Este artículo examina la implementación de conceptos matemáticos en la teoría de conjuntos . La implementación de una serie de conceptos matemáticos básicos se lleva a cabo en paralelo en ZFC (la teoría de conjuntos dominante) y en NFU , la versión de los Nuevos Fundamentos de Quine que RB Jensen demostró ser consistente en 1969 (aquí se entiende que incluye al menos axiomas de Infinito y Elección ).
Lo que se dice aquí se aplica también a dos familias de teorías de conjuntos: por un lado, una gama de teorías que incluyen la teoría de conjuntos de Zermelo cerca del extremo inferior de la escala y que sube a ZFC extendido con grandes hipótesis cardinales como "hay un valor medible". cardenal "; y, por otro lado, una jerarquía de extensiones de NFU que se analiza en el artículo New Foundations . Estos corresponden a diferentes visiones generales de cómo es el universo teórico de conjuntos, y son los enfoques para la implementación de conceptos matemáticos bajo estos dos puntos de vista generales los que se están comparando y contrastando.
No es el objetivo principal de este artículo decir nada sobre los méritos relativos de estas teorías como fundamentos de las matemáticas. La razón para el uso de dos teorías de conjuntos diferentes es ilustrar que son factibles múltiples enfoques para la implementación de las matemáticas. Precisamente por este enfoque, este artículo no es una fuente de definiciones "oficiales" para ningún concepto matemático.
Preliminares
Las siguientes secciones llevan a cabo ciertas construcciones en las dos teorías ZFC y NFU y comparan las implementaciones resultantes de ciertas estructuras matemáticas (como los números naturales ).
Las teorías matemáticas prueban teoremas (y nada más). Entonces, decir que una teoría permite la construcción de cierto objeto significa que es un teorema de esa teoría que ese objeto existe. Esta es una declaración sobre una definición de la forma "la x tal que existe ", donde es una fórmula de nuestro lenguaje : la teoría prueba la existencia de "la x tal que"por si acaso es un teorema que" hay una y sólo una x tal que (Véase la teoría de descripciones de Bertrand Russell .) En términos generales, la teoría "define" o "construye" este objeto en este caso. Si el enunciado no es un teorema, la teoría no puede demostrar que el objeto existe; si el enunciado es demostrable falso en la teoría, prueba que el objeto no puede existir; libremente, el objeto no puede ser construido.
ZFC y NFU comparten el lenguaje de la teoría de conjuntos, por lo que las mismas definiciones formales "la x tal que "se puede contemplar en las dos teorías. Una forma específica de definición en el lenguaje de la teoría de conjuntos es la notación del constructor de conjuntos : significa "el conjunto A tal que para todo x, "(A no puede ser libre en). Esta notación admite ciertas extensiones convencionales: es sinónimo de ; Se define como , dónde es una expresión ya definida.
Las expresiones definibles en notación de constructor de conjuntos tienen sentido tanto en ZFC como en NFU: puede ser que ambas teorías prueben que una definición dada tiene éxito, o que ninguna de las dos lo hace (la expresión no se refiere a nada en ninguna teoría de conjuntos con lógica clásica; en teorías de clase como NBG, esta notación se refiere a una clase, pero se define de manera diferente), o que una lo hace y la otra no. Además, un objeto definido de la misma manera en ZFC y NFU puede resultar tener propiedades diferentes en las dos teorías (o puede haber una diferencia en lo que se puede probar cuando no hay una diferencia demostrable entre sus propiedades).
Además, la teoría de conjuntos importa conceptos de otras ramas de las matemáticas (intencionalmente, todas las ramas de las matemáticas). En algunos casos, hay diferentes formas de importar los conceptos a ZFC y NFU. Por ejemplo, la definición habitual del primer ordinal infinito en ZFC no es adecuado para NFU porque el objeto (definido en lenguaje teórico puramente establecido como el conjunto de todos los ordinales finitos de von Neumann ) no puede demostrarse que exista en NFU. La definición habitual deen NFU es (en lenguaje puramente teórico de conjuntos) el conjunto de todos los ordenamientos de pozos infinitos , todos cuyos segmentos iniciales propios son finitos, un objeto que puede demostrarse que no existe en ZFC. En el caso de tales objetos importados, puede haber diferentes definiciones, una para usar en ZFC y teorías relacionadas, y otra para usar en NFU y teorías relacionadas. Para que tales "implementaciones" de conceptos matemáticos importados tengan sentido, es necesario poder demostrar que las dos interpretaciones paralelas tienen las propiedades esperadas: por ejemplo, las implementaciones de los números naturales en ZFC y NFU son diferentes, pero ambas son implementaciones de la misma estructura matemática, porque ambas incluyen definiciones para todas las primitivas de la aritmética de Peano y satisfacen (las traducciones de) los axiomas de Peano. Entonces es posible comparar lo que sucede en las dos teorías como cuando solo se usa un lenguaje teórico establecido, siempre que se entienda que las definiciones apropiadas para ZFC se usan en el contexto de ZFC y se entienden que se usan las definiciones apropiadas para NFU en el contexto NFU.
Todo lo que se demuestre que existe en una teoría existe claramente en cualquier extensión de esa teoría; además, el análisis de la prueba de que un objeto existe en una teoría dada puede mostrar que existe en versiones más débiles de esa teoría (se puede considerar la teoría de conjuntos de Zermelo en lugar de ZFC para gran parte de lo que se hace en este artículo, por ejemplo).
