La disciplina del origami o plegado de papel ha recibido una cantidad considerable de estudios matemáticos . Los campos de interés incluyen la capacidad de plegado plano de un modelo de papel dado (si el modelo se puede aplanar sin dañarlo) y el uso de pliegues de papel para resolver ecuaciones matemáticas hasta cúbicas . [1]
Historia
En 1893, el funcionario indio T. Sundara Rao publicó Ejercicios geométricos en el plegado de papel, que utilizaba el plegado de papel para demostrar pruebas de construcciones geométricas. Este trabajo se inspiró en el uso de origami en el sistema de jardín de infantes . Rao demostró una trisección aproximada de ángulos y la construcción implícita de una raíz cúbica era imposible. [2]
En 1936, Margharita P. Beloch demostró que el uso del ' pliegue de Beloch ', utilizado más tarde en el sexto de los axiomas de Huzita-Hatori , permitió resolver la ecuación cúbica general utilizando origami. [1]
En 1949, el libro de RC Yeates "Métodos geométricos" describió tres construcciones permitidas correspondientes al primero, segundo y quinto axiomas de Huzita-Hatori. [3] [4]
El sistema de instrucción por diagrama Yoshizawa-Randlett se introdujo en 1961. [5]
En 1980 se informó de una construcción que permitió trisecar un ángulo. Las trisecciones son imposibles según las reglas euclidianas. [6]
También en 1980, Kōryō Miura y Masamori Sakamaki demostraron una novedosa técnica de plegado de mapas mediante la cual los pliegues se hacen en un patrón de paralelogramo prescrito, lo que permite que el mapa se pueda expandir sin pliegues en ángulo recto de la manera convencional. Su patrón permite que las líneas de pliegue sean interdependientes y, por lo tanto, el mapa se puede desembalar con un solo movimiento tirando de sus extremos opuestos y, de la misma manera, plegado presionando los dos extremos juntos. No se requieren series de movimientos excesivamente complicados, y el Miura-ori plegado se puede empaquetar en una forma muy compacta. [7] En 1985, Miura informó sobre un método de empaquetado y despliegue de grandes membranas en el espacio exterior, [8] y en 2012 esta técnica se había convertido en un procedimiento operativo estándar para vehículos orbitales. [9] [10]
En 1986, Messer informó de una construcción mediante la cual se podía duplicar el cubo , lo cual es imposible con las construcciones euclidianas. [11]
La primera declaración completa de los siete axiomas del origami por el matemático y carpeta francés Jacques Justin fue escrita en 1986, pero se pasó por alto hasta que los primeros seis fueron redescubiertos por Humiaki Huzita en 1989. [12] El primer Encuentro Internacional de Ciencia y Tecnología del Origami ( ahora conocida como la Conferencia Internacional sobre Origami en Ciencias, Matemáticas y Educación) se llevó a cabo en 1989 en Ferrara, Italia. En esta reunión, Scimemi dio una construcción para el heptágono regular . [13]
Alrededor de 1990, Robert J. Lang y otros intentaron por primera vez escribir un código de computadora que resolviera los problemas de origami. [14]
En 1996, Marshall Bern y Barry Hayes demostraron que era un problema NP-completo la asignación de un patrón de pliegue de pliegues de montaña y valle para producir una estructura de origami plana a partir de una hoja de papel plana. [15]
En 1999, un teorema debido a Haga proporcionó construcciones utilizadas para dividir el lado de un cuadrado en fracciones racionales. [16] [17]
En 2001, entre otros resultados más matemáticos, Britney Gallivan dobló primero una sábana y luego una hoja de papel de oro por la mitad 12 veces, contrariamente a la creencia de que el papel de cualquier tamaño se podía doblar como máximo ocho veces. [18] [19]
En 2002, Belcastro y Hull llevaron al origami teórico el lenguaje de las transformaciones afines , con una extensión de2 a3 solo en el caso de construcción de un solo vértice. [20]
En 2002, Alperin resolvió el problema de la óptica esférica de Alhazen . [21] En el mismo artículo, Alperin mostró una construcción para un heptágono regular. [21] En 2004, se probó algorítmicamente el patrón de plegado de un heptágono regular. [22] Alperin utilizó bisecciones y trisecciones en 2005 para la misma construcción. [23]
En 2009, Alperin y Lang ampliaron el origami teórico a ecuaciones racionales de grado arbitrario, con el concepto de pliegues múltiples. [24] [25] Este trabajo fue una extensión formal de la demostración inédita de la quintisección de ángulos de Lang en 2004. [25] [26]
Origami puro
Plegado plano
La construcción de modelos de origami a veces se muestra como patrones de pliegues. La pregunta principal acerca de estos patrones de pliegue es si un patrón de pliegue dado se puede plegar en un modelo plano y, de ser así, cómo doblarlos; este es un problema NP-completo . [27] Los problemas relacionados cuando los pliegues son ortogonales se denominan problemas de plegado de mapas . Hay tres reglas matemáticas para producir patrones de pliegues de origami plegables en plano : [28]
- Teorema de Maekawa : en cualquier vértice el número de pliegues de valle y montaña siempre difiere en dos.
