, no derivado) desolo. Las únicas posibilidades son y , los cuales conducen a un término constante cosmológico en lugar de una interacción genuina . Físicamente,corresponde a la métrica de fondo alrededor de la cual las fluctuaciones toman la forma Fierz-Pauli. Esto significa que, por ejemplo, completar de manera no lineal la teoría de Fierz-Pauli en torno al espacio de Minkowski dada anteriormente conducirá a una gravedad masiva dRGT con, aunque la prueba de ausencia del fantasma Boulware-Deser es válida para . [31]
La métrica de referencia se transforma como un tensor métrico bajo difeomorfismo Por lo tanto , y términos similares con poderes superiores, se transforma como un escalar bajo el mismo difeomorfismo. Por un cambio en las coordenadas, nos expandimos con tal que la métrica perturbada se convierte en , mientras que el vector similar al potencial se transforma de acuerdo con el truco de Stueckelberg como tal que el campo Stueckelberg se define como . [32] A partir del difeomorfismo, se puede definir otra matriz de Stueckelberg, dónde y tienen los mismos valores propios. [33] Ahora, se consideran las siguientes simetrías:
- ,
- ,
- ,
tal que la métrica perturbada transformada se convierta en:
La forma covariante de estas transformaciones se obtiene como sigue. Si el modo helicity-0 (o spin-0) es un indicador puro de los modos Goldstone no físicos, con , [34] la matriz es una función tensorial del tensor de covariantización de la perturbación métrica tal que tensor es Stueckelbergizado por el campo. [35] El modo Helicity-0 se transforma bajo transformaciones galileanas., de ahí el nombre "Galileons". [36] La matriz es una función tensorial del tensor de covariantización de la perturbación métrica con componentes están dados por , dónde es la curvatura extrínseca. [37]
Curiosamente, el tensor de covariantización fue introducido originalmente por Maheshwari en una secuela de un artículo escrito en solitario de helicidad- () Modelo gravitacional de rango finito de Freund-Maheshwari-Schonberg. [38] En el trabajo de Maheshwari, la perturbación métrica obedece a la condición de Hilbert-Lorentz bajo la variación que se introduce en la gravedad masiva de Ogievetsky-Polubarinov, donde están por determinar. [39] Es fácil notar la similitud entre el tensor en dRGT y el tensor en Maheshwari trabajar una vez esta elegido. También los mandatos del modelo Ogievetsky-Polubarinov, lo que significa que en 4D , La variación es conforme.
Los campos masivos dRGT se dividen en dos helicidad-2 , dos helicidad-1 y una helicidad-0 grados de libertad, como los de la teoría masiva de Fierz-Pauli. Sin embargo, la covariantización, junto con el límite de desacoplamiento , garantizan que las simetrías de esta teoría masiva se reduzcan a la simetría de la relatividad general linealizada más la deteoría masiva, mientras que el escalar se desacopla. Si se elige para que no tenga divergencias, es decir , el límite de desacoplamiento de dRGT da la gravedad linealizada conocida. [40] Para ver cómo sucede, expanda los términos que contienen en la acción en poderes de , dónde se expresa en términos de campos como cómo se expresa en términos de . Los campos son reemplazados por: . Entonces se sigue que en el límite de desacoplamiento , es decir, cuando ambos, la gravedad masiva lagrangiana es invariante bajo:
- como en la teoría de la relatividad general linealizada,
- como en la teoría electromagnética de Maxwell,
- .
En principio, la métrica de referencia debe especificarse a mano y, por lo tanto, no existe una única teoría de la gravedad masiva dRGT, ya que la teoría con una métrica de referencia plana es diferente de una con una métrica de referencia de De Sitter , etc. como una constante de la teoría, al igual que o . En lugar de especificar una métrica de referencia desde el principio, se puede permitir que tenga su propia dinámica. Si el término cinético paraes también Einstein-Hilbert, entonces la teoría permanece libre de fantasmas y nos queda una teoría de bigravedad masiva , [12] (o relatividad bimétrica , BR) que propaga los dos grados de libertad de un gravitón sin masa además de los cinco de uno masivo.
En la práctica, no es necesario calcular los valores propios de (o ) para obtener el . Pueden escribirse directamente en términos de como
donde los corchetes indican un rastro ,. Es la combinación antisimétrica particular de términos en cada uno de los que es responsable de hacer que el fantasma Boulware-Deser no sea dinámico.