Conjunto vacío, singleton, pares desordenados y tuplas
Estas construcciones aparecen primero porque son las construcciones más simples en la teoría de conjuntos, no porque sean las primeras construcciones que vienen a la mente en matemáticas (aunque la noción de conjunto finito es ciertamente fundamental). A pesar de que NFU también permite la construcción de elementos ur de conjuntos que aún no se han convertido en miembros de un conjunto, el conjunto vacío es el conjunto único sin miembros:
Para cada objeto , hay un conjunto con como único elemento:
Para objetos y , hay un conjunto conteniendo y como sus únicos elementos:
La unión de dos conjuntos se define de la forma habitual:
Esta es una definición recursiva de desordenado -tuplas para cualquier hormigón (conjuntos finitos dados como listas de sus elementos :)
En NFU, todas las definiciones establecidas funcionan por comprensión estratificada; en ZFC, la existencia del par desordenado está dada por el Axioma de emparejamiento , la existencia del conjunto vacío sigue por Separación de la existencia de cualquier conjunto, y la unión binaria de dos conjuntos existe por los axiomas de Emparejamiento y Unión ().
Par ordenado
Primero, considere el par ordenado . La razón por la que esto viene primero es técnica: se necesitan pares ordenados para implementar relaciones y funciones , que son necesarios para implementar otros conceptos que pueden parecer anteriores. La primera definición del par ordenado fue la definiciónpropuesto por Norbert Wiener en 1914 en el contexto de la teoría de tipos de Principia Mathematica . Wiener observó que esto permitió la eliminación de tipos de relaciones n -arias para n > 1 del sistema de ese trabajo. Ahora es más habitual utilizar la definición, debido a Kuratowski . Cualquiera de estas definiciones funciona en ZFC o NFU. En NFU, estas dos definiciones tienen una desventaja técnica: el par ordenado de Kuratowski es dos tipos más alto que sus proyecciones, mientras que el par ordenado de Wiener es tres tipos más alto. Es común postular la existencia de un par ordenado a nivel de tipo (un parque es del mismo tipo que sus proyecciones ) en NFU. Es conveniente utilizar el par de Kuratowski en ambos sistemas hasta que el uso de pares de nivel de tipo pueda justificarse formalmente. Los detalles internos de estas definiciones no tienen nada que ver con su función matemática real. Por cualquier noción de par ordenado, lo que importa es que satisfaga la condición definitoria
… Y que sea razonablemente fácil agrupar pares ordenados en conjuntos.
Relaciones
Las relaciones son conjuntos cuyos miembros son todos pares ordenados . Donde sea posible, una relación(entendido como un predicado binario ) se implementa como (que puede escribirse como ). Cuándo es una relación, la notación medio .
En ZFC, algunas relaciones (como la relación de igualdad general o la relación de subconjunto en conjuntos) son "demasiado grandes" para ser conjuntos (pero pueden cosificarse sin causar daño como clases adecuadas ). En NFU, algunas relaciones (como la relación de pertenencia) no son conjuntos porque sus definiciones no están estratificadas: en y necesitaría tener el mismo tipo (porque aparecen como proyecciones del mismo par), pero también tipos sucesivos (porque se considera como un elemento de ).
Definiciones relacionadas
Dejar y recibir relaciones binarias . Entonces los siguientes conceptos son útiles:
El inverso de es la relación .
El dominio de es el set .
La gama de es el dominio del recíproco de . Es decir, el conjunto.
El campo dees la unión del dominio y el rango de.
La preimagen de un miembro del campo de es el set (utilizado en la definición de 'bien fundamentado' a continuación).
El cierre descendente de un miembro del campo de es el conjunto más pequeño conteniendo , y que contiene cada para cada (es decir, incluyendo la preimagen de cada uno de sus elementos con respecto a como un subconjunto.)
El producto relativo de y es la relación .
Observe que con nuestra definición formal de una relación binaria, el rango y el codominio de una relación no se distinguen. Esto se puede hacer representando una relación con codominio como , pero nuestro desarrollo no lo requerirá.
En ZFC, cualquier relación cuyo dominio sea un subconjunto de un conjunto y cuyo rango es un subconjunto de un conjunto será un conjunto, ya que el producto cartesiano es un conjunto (siendo una subclase de ), y la Separación prevé la existencia de. En NFU, algunas relaciones con alcance global (como igualdad y subconjunto) se pueden implementar como conjuntos. En NFU, tenga en cuenta que y son tres tipos inferiores a en (un tipo más bajo si se usa un par ordenado a nivel de tipo).
Propiedades y tipos de relaciones
Una relación binaria es:
- Reflexivo si para cada en el campo de .
- Simétrico si.
- Transitivo si.
- Antisimétrico si.
- Bien fundamentado si para cada set que se encuentra con el campo de , cuya preimagen bajo no cumple .
- Extensional si para cada en el campo de , si y solo si y tienen la misma preimagen bajo .
Las relaciones que tienen ciertas combinaciones de las propiedades anteriores tienen nombres estándar. Una relación binaria es:
- Una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva.
- Un pedido parcial si es reflexiva, antisimétrica y transitiva.
- Un orden lineal si es un pedido parcial y para cada en el campo de , ya sea o .
- Un buen orden si es un orden lineal y bien fundado.
- Una imagen fija si está bien fundamentado y es extensional, y el campo de o es igual al cierre descendente de uno de sus miembros (llamado su elemento superior ), o está vacío.
Funciones
Una relación funcional es un predicado binario tal que Tal relación ( predicado ) se implementa como una relación (conjunto) exactamente como se describe en la sección anterior. Entonces el predicado es implementado por el conjunto . Una relaciónes una función si y solo si Por tanto, es posible definir la función de valor como el objeto único tal que - es decir: es -relacionado con tal que la relación se mantiene entre y - o como objeto único tal que . La presencia en ambas teorías de predicados funcionales que no son conjuntos hace que sea útil permitir la notación ambos para conjuntos y para predicados funcionales importantes. Mientras no se cuantifiquen las funciones en el último sentido, todos esos usos son, en principio, eliminables.
Fuera de la teoría formal de conjuntos, generalmente especificamos una función en términos de su dominio y codominio, como en la frase "Let ser una función ". El dominio de una función es solo su dominio como una relación, pero aún no hemos definido el codominio de una función. Para hacer esto, introducimos la terminología de que una función es de a si su dominio es igual y su rango está contenido en . De esta manera, cada función es una función desde su dominio hasta su rango, y una función de a es también una función de a para cualquier conjunto conteniendo .