- De esto se deduce que cada vértice tiene un número par de pliegues y, por lo tanto, también las regiones entre los pliegues se pueden colorear con dos colores.
- Teorema de Kawasaki : en cualquier vértice, la suma de todos los ángulos impares suma 180 grados, al igual que los pares.
- Una hoja nunca puede penetrar en un pliegue.
El papel presenta una curvatura gaussiana cero en todos los puntos de su superficie y solo se pliega de forma natural a lo largo de las líneas de curvatura cero. Las superficies curvas que no se pueden aplanar se pueden producir utilizando un pliegue no doblado en el papel, como se hace fácilmente con papel húmedo o con una uña.
Marshall Bern y Barry Hayes han demostrado que asignar un patrón de pliegue a los pliegues de montaña y valle para producir un modelo plano es NP-completo . [15] Otras referencias y resultados técnicos se discuten en la Parte II de Algoritmos de plegado geométrico . [29]
Axiomas de Huzita-Justin
Se ha demostrado que algunos problemas de construcción clásicos de la geometría , a saber, trisecar un ángulo arbitrario o doblar el cubo , no se pueden resolver con el compás y la regla , pero se pueden resolver con solo unos pocos pliegues de papel. [30] Se pueden construir tiras de papel para resolver ecuaciones hasta el grado 4. Los axiomas Huzita-Justin o los axiomas Huzita-Hatori son una contribución importante a este campo de estudio. Estos describen lo que se puede construir usando una secuencia de pliegues con como máximo dos alineaciones de puntos o líneas a la vez. Los métodos completos para resolver todas las ecuaciones hasta el grado 4 mediante la aplicación de métodos que satisfacen estos axiomas se discuten en detalle en Origami geométrico . [31]
Construcciones
Como resultado del estudio del origami mediante la aplicación de principios geométricos, métodos como el teorema de Haga han permitido a las carpetas de papel doblar con precisión el lado de un cuadrado en tercios, quintos, séptimos y novenos. Otros teoremas y métodos han permitido que las carpetas de papel obtengan otras formas de un cuadrado, como triángulos equiláteros , pentágonos , hexágonos y rectángulos especiales como el rectángulo dorado y el rectángulo plateado . Se han desarrollado métodos para plegar la mayoría de los polígonos regulares hasta el 19-gon regular inclusive. [31] Un n -gon regular se puede construir doblando papel si y solo si n es un producto de distintos primos de Pierpont , potencias de dos y potencias de tres .
Teoremas de Haga
El lado de un cuadrado se puede dividir en una fracción racional arbitraria de varias formas. Los teoremas de Haga dicen que se puede usar un conjunto particular de construcciones para tales divisiones. [16] [17] Sorprendentemente, se necesitan pocos pliegues para generar grandes fracciones impares. Por ejemplo, se puede generar 1 ⁄ 5 con tres pliegues; primero dividir un lado por la mitad, luego usar el teorema de Haga dos veces para producir primero 2 ⁄ 3 y luego 1 ⁄ 5 .