La elección de usar o , con la matriz de identidad , es una convención, ya que en ambos casos el término de masa libre de fantasmas es una combinación lineal de los polinomios simétricos elementales de la matriz elegida. Se puede transformar de una base a otra, en cuyo caso los coeficientes satisfacen la relación [29]
Los coeficientes son de un polinomio característico que está en forma de determinante de Fredholm . También se pueden obtener utilizando el algoritmo Faddeev-LeVerrier .
Gravedad masiva en el idioma vierbein
En el marco de la tétrada ortonormal 4D, tenemos las bases:
donde el índice es para el componente espacial 3D de la -coordenadas no ortodoxas y el índice es para los componentes espaciales 3D de la -ortonormales. El transporte paralelo requiere la conexión giratoria Por tanto, la curvatura extrínseca , que corresponde a en formalismo métrico, se convierte en
dónde es la métrica espacial como en el formalismo ADM y la formulación del valor inicial .
Si la tétrada se transforma conforme la curvatura extrínseca se vuelve , donde de las ecuaciones de Friedmann , y (a pesar de que es controvertido [41] ), es decir, la curvatura extrínseca se transforma como. Esto se parece mucho a la matriz. o el tensor .
El dRGT se desarrolló inspirado en la aplicación de la técnica anterior al modelo 5D DGP después de considerar la deconstrucción de las teorías gravitacionales de Kaluza-Klein de mayor dimensión , [42] en las que la (s) dimensión (es) extra (s) es / son reemplazadas por series de N sitios de celosía de tal manera que la métrica de mayor dimensión se reemplaza por un conjunto de métricas interactivas que dependen únicamente de los componentes 4D. [37]
La presencia de una matriz de raíz cuadrada es algo incómoda y apunta a una formulación alternativa más simple en términos de vierbeins . Dividir las métricas en vierbeins como
y luego definir formas únicas
los términos de interacción sin fantasmas en la teoría de la bigravedad de Hassan-Rosen se pueden escribir simplemente como (hasta factores numéricos) [43]
En términos de vierbeins, en lugar de métricas, por lo tanto, podemos ver el significado físico de los términos potenciales de dRGT sin fantasmas con bastante claridad: son simplemente todas las diferentes combinaciones posibles de productos de cuña de los vierbeins de las dos métricas.
Tenga en cuenta que la gravedad masiva en las formulaciones métrica y vierbein solo son equivalentes si la condición de simetría
Está satisfecho. Si bien esto es cierto para la mayoría de las situaciones físicas, puede haber casos, como cuando la materia se acopla a ambas métricas o en teorías multimétricas con ciclos de interacción, en los que no es así. En estos casos, las formulaciones métrica y vierbein son teorías físicas distintas, aunque cada una propaga un gravitón masivo saludable.
La novedad en la gravedad masiva dRGT es que es una teoría de invariancia de gauge bajo ambas transformaciones de Lorentz locales, asumiendo la métrica de referencia es igual a la métrica de Minkowski , y la invariancia de difeomorfismo, de la existencia del espacio-tiempo curvo activo . Esto se demuestra reescribiendo el formalismo de Stueckelberg discutido anteriormente en el lenguaje vierbein de la siguiente manera. [44]
Se lee la versión 4D de las ecuaciones de campo de Einstein en 5D
dónde es el vector normal al segmento 4D. Usando la definición de curvatura extrínseca masiva es sencillo ver que los términos que contienen curvaturas extrínsecas toman la forma funcional en la acción tetradica.
Por lo tanto, hasta los coeficientes numéricos, la acción dRGT completa en su forma tensorial es
donde las funciones adoptan formas similares a las del . Luego, hasta algunos coeficientes numéricos, la acción toma la forma integral
donde el primer término es la parte de Einstein-Hilbert de la acción tetradica Palatini yes el símbolo de Levi-Civita .
Como el límite de desacoplamiento garantiza que y por comparación a , es legítimo pensar en el tensor Comparando esto con la definición de la forma 1 se pueden definir componentes covariantes del campo del marco es decir , para reemplazar el de modo que los últimos tres términos de interacción en la acción vierbein se convierten en
Esto se puede hacer porque uno puede mover libremente las transformaciones de difeomorfismo. en el vierbein de referencia a través de las transformaciones de Lorentz . Más importante aún, las transformaciones de difeomorfismo ayudan a manifestar la dinámica de los modos helicidad-0 y helicidad-1, de ahí la facilidad de calibrarlos cuando se compara la teoría con su versión con la única transformaciones de calibre mientras los campos de Stueckelberg están apagados.