De hecho, no importa qué conjunto consideremos que es el codominio de una función, la función no cambia como conjunto ya que, por definición, es solo un conjunto de pares ordenados. Es decir, una función no determina su codominio según nuestra definición. Si uno encuentra esto desagradable, entonces puede definir una función como el par ordenado, dónde es una relación funcional y es su codominio, pero no tomamos este enfoque en este artículo (más elegantemente, si primero se definen triples ordenados, por ejemplo como - entonces se podría definir una función como el triple ordenado para incluir también el dominio). Tenga en cuenta que existe el mismo problema para las relaciones: fuera de la teoría formal de conjuntos solemos decir "Vamos a ser una relación binaria ", pero formalmente es un conjunto de pares ordenados tal que y .
En NFU, tiene el mismo tipo que , y es tres tipos mayor que (un tipo más alto, si se usa un par ordenado a nivel de tipo). Para resolver este problema, se podría definir como para cualquier conjunto , pero esto se escribe más convenientemente como . Entonces sí es un conjunto y es cualquier relación funcional, el Axioma de Reemplazo asegura quees un set en ZFC . En NFU, y ahora tienen el mismo tipo, y es dos tipos mayor que (el mismo tipo, si se utiliza un par ordenado a nivel de tipo).
La función no es un conjunto en ZFC porque es "demasiado grande". Sin embargo, es un conjunto en NFU. La función (predicado)no es una función ni un conjunto en ninguna de las teorías; en ZFC, esto es cierto porque tal conjunto sería demasiado grande y, en NFU, esto es cierto porque su definición no estaría estratificada . Es más,puede demostrarse que no existe en NFU (ver la resolución de la paradoja de Cantor en New Foundations ).
Operaciones sobre funciones
Dejar y Ser funciones arbitrarias. La composición de y , , se define como el producto relativo , pero solo si esto da como resultado una función tal que es también una función, con , si el rango de es un subconjunto del dominio de . El inverso de, , se define como el inverso desi esta es una función. Dado cualquier conjunto, la función de identidad es el set , y este es un conjunto tanto en ZFC como en NFU por diferentes razones.
Tipos especiales de función
Una función es inyectiva (también llamada uno a uno ) si tiene una función inversa.
Una función de a es un:
- Inyección de a si las imágenes debajo de distintos miembros de son miembros distintos de .
- Surjection de a si el rango de es .
- Biyección de a Si es tanto una inyección como una sobreyección.
Definición de funciones como pares ordenados o triples ordenados tiene las ventajas de que no tenemos que introducir la terminología de ser una función "de a ", y que podemos hablar de" ser sobreyectivo "directamente en lugar de solo poder hablar de" ser sobreyectivo en ".
Tamaño de conjuntos
En tanto ZFC y NFU , dos conjuntos A y B son del mismo tamaño (o están equinumerous ) si y sólo si hay una biyección f de A a B . Esto se puede escribir como, pero tenga en cuenta que (por el momento) esto expresa una relación entre A y B en lugar de una relación entre objetos aún indefinidos y . Denote esta relación poren contextos como la definición real de los cardenales, donde incluso se debe evitar la aparición de presupuestos cardenales abstractos.
Del mismo modo, defina como la celebración de si y sólo si hay una inyección de A a B .
Es sencillo mostrar que la relación de equinumeración es una relación de equivalencia : la equinumeración de A con A es atestiguada por; si f testigos, luego testigos ; y si f testigosy g testigos, luego testigos .
Se puede demostrar que es un orden lineal en cardinales abstractos, pero no en conjuntos. La reflexividad es obvia y la transitividad está probada al igual que la equinumeración. El teorema de Schröder-Bernstein , demostrable en ZFC y NFU de una manera completamente estándar, establece que
(esto establece antisimetría en cardenales), y
se sigue de manera estándar en cualquiera de las teorías del axioma de elección .
Conjuntos finitos y números naturales
Los números naturales se pueden considerar como ordinales finitos o como cardinales finitos. Aquí considérelos como números cardinales finitos. Este es el primer lugar donde se hace evidente una gran diferencia entre las implementaciones en ZFC y NFU .
El axioma del infinito de ZFC nos dice que hay un conjunto A que contiene y contiene para cada . Este conjunto A no está determinado de forma única (puede agrandarse conservando esta propiedad de cierre): el conjunto N de números naturales es
que es la intersección de todos los conjuntos que contienen el conjunto vacío y están cerrados bajo la operación "sucesor" .
En ZFC, un conjunto es finito si y solo si hay tal que : además, defina como este n para finita A . (Se puede demostrar que no hay dos números naturales distintos del mismo tamaño).
Las operaciones habituales de la aritmética se pueden definir de forma recursiva y en un estilo muy similar al que se define en el propio conjunto de números naturales. Por ejemplo, + (la operación de suma en números naturales) se puede definir como el conjunto más pequeño que contiene por cada número natural y contiene siempre que contenga .
En NFU, no es obvio que este enfoque pueda usarse, ya que la operación sucesora no está estratificado, por lo que no se puede demostrar que el conjunto N , tal como se define anteriormente, exista en NFU (es consistente que el conjunto de ordinales finitos de von Neumann exista en NFU, pero esto refuerza la teoría, ya que la existencia de este conjunto implica el axioma de Contando (para lo cual ver más abajo o el artículo de Nuevas Fundaciones )).
La definición estándar de los números naturales, que en realidad es la definición teórica de conjuntos más antigua de los números naturales , es como clases de equivalencia de conjuntos finitos bajo equinumeración. Básicamente, la misma definición es apropiada para NFU (esta no es la definición habitual, pero los resultados son los mismos): defina Fin , el conjunto de conjuntos finitos, como
Para cualquier conjunto , definir como . Definir N como el conjunto.