El diagrama adjunto muestra el primer teorema de Haga:
La función que cambia la longitud AP a QC es auto inversa . Deje x ser AP continuación, una serie de otras longitudes también son funciones racionales de x . Por ejemplo:
AP | BQ | Control de calidad | Arkansas | PQ |
---|---|---|---|---|
1 ⁄ 2 | 2 ⁄ 3 | 1 ⁄ 3 | 3 ⁄ 8 | 5 ⁄ 6 |
1 ⁄ 3 | 1 ⁄ 2 | 1 ⁄ 2 | 4 ⁄ 9 | 5 ⁄ 6 |
2 ⁄ 3 | 4 ⁄ 5 | 1 ⁄ 5 | 5 ⁄ 18 | 13 ⁄ 15 |
1 ⁄ 5 | 1 ⁄ 3 | 2 ⁄ 3 | 12 ⁄ 25 | 13 ⁄ 15 |
Una generalización de los teoremas de Haga
Los teoremas de Haga se generalizan de la siguiente manera:
Por lo tanto, BQ: CQ = k: 1 implica AP: BP = k: 2 para un número real positivo k. [32]
Doblar el cubo
El problema clásico de doblar el cubo se puede resolver con origami. Esta construcción se debe a Peter Messer: [33] Primero se dobla un cuadrado de papel en tres tiras iguales, como se muestra en el diagrama. Luego, el borde inferior se coloca de manera que el punto de la esquina P esté en el borde superior y la marca de pliegue en el borde se encuentre con la otra marca de pliegue Q. La longitud PB será entonces la raíz cúbica de 2 veces la longitud de AP. [11]
El borde con la marca del pliegue se considera una regla marcada, algo que no está permitido en construcciones con compás y regla . El uso de una regla marcada de esta manera se denomina construcción de neusis en geometría.
Trisección de un ángulo
La trisección de ángulo es otro de los problemas clásicos que no se puede resolver con un compás y una regla sin marcar, pero se puede resolver con origami. Esta construcción, que se informó en 1980, se debe a Hisashi Abe. [33] [6] El ángulo CAB se trisecta haciendo los pliegues PP 'y QQ' paralelos a la base con QQ 'en el medio. Luego, el punto P se dobla para que quede sobre la línea AC y, al mismo tiempo, el punto A se coloca sobre la línea QQ 'en A'. El ángulo A'AB es un tercio del ángulo original CAB. Esto se debe a que PAQ, A'AQ y A'AR son tres triángulos congruentes . Alinear los dos puntos en las dos líneas es otra construcción neusis como en la solución para duplicar el cubo. [34] [6]
Problemas relacionados
El problema del origami rígido , que trata los pliegues como bisagras que unen dos superficies planas y rígidas, como una chapa , tiene una gran importancia práctica. Por ejemplo, el pliegue del mapa Miura es un pliegue rígido que se ha utilizado para desplegar grandes conjuntos de paneles solares para satélites espaciales.
El problema del plegado de la servilleta es el problema de si se puede plegar un cuadrado o un rectángulo de papel de modo que el perímetro de la figura plana sea mayor que el del cuadrado original.
La colocación de un punto en un pliegue curvo en el patrón puede requerir la solución de integrales elípticas. El origami curvo permite que el papel forme superficies desarrollables que no son planas. [35] El origami de plegado en húmedo es una técnica desarrollada por Yoshizawa que permite que los pliegues curvos creen una gama aún mayor de formas de complejidad de orden superior.
Se ha obtenido el número máximo de veces que se puede plegar un material incompresible. Con cada pliegue se pierde una cierta cantidad de papel por posibles pliegues. Se asignó la función de pérdida para doblar el papel por la mitad en una sola dirección, donde L es la longitud mínima del papel (u otro material), t es el grosor del material y n es el número de pliegues posibles. [19] El distancias L y t debe ser expresada en las mismas unidades, como pulgadas. Este resultado fue obtenido por Gallivan en 2001, quien también dobló una hoja de papel por la mitad 12 veces, contrariamente a la creencia popular de que el papel de cualquier tamaño se podía doblar como máximo ocho veces. También derivó la ecuación para doblar en direcciones alternas. [18]
El problema de doblar y cortar pregunta qué formas se pueden obtener doblando una hoja de papel y haciendo un solo corte completo y recto. La solución, conocida como teorema de doblar y cortar, establece que se puede obtener cualquier forma con lados rectos.
Un problema práctico es cómo doblar un mapa para que pueda manipularse con un mínimo de esfuerzo o movimientos. El pliegue Miura es una solución al problema, y se han propuesto varios otros. [36]
Ver también
- Flexagon
- El método de Lill
- Problema de plegado de la servilleta
- Plegado de mapas
- Secuencia de plegado de papel regular (por ejemplo, la curva del dragón )
notas y referencias
- ↑ a b Hull, Thomas C. (2011). "Resolver cúbicos con pliegues: obra de Beloch y Lill" (PDF) . American Mathematical Monthly . 118 (4): 307–315. doi : 10.4169 / amer.math.monthly.118.04.307 . Señor 2800341 . S2CID 2540978 .
