Los axiomas Huzita-Justin o los axiomas Huzita-Hatori son un conjunto de reglas relacionadas con los principios matemáticos del origami , que describen las operaciones que se pueden realizar al doblar una hoja de papel. Los axiomas asumen que las operaciones se completan en un plano (es decir, una hoja de papel perfecta) y que todos los pliegues son lineales. Estos no son un conjunto mínimo de axiomas, sino el conjunto completo de posibles pliegues simples.
Los primeros siete axiomas fueron descubiertos por primera vez por el matemático y carpeta francés Jacques Justin en 1986. [1] Los axiomas del 1 al 6 fueron redescubiertos por el matemático italiano - japonés Humiaki Huzita y reportados en la Primera Conferencia Internacional sobre Origami en Educación y Terapia en 1991. Axiomas 1 a 5 fueron redescubiertos por Auckly y Cleveland en 1995. Axiom 7 fue redescubierto por Koshiro Hatori en 2001; Robert J. Lang también encontró el axioma 7.
Los siete axiomas
Los primeros 6 axiomas se conocen como axiomas de Huzita. Axiom 7 fue descubierto por Koshiro Hatori. Jacques Justin y Robert J. Lang también encontraron el axioma 7. Los axiomas son los siguientes:
- Dados dos puntos distintos p 1 y p 2 , hay un pliegue único que pasa por ambos.
- Dados dos puntos distintos p 1 y p 2 , hay un pliegue único que coloca p 1 sobre p 2 .
- Dadas dos líneas l 1 y l 2 , hay un pliegue que coloca l 1 sobre l 2 .
- Dado un punto p 1 y una recta l 1 , hay un único pliegue perpendicular a l 1 que pasa por el punto p 1 .
- Dados dos puntos p 1 y p 2 y una línea l 1 , hay un pliegue que coloca p 1 sobre l 1 y pasa por p 2 .
- Dados dos puntos p 1 y p 2 y dos líneas l 1 y l 2 , hay un pliegue que coloca p 1 en l 1 y p 2 en l 2 .
- Dado un punto p y dos rectas l 1 y l 2 , hay un pliegue que coloca p sobre l 1 y es perpendicular a l 2 .
El axioma 5 puede tener 0, 1 o 2 soluciones, mientras que el axioma 6 puede tener 0, 1, 2 o 3 soluciones. De esta manera, las geometrías resultantes del origami son más fuertes que las geometrías del compás y la regla , donde el número máximo de soluciones que tiene un axioma es 2. Por lo tanto, la geometría del compás y la regla resuelve ecuaciones de segundo grado, mientras que la geometría del origami, u origametría, puede resolver ecuaciones de tercer grado y resolver problemas como la trisección de ángulos y la duplicación del cubo . La construcción del pliegue garantizada por Axiom 6 requiere "deslizar" el papel, o neusis , lo cual no está permitido en las construcciones clásicas de compás y regla. El uso de neusis junto con un compás y una regla no permite la trisección de un ángulo arbitrario.
Detalles
Axioma 1
Dados dos puntos p 1 y p 2 , hay un pliegue único que pasa por ambos.
En forma paramétrica, la ecuación para la línea que pasa por los dos puntos es:
Axioma 2
Dados dos puntos p 1 y p 2 , hay un pliegue único que coloca p 1 sobre p 2 .
Esto es equivalente a encontrar la bisectriz perpendicular del segmento de recta p 1 p 2 . Esto se puede hacer en cuatro pasos:
- Utilice el axioma 1 para hallar la recta que pasa por p 1 y p 2 , dada por
- Encuentre el punto medio de p mid de P ( s )
- Encontrar el vector v perp perpendicular a P ( s )
- La ecuación paramétrica del pliegue es entonces:
Axioma 3
Dadas dos líneas l 1 y l 2 , hay un pliegue que coloca l 1 sobre l 2 .