El axioma de infinito de NFU se puede expresar como : esto es suficiente para establecer que cada número natural tiene un sucesor no vacío (el sucesor de ser para cualquier ) que es la parte difícil de demostrar que se satisfacen los axiomas de Peano de la aritmética.
Las operaciones de la aritmética se pueden definir en un estilo similar al estilo dado anteriormente (usando la definición de sucesor que se acaba de dar). También se pueden definir de forma teórica de conjuntos naturales: si A y B son conjuntos finitos disjuntos, defina | A | + | B | como. Más formalmente, definir m + n para m y n en N como
(Pero tenga en cuenta que este estilo de definición también es factible para los números de ZFC, pero más tortuoso: la forma de la definición de NFU facilita las manipulaciones de conjuntos, mientras que la forma de la definición de ZFC facilita las definiciones recursivas, pero cualquiera de las teorías apoya cualquier estilo de definición) .
Las dos implementaciones son bastante diferentes. En ZFC, elija un representante de cada cardinalidad finita (las clases de equivalencia en sí mismas son demasiado grandes para ser conjuntos); en NFU, las clases de equivalencia en sí mismas son conjuntos y, por lo tanto, son una opción obvia para que los objetos sustituyan a las cardinalidades. Sin embargo, la aritmética de las dos teorías es idéntica: estos dos enfoques superficialmente diferentes implementan la misma abstracción.
Relaciones de equivalencia y particiones
Una técnica general para implementar abstracciones en la teoría de conjuntos es el uso de clases de equivalencia. Si una relación de equivalencia R nos dice que los elementos de su campo A son similares en algún aspecto particular, entonces para cualquier conjunto x , considere el conjuntocomo representando una abstracción del conjunto x respetando solo esas características (identificar elementos de A hasta R ).
Para cualquier conjunto A , un conjuntoes una partición de A si todos los elementos de P no están vacíos, cualesquiera dos elementos distintos de P son disjuntos, y.
Para cada relación de equivalencia R con el campo A ,es una partición de A . Además, cada partición P de A determina una relación de equivalencia.
Esta técnica tiene limitaciones tanto en ZFC como en NFU . En ZFC, dado que el universo no es un conjunto, parece posible abstraer características solo de elementos de dominios pequeños. Esto se puede eludir usando un truco de Dana Scott : si R es una relación de equivalencia en el universo, definacomo el conjunto de todos y tales quey el rango de y es menor o igual que el rango de cualquier. Esto funciona porque los rangos son conjuntos. Por supuesto, todavía puede haber una clase adecuada de's. En NFU, la principal dificultad es que es un tipo mayor que x, por ejemplo, el "mapa" no es en general una función (fijada) (aunque es un conjunto). Esto puede evitarse mediante el uso del axioma de elección para seleccionar un representante de cada clase de equivalencia para reemplazar, que será del mismo tipo que x , o eligiendo un representante canónico si hay una manera de hacerlo sin invocar a Choice (el uso de representantes tampoco es desconocido en ZFC). En NFU, el uso de construcciones de clases de equivalencia para abstraer propiedades de conjuntos generales es más común, como por ejemplo en las definiciones de número cardinal y ordinal a continuación.
Números ordinales
Dos ordenes de pozo y son similares y escribenen caso de que haya una biyección f del campo de al campo de tal que para todos los x y y .
Se muestra que la similitud es una relación de equivalencia de la misma manera que se demostró que la equinumeración es una relación de equivalencia más arriba.
En Nuevos Cimientos (NFU), el tipo de orden de un buen orden W es el conjunto de todos los pocillos ordenamientos que son similares a W . El conjunto de números ordinales es el conjunto de todos los tipos de ordenación de pozos.
Esto no funciona en ZFC porque las clases de equivalencia son demasiado grandes. Sería formalmente posible usar el truco de Scott para definir los ordinales esencialmente de la misma manera, pero se usa más comúnmente un dispositivo de von Neumann .
Para cualquier pedido parcial , el correspondiente orden parcial estricto
Se dice que un conjunto A es transitivo si: Cada elemento de un elemento de A es también un elemento de A . Un ordinal (de von Neumann) es un conjunto transitivo en el que la pertenencia es un estricto orden.
En ZFC, el tipo de orden de una buena ordenación W se define entonces como el único ordinal von Neumann, que es equinumerous con el campo de la W y la composición en la que es isomorfo a la estricta buena ordenación asociada con W . (la condición de equinumeración distingue entre ordenamientos de pozos con campos de tamaño 0 y 1, cuyos ordenamientos de pozos estrictos asociados son indistinguibles).
En ZFC no puede haber un conjunto de todos los ordinales. De hecho, los ordinales de von Neumann son una totalidad inconsistente en cualquier teoría de conjuntos: se puede demostrar con modestos supuestos teóricos de conjuntos que cada elemento de un ordinal de von Neumann es un ordinal de von Neumann y los ordinales de von Neumann están estrictamente bien ordenados por pertenencia. . De ello se deduce que la clase de ordinales de von Neumann sería un ordinal de von Neumann si fuera un conjunto: pero entonces sería un elemento en sí mismo, lo que contradice el hecho de que la pertenencia es un estricto ordenamiento correcto de los ordinales de von Neumann.
La existencia de tipos de orden para todos los ordenamientos de pozos no es un teorema de la teoría de conjuntos de Zermelo : requiere el axioma de reemplazo . Incluso el truco de Scott no se puede utilizar en la teoría de conjuntos de Zermelo sin una suposición adicional (como la suposición de que cada conjunto pertenece a un rango que es un conjunto, que no refuerza esencialmente la teoría de conjuntos de Zermelo pero no es un teorema de esa teoría).