- ^ T. Sundara Rao (1917). Beman, Wooster; Smith, David (eds.). Ejercicios geométricos en plegado de papel . The Open Court Publishing Company .
- ^ George Edward Martin (1997). Construcciones geométricas . Saltador. pag. 145. ISBN 978-0-387-98276-2.
- ^ Robert Carl Yeates (1949). Herramientas geométricas . Universidad Estatal de Luisiana.
- ^ Nick Robinson (2004). La Biblia de Origami . Libros Chrysalis. pag. 18. ISBN 978-1-84340-105-6.
- ^ a b c Hull, Tom (1997). "una comparación entre construcciones de regla y compás y origami" . origametry.net .
- ^ Bain, Ian (1980), "El mapa Miura-Ori" , New Scientist. Reproducido en British Origami , 1981, y en línea en el sitio web de la British Origami Society.
- ^ Miura, K. (1985), Método de envasado y despliegue de grandes membranas en el espacio , Tech. Informe 618, Instituto de Ciencias Espaciales y Astronáuticas
- ^ "Matriz 2D" . Agencia de Exploración Aeroespacial de Japón. Archivado desde el original el 25 de noviembre de 2005.
- ^ Nishiyama, Yutaka (2012), "Plegado de Miura: Aplicación del origami a la exploración espacial" (PDF) , Revista Internacional de Matemáticas Puras y Aplicadas , 79 (2): 269–279
- ^ a b Peter Messer (1986). "Problema 1054" (PDF) . Crux Mathematicorum . 12 (10): 284–285 - vía Canadian Mathematical Society.
- ^ Justin, Jacques, "Resolution par le pliage de l'equation du troisieme degre et applications geometriques", reimpreso en Actas del Primer Encuentro Internacional de Ciencia y Tecnología del Origami , H. Huzita ed. (1989), págs. 251-261.
- ^ Benedetto Scimemi, Heptagon regular por plegado, Actas de Origami, ciencia y tecnología, ed. H. Huzita., Ferrara, Italia, 1990
- ^ Newton, Liz (1 de diciembre de 2009). "El poder del origami" . Universidad de Cambridge. + revista plus.
- ^ a b Berna, Marshall; Hayes, Barry (1996). "La complejidad del origami plano" . Actas del Séptimo Simposio Anual ACM-SIAM sobre Algoritmos Discretos (Atlanta, GA, 1996) . ACM, Nueva York. págs. 175-183. Señor 1381938 .
- ^ a b Hatori, Koshiro. "Cómo dividir el lado del papel cuadrado" . Sociedad Académica Japonesa de Origami.
- ^ a b K. Haga, Origamics, Part 1, Nippon Hyoron Sha, 1999 (en japonés)
- ^ a b Weisstein, Eric W. "Plegable" . MathWorld .
- ^ a b Korpal, Gaurish (25 de noviembre de 2015). "Papel plegable por la mitad" . En ángulo recto . Maestros de la India. 4 (3): 20–23.
- ^ Belcastro, Sarah-Marie; Hull, Thomas C. (2002). "Modelado del plegado de papel en tres dimensiones mediante transformaciones afines" . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 348 (1-3): 273-282. doi : 10.1016 / S0024-3795 (01) 00608-5 .
- ^ a b Alperin, Roger C. (2002). "Ch.12". En Hull, Thomas (ed.). Origami matemático: otra visión del problema óptico de Alhazen . págs. 83–93. doi : 10.1201 / b15735 . ISBN 9780429064906.
- ^ Robu, Judit; Ida, Tetsuo; Ţepeneu, Dorin; Takahashi, Hidekazu; Buchberger, Bruno (2006). "Construcción de origami computacional de un heptagon regular con prueba automatizada de su exactitud". Deducción automatizada en geometría . Apuntes de conferencias en Ciencias de la Computación. 3763 . págs. 19–33. doi : 10.1007 / 11615798_2 . ISBN 978-3-540-31332-8.
- ^ Alperin, Roger C. (2005). "Trisecciones y Origami totalmente real". The American Mathematical Monthly . 112 (3): 200–211. arXiv : matemáticas / 0408159 . doi : 10.2307 / 30037438 . JSTOR 30037438 .