Esto equivale a encontrar una bisectriz del ángulo entre l 1 y l 2 . Sean p 1 y p 2 cualesquiera dos puntos en l 1 , y sean q 1 y q 2 cualesquiera dos puntos en l 2 . Además, dejar que u y v son los vectores de dirección unidad de l 1 y l 2 , respectivamente; es decir:
Si las dos líneas no son paralelas, su punto de intersección es:
dónde
La dirección de una de las bisectrices es entonces:
Y la ecuación paramétrica del pliegue es:
También existe una segunda bisectriz, perpendicular a la primera y que pasa por p int . Doblar a lo largo de esta segunda bisectriz también logrará el resultado deseado de colocar l 1 sobre l 2 . Puede que no sea posible realizar uno u otro de estos pliegues, dependiendo de la ubicación del punto de intersección.
Si las dos líneas son paralelas, no tienen ningún punto de intersección. El pliegue debe ser la línea a medio camino entre l 1 y l 2 y paralelo a ellos.
Axioma 4
Dado un punto p 1 y una recta l 1 , hay un único pliegue perpendicular a l 1 que pasa por el punto p 1 .
Esto equivale a encontrar una perpendicular a l 1 que pasa por p 1 . Si encontramos algún vector v que sea perpendicular a la línea l 1 , entonces la ecuación paramétrica del pliegue es:
Axioma 5
Dados dos puntos p 1 y p 2 y una línea l 1 , hay un pliegue que coloca p 1 sobre l 1 y pasa por p 2 .
Este axioma es equivalente a encontrar la intersección de una línea con un círculo, por lo que puede tener 0, 1 o 2 soluciones. La línea está definido por l 1 , y el círculo tiene su centro en p 2 , y un radio igual a la distancia desde p 2 a p 1 . Si la línea no se cruza con el círculo, no hay soluciones. Si la línea es tangente al círculo, hay una solución, y si la línea interseca al círculo en dos lugares, hay dos soluciones.
Si conocemos dos puntos en la línea, ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ), entonces la línea se puede expresar paramétricamente como:
Sea el círculo definido por su centro en p 2 = ( x c , y c ), con radio. Entonces el círculo se puede expresar como:
Con el fin de determinar los puntos de intersección de la línea con el círculo, sustituimos las x y Y componentes de las ecuaciones para la línea en la ecuación para el círculo, dando:
O, simplificado:
dónde:
Entonces simplemente resolvemos la ecuación cuadrática:
Si el discriminante b 2 - 4 ac <0, no hay soluciones. El círculo no se cruza ni toca la línea. Si el discriminante es igual a 0, entonces hay una sola solución, donde la línea es tangente al círculo. Y si el discriminante es mayor que 0, hay dos soluciones, que representan los dos puntos de intersección. Llamemos a las soluciones d 1 y d 2 , si existen. Tenemos 0, 1 o 2 segmentos de línea:
Un pliegue F 1 ( s ) perpendicular am 1 a través de su punto medio colocará p 1 en la línea en la ubicación d 1 . De manera similar, un pliegue F 2 ( s ) perpendicular am 2 a través de su punto medio colocará p 1 en la línea en la ubicación d 2 . La aplicación de Axiom 2 logra esto fácilmente. Las ecuaciones paramétricas de los pliegues son así:
Axioma 6
Dados dos puntos p 1 y p 2 y dos líneas l 1 y l 2 , hay un pliegue que coloca p 1 en l 1 y p 2 en l 2 .
Este axioma es equivalente a encontrar una recta simultáneamente tangente a dos parábolas, y puede considerarse equivalente a resolver una ecuación de tercer grado ya que en general hay tres soluciones. Las dos parábolas tienen focos en p 1 y p 2 , respectivamente, con directrices definidas por l 1 y l 2 , respectivamente.
Este pliegue se llama pliegue Beloch en honor a Margharita P. Beloch , quien en 1936 demostró al usarlo que el origami se puede usar para resolver ecuaciones cúbicas generales. [2]
Axioma 7
Dado un punto p y dos rectas l 1 y l 2 , hay un pliegue que coloca p sobre l 1 y es perpendicular a l 2 .