En NFU, la colección de todos los ordinales es un conjunto por comprensión estratificada. La paradoja Burali-Forti se evade de forma inesperada. Hay un orden natural en los ordinales definidos por si y solo si algunos (y así algunos) es similar a un segmento inicial de algunos (y por tanto cualquiera) . Además, se puede demostrar que este orden natural es un buen ordenamiento de los ordinales y, por lo tanto, debe tener un tipo de orden.. Parecería que el tipo de orden de los ordinales menor que con el orden natural sería , contradiciendo el hecho de que es el tipo de orden de todo el orden natural en los ordinales (y, por lo tanto, no de ninguno de sus segmentos iniciales adecuados). Pero esto se basa en la intuición de uno (correcto en ZFC) de que el tipo de orden del orden natural en los ordinales es menor que es para cualquier ordinal . Esta afirmación no está estratificada, porque el tipo de la segundaes cuatro más alto que el tipo del primero (dos más alto si se usa un par de nivel de tipo). La afirmación que es verdadera y demostrable en NFU es que el tipo de orden del orden natural en los ordinales es menor que es para cualquier ordinal , dónde es el tipo de orden de para cualquier (Es fácil mostrar que esto no depende de la elección de W; tenga en cuenta que T aumenta el tipo en uno). Así, el tipo de orden de los ordinales menor que con el orden natural es , y . Todos los usos de aquí se puede reemplazar con si se utiliza un par de nivel de tipo.
Esto muestra que la operación T no es trivial, lo que tiene varias consecuencias. De ello se deduce inmediatamente que el mapa singletonno es un conjunto, ya que de lo contrario las restricciones de este mapa establecerían la similitud de W ypara cualquier W ordenado . T es (externamente) biyectivo y preservador del orden. Debido a esto, el hecho establece que es una "secuencia descendente" en los ordinales que no puede ser un conjunto.
Los ordinales fijados por T se denominan ordinales cantorianos , y los ordinales que dominan solo los ordinales cantorianos (que se muestran fácilmente como cantorianos en sí mismos) se dice que son fuertemente cantorianos . No puede haber un conjunto de ordinales cantorianos o un conjunto de ordinales fuertemente cantorianos.
Digresión: ordinales de von Neumann en NFU
Es posible razonar sobre los ordinales de von Neumann en NFU . Recuerde que un ordinal de von Neumann es un conjunto transitivo A tal que la restricción de pertenencia a A es un ordenamiento estricto. Esta es una condición bastante fuerte en el contexto NFU, ya que la relación de pertenencia implica una diferencia de tipo. Un ordinal de von Neumann A no es un ordinal en el sentido de NFU, pero pertenece a un ordinal que puede denominarse el tipo de orden de (pertenencia en) A . Es fácil demostrar que el tipo de orden de Von Neumann ordinal A es cantoriana: para cualquier buen orden W del tipo de orden, el ordenamiento bien inducido de los segmentos iniciales de W por inclusión tiene el tipo de orden(es un tipo superior, de ahí la aplicación de T): pero los tipos de orden del ordenamiento correcto de un ordinal A de von Neumann por pertenencia y el ordenamiento correcto de sus segmentos iniciales por inclusión son claramente los mismos porque los dos bien -los órdenes son en realidad la misma relación, por lo que el tipo de orden de A se fija en T. Además, el mismo argumento se aplica a cualquier ordinal más pequeño (que será el tipo de orden de un segmento inicial de A , también un ordinal de von Neumann) por lo que el tipo de orden de cualquier ordinal de von Neumann es fuertemente cantoriano.
Los únicos ordinales de von Neumann que se puede demostrar que existen en NFU sin suposiciones adicionales son los concretos finitos. Sin embargo, la aplicación de un método de permutación puede convertir cualquier modelo de NFU en un modelo en el que cada ordinal fuertemente cantoriano es el tipo de orden de un ordinal de von Neumann. Esto sugiere que el concepto "ordinal fuertemente cantoriano de NFU" podría ser un mejor análogo de "ordinal de ZFC" que el aparente análogo "ordinal de NFU".
Numeros cardinales
Los números cardinales se definen en NFU de una manera que generaliza la definición de número natural: para cualquier conjunto A ,.
En ZFC , estas clases de equivalencia son demasiado grandes como de costumbre. El truco de Scott podría usarse (y de hecho se usa en ZF ),se define generalmente como el tipo de orden más pequeño (aquí un ordinal de von Neumann) de un orden correcto de A (que cada conjunto puede estar bien ordenado se sigue del Axioma de elección de la manera habitual en ambas teorías).
Se considera que el orden natural de los números cardinales está bien ordenado: que es reflexivo, antisimétrico (en los cardinales abstractos, que ahora están disponibles) y transitivo se ha mostrado arriba. Que es un orden lineal se sigue del axioma de elección: dos conjuntos bien ordenados y un segmento inicial de uno bien ordenado será isomorfo al otro, por lo que un conjunto tendrá una cardinalidad menor que la del otro. El hecho de que esté bien ordenado se deriva del axioma de la elección de una manera similar.
Con cada cardinal infinito, se asocian muchos tipos de órdenes por las razones habituales (en cualquiera de las teorías de conjuntos).
El teorema de Cantor muestra (en ambas teorías) que existen distinciones no triviales entre números cardinales infinitos. En ZFC , se pruebaEn NFU , la forma habitual del teorema de Cantor es falsa (considere el caso A = V), pero el teorema de Cantor es un enunciado mal redactado. La forma correcta del teorema en NFU es, dónde es el conjunto de subconjuntos de un elemento de A. muestra que hay "menos" singletons que conjuntos (la biyección obvia de a V ya se ha visto que no es un conjunto). En realidad, en NFU + Choice se puede demostrar que (dónde señala la existencia de muchos cardenales intervinientes; ¡Hay muchísimos urelementos!). Defina una operación T de aumento de tipo en cardinales análoga a la operación T en ordinales:; este es un endomorfismo externo de los cardinales, al igual que la operación T en los ordinales es un endomorfismo externo de los ordinales.