- ^ Lang, Robert J .; Alperin, Roger C. (2009). "Axiomas de origami de uno, dos y múltiples pliegues" (PDF) . Origami 4 : Cuarto Encuentro Internacional de Ciencia, Matemáticas y Educación del Origami: 383–406. doi : 10.1201 / b10653-38 . ISBN 9780429106613.
- ^ a b Bertschinger, Thomas H .; Slote, Joseph; Spencer, Olivia Claire; Vinitsky, Samuel. Las matemáticas del origami (PDF) . Carleton College.
- ^ Lang, Robert J. (2004). "Quintisección de ángulo" (PDF) . langorigami.com . Consultado el 16 de enero de 2021 .
- ^ Thomas C. Hull (2002). "La combinatoria de pliegues planos: una encuesta". Actas del Tercer Encuentro Internacional de Ciencia, Matemáticas y Educación del Origami . AK Peters. arXiv : 1307.1065 . ISBN 978-1-56881-181-9.
- ^ "Robert Lang se pliega forma-nuevo origami" .
- ^ Demaine, Erik D .; O'Rourke, Joseph (2007). Algoritmos de plegado geométrico . Cambridge: Cambridge University Press. doi : 10.1017 / CBO9780511735172 . ISBN 978-0-521-85757-4. Señor 2354878 .
- ^ Tom Hull. "Origami y construcciones geométricas" .
- ^ a b Geretschläger, Robert (2008). Origami geométrico . Reino Unido: Arbelos. ISBN 978-0-9555477-1-3.
- ^ Hiroshi Okumura (2014). "Una nota sobre los teoremas de Haga en el plegado de papel" (PDF) . Foro Geometricorum . 14 : 241–242.
- ^ a b Lang, Robert J (2008). "De pájaros que aletean a telescopios espaciales: la ciencia moderna del origami" (PDF) . Conferencia de Usenix, Boston, MA.
- ^ Michael J. Winckler; Kathrin D Wold; Hans Georg Bock (2011). "Geometría práctica con Origami". Origami 5 . Prensa CRC. pag. 225. ISBN 978-1-56881-714-9.
- ^ "Siggraph:" Origami curvo " " . Archivado desde el original el 8 de mayo de 2017 . Consultado el 8 de octubre de 2008 .
- ^ Hull, Thomas (2002). "En busca de un pliegue de mapa práctico". Horizontes de matemáticas . 9 (3): 22-24. doi : 10.1080 / 10724117.2002.11975147 . JSTOR 25678354 . S2CID 126397750 .
Otras lecturas
- Demaine, Erik D. , "Plegado y desplegado" , tesis doctoral, Departamento de Ciencias de la Computación, Universidad de Waterloo, 2001.
- Friedman, Michael (2018). Una historia del plegamiento en matemáticas: matemática de los márgenes . Redes científicas. Estudios históricos. 59 . Birkhäuser. doi : 10.1007 / 978-3-319-72487-4 . ISBN 978-3-319-72486-7.
- Geretschlager, Robert (1995). "Construcciones euclidianas y la geometría del origami". Revista de Matemáticas . 68 (5): 357–371. doi : 10.2307 / 2690924 . JSTOR 2690924 .
- Haga, Kazuo (2008). Fonacier, Josefina C; Isoda, Masami (eds.). Origamics: Exploraciones matemáticas a través del plegado de papel . Universidad de Tsukuba, Japón: World Scientific Publishing. ISBN 978-981-283-490-4.
- Lang, Robert J. (2003). Secretos del diseño de origami: métodos matemáticos para un arte antiguo . AK Peters. ISBN 978-1-56881-194-9.
- Dureisseix, David , "Plegado de polígonos óptimos a partir de cuadrados" , Mathematics Magazine 79 (4): 272–280, 2006. doi : 10.2307 / 27642951
- Dureisseix, David , "Una descripción general de los mecanismos y patrones con Origami" , Revista internacional de estructuras espaciales 27 (1): 1–14, 2012. doi : 10.1260 / 0266-3511.27.1.1
enlaces externos
- Dr. Tom Hull . "Página de matemáticas de origami" .
- Geometría de plegado de papel al cortar el nudo
- División de un segmento en partes iguales mediante el plegado del papel al cortar el nudo
- Britney Gallivan ha resuelto el problema del plegado de papel
- Descripción general de los axiomas de origami