Este axioma fue descubierto originalmente por Jacques Justin en 1989, pero fue pasado por alto y fue redescubierto por Koshiro Hatori en 2002. [3] Robert J. Lang ha demostrado que esta lista de axiomas completa los axiomas del origami. [4]
Constructibilidad
Se pueden usar subconjuntos de axiomas para construir diferentes conjuntos de números. Los primeros tres se pueden usar con tres puntos dados que no están en una línea para hacer lo que Alperin llama construcciones thalianas. [5]
Los primeros cuatro axiomas con dos puntos definidos definen un sistema más débil que las construcciones con compás y regla : cada forma que se puede plegar con esos axiomas se puede construir con brújula y regla, pero algunas cosas se pueden construir con compás y regla que no se pueden plegar con brújula y regla. esos axiomas. [6] Los números que se pueden construir se llaman números de origami o pitagóricos, si la distancia entre los dos puntos dados es 1, entonces los puntos construibles son todos de la forma. dónde y son números pitagóricos. Los números pitagóricos están dados por el campo más pequeño que contiene los números racionales y cuando sea es tal número.
Al sumar el quinto axioma se obtienen los números euclidianos , es decir, los puntos que se pueden construir mediante la construcción de compás y regla .
Añadiendo el axioma 6 de neusis , se pueden hacer todas las construcciones con regla de compás y más. En particular, los polígonos regulares construibles con estos axiomas son aquellos con lados, donde es un producto de distintos primos de Pierpont . Las construcciones con regla de compás permiten solo aquellos con lados, donde es un producto de distintos números primos de Fermat . (Los números primos de Fermat son un subconjunto de los números primos de Pierpont).
El séptimo axioma no permite la construcción de otros axiomas. Los siete axiomas dan todas las construcciones de un solo pliegue que se pueden hacer en lugar de ser un conjunto mínimo de axiomas.
Un octavo axioma
La existencia de un octavo axioma fue reivindicado por Lucero en 2017, que puede estar indicado como: existe un pliegue a lo largo de una línea dada l 1 . [7] El nuevo axioma se encontró después de enumerar todas las incidencias posibles entre puntos y líneas construibles en un plano. [8] Aunque no crea una nueva línea, es necesario en el plegado de papel real cuando se requiere doblar una capa de papel a lo largo de una línea marcada en la capa inmediatamente inferior.
Referencias
- ^ Justin, Jacques (1986). "Résolution par le pliage de l'équation du troisième degré et applications géométriques" (PDF) . L'Ouvert - Journal de l'APMEP d'Alsace et de l'IREM de Strasbourg (en francés). 42 : 9-19 . Consultado el 3 de marzo de 2021 .
- ^ Thomas C. Hull (abril de 2011). "Resolver cúbicos con arrugas: el trabajo de Beloch y Lill" (PDF) . American Mathematical Monthly . 118 (4): 307–315. doi : 10.4169 / amer.math.monthly.118.04.307 .
- ^ Roger C. Alperin ; Robert J. Lang (2009). "Axiomas de origami de uno, dos y varios pliegues" (PDF) . 4OSME . AK Peters.
- ^ Lang, Robert J. (2010). "Origami y construcciones geométricas" (PDF) . Robert J. Lang: 40–45 . Consultado el 22 de septiembre de 2020 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Alperin, Roger C (2000). "Una teoría matemática de construcciones y números de origami" (PDF) . Revista de Matemáticas de Nueva York . 6 : 119-133.
- ^ D. Auckly y J. Cleveland (1995). "Origami totalmente real y plegado imposible". American Mathematical Monthly . 102 (3): 215-226. arXiv : matemáticas / 0407174 . doi : 10.2307 / 2975008 . JSTOR 2975008 .Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )
- ^ Lucero, Jorge C. (2017). "Sobre las operaciones elementales de un solo pliegue de Origami: reflejos y restricciones de incidencia en el plano" (PDF) . Foro Geometricorum . 17 : 207-221. arXiv : 1610.09923 . Código Bibliográfico : 2016arXiv161009923L .
- ^ Lee, Hwa Y. (2017). Números construibles en origami (PDF) (Tesis de maestría). Universidad de Georgia. pag. 64.
enlaces externos
- Construcciones geométricas de origami de Thomas Hull
- Una teoría matemática de las construcciones y los números en origami por Roger C. Alperin
- Lang, Robert J. (2003). "Origami y construcciones geométricas" (PDF) . Robert J. Lang . Consultado el 12 de abril de 2007 . Cite journal requiere
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( ayuda )