Se dice que un conjunto A es cantoriano por si acaso; el cardenalTambién se dice que es cardenal cantoriano. Se dice que un conjunto A es fuertemente cantoriano (y su cardinal también es fuertemente cantoriano) en caso de que la restricción del mapa singleton a A () es un conjunto. Los ordenamientos bien de conjuntos fuertemente cantorianos son siempre ordinales fuertemente cantorianos; esto no siempre es cierto en el caso de los arreglos correctos de los conjuntos cantorianos (aunque el mejor orden más corto de un conjunto cantoriano será el de cantoriano). Un conjunto cantoriano es un conjunto que satisface la forma habitual del teorema de Cantor.
Las operaciones de la aritmética cardinal se definen de una manera motivada por la teoría de conjuntos en ambas teorías. . Uno quisiera definir como , y uno hace esto en ZFC , pero hay una obstrucción en NFU cuando se usa el par Kuratowski: uno define como por el tipo de desplazamiento de 2 entre el par y sus proyecciones, lo que implica un tipo de desplazamiento de dos entre un producto cartesiano y sus factores. Es sencillo demostrar que el producto siempre existe (pero requiere atención porque la inversa de T no es total).
Definir la operación exponencial en cardinales requiere T de una manera esencial: si se definió como la colección de funciones de A a B , esto es tres tipos más altos que A o B , por lo que es razonable definir como para que sea del mismo tipo que A o B ( reemplaza con pares de nivel de tipo). Un efecto de esto es que la operación exponencial es parcial: por ejemplo,es indefinido. En ZFC uno define como sin dificultad.
La operación exponencial es total y se comporta exactamente como se esperaba en los cardenales cantorianos, ya que T fija dichos cardenales y es fácil mostrar que un espacio funcional entre conjuntos cantorianos es cantoriano (al igual que conjuntos de potencias, productos cartesianos y otros constructores de tipos habituales). Esto ofrece más aliento a la opinión de que las cardinalidades "estándar" en la NFU son las cardinalidades cantorianas (de hecho, las fuertemente cantorianas), al igual que los ordinales "estándar" parecen ser los ordinales fuertemente cantorianos.
Ahora se pueden demostrar los teoremas habituales de la aritmética cardinal con el axioma de elección, incluidos . Del caso se puede derivar la existencia de un par ordenado a nivel de tipo: es igual a por si acaso , que sería atestiguado por una correspondencia uno a uno entre pares de Kuratowski y singletons dobles : redefinir como la c tal que está asociado con el Kuratowski : esta es una noción a nivel de tipo de par ordenado.
El axioma de contar y subversión de la estratificación
Entonces, hay dos implementaciones diferentes de los números naturales en NFU (aunque son iguales en ZFC ): ordinales finitos y cardinales finitos. Cada uno de estos admite una operación T en NFU (básicamente la misma operación). Es fácil demostrar quees un número natural si n es un número natural en NFU + Infinity + Choice (y así y el primer ordinal infinito son cantorianos) pero no es posible probar en esta teoría que . Sin embargo, el sentido común indica que esto debería ser cierto, por lo que se puede adoptar como axioma:
- Axioma de conteo de Rosser : Para cada número natural n ,.
Una consecuencia natural de este axioma (y de hecho su formulación original) es
- para cada número natural n .
Todo lo que se puede probar en NFU sin contar es.
Una consecuencia de Contar es que N es un conjunto fuertemente cantoriano (nuevamente, esta es una afirmación equivalente).
Propiedades de conjuntos fuertemente cantorianos
El tipo de cualquier variable restringida a un conjunto A fuertemente cantoriano se puede aumentar o disminuir según se desee reemplazando las referencias a con referencias a (tipo de un elevado; esto presupone que se sabe que a es un conjunto; de lo contrario, hay que decir "el elemento de"para obtener este efecto) o (tipo de rebajado) donde para todos , por lo que no es necesario asignar tipos a tales variables para fines de estratificación.
Cualquier subconjunto de un conjunto fuertemente cantoriano es fuertemente cantoriano. El conjunto de poder de un conjunto fuertemente cantoriano es fuertemente cantoriano. El producto cartesiano de dos conjuntos fuertemente cantorianos es fuertemente cantoriano.
La introducción del axioma de contar significa que no es necesario asignar tipos a variables restringidas a N o a P ( N ), R (el conjunto de reales) o, de hecho, a cualquier conjunto jamás considerado en matemáticas clásicas fuera de la teoría de conjuntos.
No hay fenómenos análogos en ZFC . Consulte el artículo principal de New Foundations para conocer los axiomas más sólidos que se pueden unir a NFU para hacer cumplir el comportamiento "estándar" de los objetos matemáticos familiares.
Sistemas de números familiares: racionales, magnitudes y reales positivos
Representa fracciones positivas como pares de números naturales positivos (se excluye 0): está representado por el par . Para hacer, introduce la relación definido por . Es demostrable que se trata de una relación de equivalencia: defina los números racionales positivos como clases de equivalencia de pares de números naturales positivos bajo esta relación. Las operaciones aritméticas sobre números racionales positivos y la relación de orden sobre racionales positivos se definen como en la escuela primaria y se demuestra (con cierto esfuerzo) que tienen las propiedades esperadas.
Represente las magnitudes (reales positivos) como segmentos iniciales propios no vacíos de los racionales positivos sin el elemento más grande. Las operaciones de suma y multiplicación de magnitudes se implementan mediante la suma por elementos de los elementos racionales positivos de las magnitudes. El pedido se implementa como inclusión de conjuntos.
Representa números reales como diferencias. de magnitudes: formalmente hablando, un número real es una clase de equivalencia de pares de magnitudes bajo la relación de equivalencia definido por . Las operaciones de suma y multiplicación de números reales se definen tal como cabría esperar de las reglas algebraicas para sumar y multiplicar diferencias. El tratamiento del orden también es como en el álgebra elemental.