Uno puede preguntarse por qué se eliminan los coeficientes y cómo garantizar que sean numéricos sin una dependencia explícita de los campos. De hecho, esto está permitido porque la variación de la acción vierbein con respecto a los campos de Stueckelberg transformados por Lorentz localmente produce este buen resultado. [44] Además, podemos resolver explícitamente los campos de Stueckelberg invariantes de Lorentz, y al sustituir nuevamente en la acción de vierbein podemos mostrar una equivalencia total con la forma tensorial de la gravedad masiva dRGT. [45]
Cosmología
Si la masa del gravitón es comparable a la tasa de Hubble , entonces, a distancias cosmológicas, el término de masa puede producir un efecto gravitacional repulsivo que conduce a la aceleración cósmica. Porque, en términos generales, la simetría de difeomorfismo mejorada en el límite protege una pequeña masa de gravitón de grandes correcciones cuánticas, la elección es de hecho técnicamente natural . [46] La gravedad masiva, por tanto, puede proporcionar una solución al problema de la constante cosmológica : ¿por qué las correcciones cuánticas no hacen que el Universo se acelere en tiempos extremadamente tempranos?
Sin embargo, resulta que las soluciones cosmológicas planas y cerradas de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker no existen en la gravedad masiva dRGT con una métrica de referencia plana. [13] Las soluciones abiertas y las soluciones con métricas de referencia generales sufren inestabilidades. [47] Por lo tanto, las cosmologías viables solo se pueden encontrar en la gravedad masiva si uno abandona el principio cosmológico de que el Universo es uniforme a gran escala, o si generaliza dRGT. Por ejemplo, las soluciones cosmológicas se comportan mejor en bigravity , [14] la teoría que extiende dRGT dandodinámica. Si bien estos tienden a poseer inestabilidades también, [48] [49] esas inestabilidades pueden encontrar una resolución en la dinámica no lineal (a través de un mecanismo similar a Vainshtein) o empujando la era de inestabilidad al Universo muy temprano. [15]
Gravedad masiva 3D
Existe un caso especial en tres dimensiones, donde un gravitón sin masa no propaga ningún grado de libertad. Aquí se pueden definir varias teorías libres de fantasmas de un gravitón masivo, que se propaga en dos grados de libertad. En el caso de la gravedad topológicamente masiva [1] uno tiene la acción
con la masa de Planck tridimensional. Esta es la relatividad general tridimensional complementada por un término similar a Chern-Simons construido a partir de los símbolos de Christoffel .
Más recientemente, se ha desarrollado una teoría a la que se hace referencia como nueva gravedad masiva , [2] que se describe mediante la acción
Relación con las ondas gravitacionales
El descubrimiento de 2016 de las ondas gravitacionales [50] y las observaciones posteriores han generado restricciones sobre la masa máxima de gravitones, si es que son masivos. Después del evento GW170104 , se encontró que la longitud de onda Compton del gravitón era al menos1,6 × 10 16 m , o aproximadamente 1,6 años luz , correspondiente a una masa de gravitón de no más de7,7 × 10 −23 eV / c 2 . [16] Esta relación entre la longitud de onda y la energía se calcula con la misma fórmula (la relación de Planck-Einstein ) que relaciona la longitud de onda electromagnética con la energía de los fotones . Sin embargo, los fotones , que solo tienen energía y no tienen masa, son fundamentalmente diferentes de los gravitones masivos a este respecto, ya que la longitud de onda Compton del gravitón no es igual a la longitud de onda gravitacional. En cambio, la longitud de onda del gravitón Compton del límite inferior es aproximadamente9 × 10 9 veces mayor que la longitud de onda gravitacional del evento GW170104, que fue de ~ 1.700 km. Esto se debe a que la longitud de onda de Compton está definida por la masa en reposo del gravitón y es una cantidad escalar invariante.
Ver también
- Acelerando la expansión del universo
- Alternativas a la relatividad general : teorías de la gravedad propuestas
- La teoría de Horndeski
- Gravedad bimétrica : teorías propuestas sobre la gravedad
- Modelo DGP
- Teoría del tensor-escalar : teoría en física con escalares y tensores que describen una fuerza o interacción
- Gravitón dual
Otras lecturas
- Revisar articulos
- de Rham, Claudia (2014), "Massive Gravity", Living Reviews in Relativity , 17 (1): 7, arXiv : 1401.4173 , Bibcode : 2014LRR .... 17 .... 7D , doi : 10.12942 / lrr-2014 -7 , PMC 5256007 , PMID 28179850
- Hinterbichler, Kurt (2012), "Aspectos teóricos de la gravedad masiva", Reseñas de la física moderna , 84 (2): 671–710, arXiv : 1105.3735 , Bibcode : 2012RvMP ... 84..671H , doi : 10.1103 / RevModPhys. 84.671 , S2CID 119279950
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