Este es el bosquejo más breve de las construcciones. Tenga en cuenta que las construcciones son exactamente las mismas en ZFC y en NFU , excepto por la diferencia en las construcciones de los números naturales: dado que todas las variables están restringidas a conjuntos fuertemente cantorianos, no hay necesidad de preocuparse por las restricciones de estratificación. Sin el axioma de contar, podría ser necesario introducir algunas aplicaciones de T en una discusión completa de estas construcciones.
Operaciones en familias indexadas de conjuntos
En esta clase de construcciones, parece que ZFC tiene una ventaja sobre NFU : aunque las construcciones son claramente factibles en NFU , son más complicadas que en ZFC por razones que tienen que ver con la estratificación.
A lo largo de esta sección, suponga un par ordenado a nivel de tipo. Definir como . La definición de la n- tupla general utilizando el par de Kuratowski es más complicada, ya que es necesario mantener iguales los tipos de todas las proyecciones, y el desplazamiento de tipo entre la n- tupla y sus proyecciones aumenta a medida que aumenta n . Aquí, la n- tupla tiene el mismo tipo que cada una de sus proyecciones.
Los productos cartesianos generales se definen de manera similar:
Las definiciones son las mismas en ZFC pero sin ninguna preocupación por la estratificación (la agrupación que se da aquí es opuesta a la que se usa con más frecuencia, pero esto se corrige fácilmente).
Ahora considere el producto cartesiano infinito . En ZFC, esto se define como el conjunto de todas las funciones f con dominio I tal que(donde A se entiende implícitamente como una función que lleva cada i a).
En NFU, esto requiere atención para escribir. Dado un conjunto I y una función valorada en conjunto A cuyo valor en en está escrito , Definir como el conjunto de todas las funciones f con dominio I tales que: Darse cuenta de está estratificado debido a nuestra convención de que A es una función con valores en singletons de los índices. Tenga en cuenta que las familias de conjuntos más grandes (que no se pueden indexar por conjuntos de singleton) no tendrán productos cartesianos bajo esta definición. Tenga en cuenta además que los conjuntosson del mismo tipo que el conjunto de índices I (ya que un tipo es más alto que sus elementos); el producto, como un conjunto de funciones con dominio I (por lo tanto, del mismo tipo que I ) es un tipo más alto (asumiendo un par ordenado a nivel de tipo).
Ahora considere el producto de los cardenales de estos conjuntos. La cardinalidad || es un tipo superior a los cardenales, por lo que la definición correcta del producto infinito de los cardenales es (debido a que la inversa de T no es total, es posible que esto no exista).
Repita esto para uniones disjuntas de familias de conjuntos y sumas de familias de cardenales. De nuevo, sea A una función de valor establecido con dominio: escribir por . La unión disjunta es el set . Este conjunto es del mismo tipo que los conjuntos.
La definición correcta de la suma. es así , ya que no hay desplazamiento de tipo.
Es posible extender estas definiciones para manejar conjuntos de índices que no son conjuntos de singleton, pero esto introduce un nivel de tipo adicional y no es necesario para la mayoría de los propósitos.
En ZFC, defina la unión disjunta como , dónde abrevia .
Los métodos de permutación se pueden utilizar para mostrar una coherencia relativa con NFU de la afirmación de que para cada conjunto A fuertemente cantoriano hay un conjunto I del mismo tamaño cuyos elementos son self-singletons:para cada yo en yo .
La jerarquía acumulativa
En ZFC , defina la jerarquía acumulativa como la secuencia de conjuntos indexados ordinales que satisfacen las siguientes condiciones:; ; para ordinales límite . Este es un ejemplo de una construcción por recursividad transfinita . Se dice que el rango de un conjunto A es si y solo si . La existencia de los rangos como conjuntos depende del axioma de reemplazo en cada paso límite (la jerarquía no se puede construir en la teoría de conjuntos de Zermelo ); según el axioma de la fundación, todo conjunto pertenece a algún rango.
El cardenal se llama .
Esta construcción no se puede llevar a cabo en NFU porque la operación del conjunto de energía no es una función establecida en NFU ( es un tipo superior a A a efectos de estratificación).
La secuencia de cardenales se puede implementar en NFU. Recordar que Se define como , dónde es un conjunto conveniente de tamaño 2, y . Dejar ser el conjunto más pequeño de cardenales que contiene (la cardinalidad del conjunto de números naturales), contiene el cardinal siempre que contenga , y que está cerrado bajo suprema de conjuntos de cardenales.
Una convención para la indexación ordinal de cualquier ordenamiento bien se define como el elemento x del campo de tal que el tipo de orden de la restricción de a es ; entonces define como el elemento con índice en el orden natural sobre los elementos de . El cardenal es el elemento con índice en el orden natural en todos los cardenales infinitos (que es un buen orden, ver arriba). Tenga en cuenta quese sigue inmediatamente de esta definición. En todas estas construcciones, observe que el tipo de índice es dos más alto (con par ordenado a nivel de tipo) que el tipo de .
Cada conjunto A de ZFC tiene un cierre transitivo(la intersección de todos los conjuntos transitivos que contiene A ). Según el axioma de fundación, la restricción de la relación de pertenencia al cierre transitivo de A es una relación bien fundada . La relaciónestá vacío o tiene A como su elemento superior, por lo que esta relación es una imagen establecida . Se puede demostrar en ZFC que cada imagen establecida es isomorfa para algunos.
Esto sugiere que (un segmento inicial de) la jerarquía acumulativa se puede estudiar considerando las clases de isomorfismo de imágenes fijas. Estas clases de isomorfismo son conjuntos y forman un conjunto en NFU . Existe una relación de conjunto natural análoga a la pertenencia a clases de isomorfismo de imágenes de conjunto: si es una imagen fija, escribe por su clase de isomorfismo y definir como sosteniendo si es la clase de isomorfismo de la restricción de y al cierre descendente de uno de los elementos de la preimagen debajo de y del elemento superior de y . La relación E es una relación de conjunto y es sencillo demostrar que está bien fundada y es extensional. Si la definición de E es confusa, se puede deducir de la observación que es inducida precisamente por la relación que se mantiene entre la imagen del conjunto asociada con A y la imagen del conjunto asociada con B cuando en la teoría de conjuntos habitual.
Existe una operación T en clases de isomorfismo de imágenes de conjunto análoga a la operación T en ordinales: si x es una imagen de conjunto, también lo es. Definir como . Es fácil ver eso.
Un axioma de extensionalidad para esta teoría de conjuntos simulados se deriva de la extensionalidad de E. De su fundamento se sigue un axioma de fundamento. Queda la pregunta de qué axioma de comprensión E puede tener. Considere cualquier colección de imágenes de conjunto(colección de imágenes de conjunto cuyos campos se componen íntegramente de singletons). Desde cada uno es un tipo mayor que x (usando un par ordenado a nivel de tipo), reemplazando cada elemento del campo de cada uno en la colección con da como resultado una colección de imágenes de conjunto isomórficas a la colección original pero con sus campos separados. La unión de estas imágenes de conjunto con un nuevo elemento superior produce una imagen de conjunto cuyo tipo de isomorfismo tendrá como preimágenes bajo E exactamente los elementos de la colección original. Es decir, para cualquier colección de tipos de isomorfismo, hay un tipo de isomorfismo cuya preimagen bajo E es exactamente esta colección.
En particular, habrá un tipo de isomorfismo [v] cuya preimagen bajo E es la colección de todos los T [ x ] (incluyendo T [ v ]). Dado que T [ v ] E v y E están bien fundamentados,. Esto se asemeja a la resolución de la paradoja Burali-Forti discutida anteriormente y en el artículo de New Foundations , y de hecho es la resolución local de la paradoja de Mirimanoff del conjunto de todos los conjuntos bien fundamentados.
Hay rangos de clases de isomorfismo de imágenes de conjuntos tal como hay rangos de conjuntos en la teoría de conjuntos habitual. Para cualquier colección de imágenes fijas A , defina S ( A ) como el conjunto de todas las clases de isomorfismo de imágenes fijas cuya preimagen bajo E es un subconjunto de A; llamar a A un conjunto "completo" si cada subconjunto de A es una preimagen bajo E. La colección de "rangos" es la colección más pequeña que contiene el conjunto vacío y cerrado bajo la operación S (que es una especie de construcción de conjunto de potencia) y bajo uniones de sus subcolecciones. Es sencillo demostrar (al igual que en la teoría de conjuntos habitual) que los rangos están bien ordenados por inclusión, por lo que los rangos tienen un índice en este orden correcto: consulte el rango con índice como . Es demostrable que para rangos completos . La unión de los rangos completos (que será el primer rango incompleto) con la relación E parece un segmento inicial del universo de la teoría de conjuntos al estilo de Zermelo (no necesariamente como el universo completo de ZFC porque puede no ser lo suficientemente grande) . Es demostrable que si es el primer rango incompleto, luego es un rango completo y por lo tanto . Entonces, hay un "rango de la jerarquía acumulativa" con un "automorfismo externo" T que mueve el rango hacia abajo, exactamente la condición en un modelo no estándar de un rango en la jerarquía acumulativa bajo la cual se construye un modelo de NFU en el artículo de New Foundations . Hay detalles técnicos para verificar, pero hay una interpretación no solo de un fragmento de ZFC sino de la propia NFU en esta estructura, con definido como : esta "relación" no es una relación de conjunto pero tiene el mismo tipo de desplazamiento entre sus argumentos que la relación de pertenencia habitual .
Así que hay una construcción natural dentro de NFU de la jerarquía acumulativa de conjuntos que internaliza la construcción natural de un modelo de NFU en la teoría de conjuntos al estilo de Zermelo.
Bajo el axioma de conjuntos cantorianos descrito en el artículo de New Foundations , la parte fuertemente cantoriana del conjunto de clases de isomorfismo de imágenes fijas con la relación E como pertenencia se convierte en un modelo (clase propia) de ZFC (en el que hay n - cardenales Mahlo para cada n ; esta extensión de NFU es estrictamente más fuerte que ZFC). Este es un modelo de clase adecuado porque las clases de isomorfismo fuertemente cantoriano no forman un conjunto.
Los métodos de permutación se pueden utilizar para crear a partir de cualquier modelo de NFU un modelo en el que cada tipo de conjunto de imágenes de isomorfismo fuertemente cantoriano se realice realmente como la restricción de la relación de pertenencia real al cierre transitivo de un conjunto.
Ver también
- Teoría de conjuntos axiomáticos
Referencias
- Keith Devlin , 1994. The Joy of Sets , 2ª ed. Springer-Verlag.
- Holmes, Randall, 1998. Teoría de conjuntos elemental con un conjunto universal . Academia-Bruylant. El editor ha consentido gentilmente en permitir la difusión de esta introducción a NFU a través de la web. Los derechos de autor están reservados.
- Potter, Michael, 2004. Teoría de conjuntos y su filosofía , 2ª ed. Universidad de Oxford. Prensa.
- Suppes, Patrick, 1972. Teoría de conjuntos axiomáticos . Dover.
- Tourlakis, George, 2003. Conferencias sobre lógica y teoría de conjuntos, vol. 2 . Cambridge Univ. Prensa.
enlaces externos
- Metamath: un sitio web dedicado a una derivación continua de las matemáticas a partir de los axiomas de ZFC y la lógica de primer orden .
- Enciclopedia de Filosofía de Stanford :
- Los nuevos cimientos de Quine, por Thomas Forster.
- Teorías de conjuntos axiomáticos alternativos, de Randall Holmes.
- Randall Holmes: Página de inicio de nuevas fundaciones